《電磁場理論》教案

電磁場理論(第三章)內(nèi)蒙古電力學(xué)院電力系電工教研室李雨潤第三章恒定磁場§3-1磁感應(yīng)強(qiáng)度

由恒定電流激發(fā)的磁場稱為恒定磁場。由于恒定流動的電荷產(chǎn)生的恒定電場和恒定電流產(chǎn)生的恒定磁場均不隨時間變化，因此它們之間彼此沒有影響而能獨立存在。這樣，我們可以分別研究它們的基本規(guī)律和特性。3.1.1安培（力）定律兩相距為R的元電流I’dl’和Idl之間，存在有相互作用的磁場力。這是由于電流產(chǎn)生了磁場，而磁場又對場中的電流有作用力的緣故。這個力的大小與R的平方成反比，而與I’dl’、Idl的乘積I’dl’dlIdfR圖3-1成正比。對于整個回路，通有電流I的回路受到通有電流I‘的回路的作用力：(電流回路l’對電流回路l的作用力)這就是安培力定律。上式中eR是從dl’到dl的單位矢量,μ0是真空中的磁導(dǎo)率，在國際單位制中μ0=4π×10-7H/m(亨/米)。上述情況與靜電場中兩點電荷之間作用力的情況類似。但是，磁場力的大小還與兩個元電流的方向及R的方向有關(guān)；磁場力的方向也不象電場力那樣總是沿eR（或-eR）的方向，這些都是磁場本身的性質(zhì)所決定的。在電場中，我們是根據(jù)電荷在電場中的受力來定義電場強(qiáng)度的。現(xiàn)在可以根據(jù)電流在磁場中的受力來定義磁感應(yīng)強(qiáng)度。當(dāng)我們將試驗元電流Idl攜入磁場中某點，便會受到磁場的作用力，作用力的大小和方向，與該點的磁場有關(guān)；還與Idl的方向有關(guān)。把上面安培力的公式改寫為:3.1.2磁感應(yīng)強(qiáng)度括號中的量代表電流I’在Idl處產(chǎn)生的磁效應(yīng)，用B表示上式所表示的關(guān)系，通常稱為畢－沙定律。B稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度(又稱磁通密度)，它是表征磁場特性的基本場量，其單位是T（特斯拉）?？紤]到不同形式的元電流段JdV、KdS等，畢—沙定律還可寫成和電流強(qiáng)度為I的線電流回路在磁場中受到的作用力為

洛侖茲力是電荷q在磁場中以速度v運動時受到磁場的作用力

例3-1

計算真空中載電流I、長為2L的細(xì)直導(dǎo)線外任一點的磁感應(yīng)強(qiáng)度。P（ρ,z）LLdl’ρzo圖3-2

解：選擇如圖3-2所示的圓柱坐標(biāo)系，導(dǎo)線與z軸重合且坐標(biāo)原點在導(dǎo)線中點，導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場與φ角無關(guān)，圖中P點的磁感應(yīng)強(qiáng)度為其中式中ρ是場點到導(dǎo)線的垂直距離，若載流導(dǎo)線為無限長，即L→∞則對上式取極限可得

例3-2

真空中有一半徑為a的載流線圈，電流強(qiáng)度為I，求其軸線上任一點P處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。IaθdBrzPdl圖3-3

解：首先選擇元電流段Idl，該電流元在P點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為由于er與dl垂直，則dB的方向如圖3-3所示。以圓心為坐標(biāo)原點，建立圖示坐標(biāo)系。由于對稱性，電流元（Idl）直徑的另一端的電流元也在P點產(chǎn)生磁場，它們在垂直于z的方向上互相抵消,而在z方向上投影相同,故可寫出dB的分量形式方向沿z正方向.由此可以推出圓心(z=0)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度3.2.1真空中的安培環(huán)路定律§3-2安培環(huán)路定律在真空中的磁場中，沿任意閉合回路磁感應(yīng)強(qiáng)度的線積分(環(huán)量)等于穿過此回路的電流總值乘以μ0,即和號中的各電流通過回路的方向與l的饒行方向之間若符合右手螺旋關(guān)系，則電流取正號，反之取負(fù)號。這稱為安培環(huán)路定律。應(yīng)用安培環(huán)路定律能比較簡單地求出某些對稱條件下的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。

例3-3

圖3-4（a）為一根無限長同軸電纜的截面，芯線通有均勻分布的電流I，外皮通有量值相同但方向相反的電流，試求各部分的磁感應(yīng)強(qiáng)度。圖3-4（a）

