高中物理萬(wàn)有引力定律知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與典型例題精選匯總

『夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)』丹麥天文學(xué)家第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；第二定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，與太陽(yáng)的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等．即

r

律。

內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個(gè)物體的連線方向。F

Mmr

（

年）（式中

Em

。

N

m

/

（式中

Em

。作用力，

年由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測(cè)出。萬(wàn)有引力常量的測(cè)定——卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)原理是力矩平衡。萬(wàn)有引力常量的測(cè)定使卡文迪許成為“能稱出地球質(zhì)量的人”：對(duì)于地面附近的物體m，有

mg

mE

m

E

EE的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)

應(yīng)為兩物體重心間的距離．對(duì)于均勻的球體，

是兩球心間的距離．F

近為無窮大。

地球自轉(zhuǎn)對(duì)地表物體重力的影響。

FF

mg

m重力是萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物 體隨地球自轉(zhuǎn)r

－mRω

。一r

－mRω

。一

F

＝

m

m

F

·

mg，其方向與支持力

反向，應(yīng)豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F

向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度

g

隨緯度變化而變化，從赤道到兩極

R

逐漸減小，向心力

·

ω減小，重力逐漸增大，相應(yīng)重力加速度

g

也逐漸增大。F

和

mg

F＝F

＋mg，所以

m 物體在兩極時(shí)，其受力情況如圖丙所示，這時(shí)物體不再做圓周運(yùn)動(dòng)，沒有向心力，物體受到的萬(wàn)有引力F

和支持力

是一對(duì)平衡力，此時(shí)物體的重力mg＝＝F

。o

o

F

F

o

綜上所述重力大小：兩個(gè)極點(diǎn)處最大，等于萬(wàn)有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點(diǎn)的時(shí)候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬(wàn)有引力的夾角很小。由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計(jì)算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響，在此基礎(chǔ)上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用：

GmM

≈mg(類似原子模型)(類似原子模型)方法：軌道上正常轉(zhuǎn)：

Mm

m

m

r

mr

r

r地面附近：

MmR

=

mg

(黃金代換式)通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即mg通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即mg＝

m

m

，

常用來計(jì)算g

g（）gr，比較得

g=（

）r設(shè)天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由mg=

Mm

得

g=

M

，由此推得兩個(gè)不同天體表面重力 加速度的關(guān)系為

g加速度的關(guān)系為

gM

（）計(jì)算中心天體的質(zhì)量某星體

m

圍繞中心天體m

做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則：m

m

r得：m

m

m中r

r

可以注意到：環(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無法計(jì)算的（）計(jì)算中心天體的密度M M

rρ= = =半徑

及運(yùn)行周期

T，就可以算出天體的質(zhì)量．若知道行星的半徑

R

則可得行星的密度人造地球衛(wèi)星。這里特指繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星。、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力提供的，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過地球球心，地球球心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以地球?qū)πl(wèi)星的引力充當(dāng)衛(wèi)星所需的向心力，于是有GmM

ma

m

m

r

m rr

r 、表征衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的物理量：線速度、角速度、周期等：（）向心加速度 與

的平方成反比。 =

r

當(dāng)

取其最小值時(shí)，

取得最大值。

=

（）線速度

與

的平方根成反比= ∴當(dāng)

h↑，v↓r當(dāng)

取其最小值地球半徑R

時(shí)，

取得最大值。

=（）角速度

與

的二分之三次方成反比

=

= r

∴當(dāng)

h↑，ω↓當(dāng)

取其最小值地球半徑R

時(shí)，

取得最大值。

=

g=

≈1

T

=2

=2

T

=2

=2

≈84

minr

∴當(dāng)

h↑，T↑當(dāng)

取其最小值地球半徑R

時(shí)，T

取得最小值。 g衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)

增

減小(EK減小p增加)，所以

E

增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發(fā)射速度越大應(yīng)該熟記常識(shí)：地球公轉(zhuǎn)周期年，自轉(zhuǎn)周期天小時(shí)，地球表面半徑ｘ 表面重力加速度m/s月球公轉(zhuǎn)周期

天．宇宙速度及其意義三個(gè)宇宙速度的值分別為：第一宇宙速度（又叫最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度、近地環(huán)繞速度）：物體圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的最小發(fā)射速度，又稱環(huán)繞速度，其值為：

在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．mg

m

r

．當(dāng)

＞＞

時(shí)．g≈g所以

＝

=7．m/s如果衛(wèi)生的速大于而小于

，衛(wèi)星將做橢圓運(yùn)動(dòng)。當(dāng)衛(wèi)星的速度等于或大于的時(shí)候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星，或飛到其它行星上去，把

叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。物體掙脫太陽(yáng)系而飛向太陽(yáng)系以外的宇宙空間所需要的最小 發(fā)射速度，又稱逃逸速度，其值為：

當(dāng)發(fā)射速度

與宇宙速度分別有如下關(guān)系時(shí)，被發(fā)射物體的運(yùn)動(dòng)情況將有所不同①當(dāng)

＜時(shí)，被發(fā)射物體最終仍將落回地面；②當(dāng)

≤＜時(shí)，被發(fā)射物體將環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，成為地球衛(wèi)星；③當(dāng)

≤＜時(shí)，被發(fā)射物體將脫離地球束縛，成為環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的“人造行星”；④當(dāng)

≥時(shí)，被發(fā)射物體將從太陽(yáng)系中逃逸。．同步衛(wèi)星（所有的通迅衛(wèi)星都為同步衛(wèi)星），⑴

同步衛(wèi)星?！巴健钡暮x就是和地球保持相對(duì)靜止（又叫靜止軌道衛(wèi)星）

所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)，周期，即

，⑵

特點(diǎn)（）地球同步衛(wèi)星的軌道平面，非同步人造地球衛(wèi)星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛(wèi)星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。引力的一個(gè)分力

F，而另一個(gè)分力

F的作用將使其運(yùn)行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運(yùn)行。（）地球同步衛(wèi)星的周期：地球同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。（）同步衛(wèi)星必位于赤道上方

處，且

是一定的．

Mmr

m

r得得r

故

r

km（）地球同步衛(wèi)星的線速度：環(huán)繞速度由

Mm

m

得

r

r

r

km/同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機(jī)械能不同。其中衛(wèi)星的動(dòng)能為

E 同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機(jī)械能不同。其中衛(wèi)星的動(dòng)能為

E

GMm

，由于重力加速度

g

隨K人造天體在運(yùn)動(dòng)過程中的能量關(guān)系小的動(dòng)能。反之，如果人造天體在運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對(duì)其做正功，故導(dǎo)致其動(dòng)能將增大。rr

E=mgh計(jì)算，而要用到公式E

GMmr

（以無窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，M

為地球質(zhì)量，m

為衛(wèi)星質(zhì)量，r

為衛(wèi)星軌道半徑。由于從無窮遠(yuǎn)向地球移動(dòng)過程中萬(wàn)有引力）做正功，所以系統(tǒng)勢(shì)能減小，為負(fù)。

因此機(jī)械能為

E

GMm）r

。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機(jī)械能越大，發(fā)射越困難?！侯}型解析』類型題：

萬(wàn)有引力定律的直接應(yīng)用【例題】下列關(guān)于萬(wàn)有引力公式F

mmr

的說法中正確的是（

）A．公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B．當(dāng)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無窮大C．兩物體間的萬(wàn)有引力也符合牛頓第三定律．公式中萬(wàn)有引力常量

的值是牛頓規(guī)定的【例題】設(shè)想人類開發(fā)月球，不斷地把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上．假如經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運(yùn)動(dòng)則與開采前比較（

）A．地球與月球間的萬(wàn)有引力將變大B．地球與月球間的萬(wàn)有引力將減小C．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng)．月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短類型題：

重力加速度

g

隨離高度

變化情況表面重力加速度：

Mm

mg

g

GMmh

mgh

gh

h 【例題】火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的 和 ，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力 加速度約為（

）

g

g

g類型題：

用萬(wàn)有引力定律求天體的質(zhì)量和密度通過觀天體衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T

和軌道半徑

或天體表面的重力加速度g

和天體的半徑

R體的質(zhì)量

。

m

m

r

得M

r

Mm

r

又M

得

r

【例題】宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過時(shí)間

，小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為

L。若拋出時(shí)初速度增大到

倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為

L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬(wàn)有引力常數(shù)為

。求該星球的質(zhì)量

?！纠}】某行星的衛(wèi)星，在靠近行星的軌道上運(yùn)動(dòng)，若要計(jì)算行星的密度，唯一要測(cè)量出的物理是（）A：行星的半徑B：衛(wèi)星的半徑C：衛(wèi)星運(yùn)行的線速度：衛(wèi)星運(yùn)行的周期類型題：

雙星問題宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠(yuǎn)，因此其它星球?qū)λ鼈兊倪@種結(jié)構(gòu)叫做雙星。⑴

由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度必相等，因此周期也必然相同。⑵由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬(wàn)有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mω

r

可得

，于是有r

，于是有r

m

m

mm

m

m

mL,r

L

m

r

r

m⑶列式時(shí)須注意：萬(wàn)有引力定律表達(dá)式中的

表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L，而向心力表達(dá)式中的

表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，在本題中為、，千萬(wàn)不可混淆【例題】?jī)蓚€(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為，其運(yùn)動(dòng)周期為，求兩星的總質(zhì)量?！纠}】在光滑桿上穿著兩個(gè)小球

m、m，且

m=2m，用細(xì)線把兩球連起來，當(dāng)盤架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩小球剛好能與桿保持無相對(duì)滑動(dòng)，如圖所示。此時(shí)兩小球到轉(zhuǎn)軸的距離r與

r之比為（ ） m mA．∶ B．∶

C．∶ ．∶類型題：

人造衛(wèi)星的一組問題340km

的圓軌道上運(yùn)行了

108

圈。運(yùn)行中需要多次進(jìn)行

保持在預(yù)定軌道上穩(wěn)定運(yùn)行。如果不進(jìn)行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會(huì)逐漸降低，在這種情況下飛船的動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械能變化情況將會(huì)是A．動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械能都逐漸減小B．重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能不變C．重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，機(jī)械能不變D．重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能逐漸減小

如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，先進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道，然后在

P

點(diǎn)點(diǎn)火加速，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的

P

，遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步軌道上的

Qv

P

點(diǎn)短時(shí)間加速后的速率為

v，沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)

Q

時(shí)的速率為

v，在

Q

點(diǎn)短時(shí)間加速后進(jìn)入同步軌道后的速率為v。試比較

v、v、v的大小，并用小于號(hào)將它們排列起來______。

類型題：

衛(wèi)星的追及問題）A

行星的周期為T，）B

行星的周期為T，在某一時(shí)刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近，則（ ）。T2

T1

，兩行星將第二次相遇T2

T1

，兩行星將第二次相遇B．經(jīng)過時(shí)間t T1T2Ｃ．經(jīng)過時(shí)間t

1

T1T2

，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)2

T2

T1D．經(jīng)過時(shí)間

t

1

T1T22

T2

T1

兩行星第一次相距最遠(yuǎn)

的軌道半徑為

r，B

的軌道半徑為

r，已知恒星質(zhì)量為m

，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r＜r。若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：再經(jīng)過多少時(shí)間兩行星距離又最近？類型題：

數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用物理是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使問題簡(jiǎn)化。甚至在有的問題中，數(shù)學(xué)知識(shí)起關(guān)鍵作用。割補(bǔ)法的運(yùn)用

M

m

的質(zhì)點(diǎn)，M

對(duì)

m

的萬(wàn)有引力的大小為

F?，F(xiàn)從

M

中挖出一半徑為

r

的球體，如圖，OO′=R/2。求

中剩下的部分對(duì)

m

的萬(wàn)有引力的大小。o

o

m答案

★解析：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為，

L

L

可得設(shè)該星球上的重力加速度為g，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：

可得

g由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得：mg

Mm

聯(lián)立以上各式解得M

。

M和

M

點(diǎn)作周期為

和星球

到

的距離分別為

l和

l。由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得M：

l

l＝M（

）

l ，∴M＝

l＝M（

）

l∴M＝

M

M