解：這是一個平行平面磁場，磁場的分布與電纜的長度無關(guān)，也和φ角無關(guān)。根據(jù)圖中給定的電流方向，用右手螺旋法則判斷B線應(yīng)是反時針方向的同心圓。當(dāng)ρ＜R1時，內(nèi)導(dǎo)體中電流密度取一半徑小于R1的圓周為積分回路，則穿過圓面積的電流I’為根據(jù)安培環(huán)路定律當(dāng)R1＜ρ＜R2時，以ρ為半徑，取一圓周為積分回路，應(yīng)用安培環(huán)路定律，得當(dāng)R2＜ρ＜R3時，采用同樣的方法，這時穿過半徑為ρ的圓面積的電流為：應(yīng)用安培環(huán)路定律，得圖3-4（b）

對于電纜外（ρ＞R3處），I”’=0，則Bφ=0。Bφ隨ρ變化的曲線，如圖3-4（b）所示。

請同學(xué)自己用安培環(huán)路定律驗證一載流I的無限長直導(dǎo)線外任一點的磁感應(yīng)強(qiáng)度為為探討任意磁介質(zhì)中的磁場強(qiáng)度與電流之間的關(guān)系必須先討論媒質(zhì)的磁化。3.2.2媒質(zhì)的磁化物質(zhì)內(nèi)部由于帶電粒子不斷地自旋及作軌道運動，形成許多微小的分子電流。每個分子電流相當(dāng)于一個磁偶極子，產(chǎn)生磁矩一個分子磁矩定義為m=IS，如圖3-5所示。mdSI圖3-5在無外磁場作用時，這些分子電流產(chǎn)生的磁矩m的方向雜亂無章，宏觀地看它們產(chǎn)生的磁場互相抵消，因此對外不顯磁性。一旦磁介質(zhì)被放入外磁場中，分子電流因受到外磁場的作用而作有規(guī)則的排列，從而顯出磁性。我們稱這時的物(媒)質(zhì)處于磁化狀態(tài).我們用磁化強(qiáng)度矢量M來表示物質(zhì)磁化的程度。它定義為單位體積中磁矩的總和，即M的單位是安/米。它與電介質(zhì)中的極化強(qiáng)度P相對應(yīng)既然極化的結(jié)果產(chǎn)生束縛電荷。那么，磁化的結(jié)果必然產(chǎn)生束縛電流，稱為磁化電流。這是由于媒質(zhì)的磁化，使媒質(zhì)中出現(xiàn)的宏觀的附加電流。仿照靜電場中極化電荷密度和極化強(qiáng)度矢量之間關(guān)系的推導(dǎo)，可以導(dǎo)得磁化后物質(zhì)中體電流密度和面電流密度與磁化強(qiáng)度之間的關(guān)系為：在計算有導(dǎo)磁媒質(zhì)存在時的磁感應(yīng)強(qiáng)度時，只要把磁化電流的這兩種密度考慮進(jìn)去，與自由電流一起計算它們在真空中產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度即可。按照磁化電流同樣要產(chǎn)生磁場的觀點，在磁介質(zhì)中就有：式中I表示自由電流，Im為磁化后引起的電流，l為任意的閉合路徑?？紤]到穿過l所圍面積的磁化電流：對等號右邊第二項應(yīng)用斯托克斯定理，得：令：，并稱為磁場強(qiáng)度，則上式成為：在各向同性的磁介質(zhì)中，M與H同向，且成正比，即Χm是一個稱為磁化率的純數(shù)。此時在各向不同性的磁介質(zhì)里，M與H不一定同向，所以，μ也不是標(biāo)量了。

如果穿過回路l所限定面積的自由電流不止一個，則這就是一般形式的安培環(huán)路定律的表達(dá)式。

例3-4

磁導(dǎo)率為μ，半徑為a的無限長導(dǎo)磁媒質(zhì)圓柱，其中心有無限長的線電流I，圓柱外是空氣。求圓柱內(nèi)外的磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度。

解：先利用安培環(huán)路定律求磁場強(qiáng)度。以線電流I為軸線，作半徑為ρ的圓周為安培環(huán)路，在ρ＞0的空間區(qū)域當(dāng)0＜ρ＜a時當(dāng)ρ＞a時§3-3恒定磁場的基本方程·分界面上的銜接條件3.3.1磁通連續(xù)性原理我們把穿過磁場中一個給定曲面S的磁感應(yīng)強(qiáng)度通量稱為磁通，即根據(jù)畢奧—沙伐定律可以證明：穿過任意閉合面的磁通代數(shù)和恒等于零，即在國際單位制中，磁通的單位是韋伯（Wb），即伏·秒.此式稱為磁通連續(xù)性原理，是以前磁路計算時的重要關(guān)系之一。它反映了磁感應(yīng)線一定是閉合曲線，不象電力線那樣由正電荷發(fā)出終止于負(fù)電荷。應(yīng)用高斯散度定理于磁通連續(xù)性方程從而有：它表明恒定磁場是一個無源（散）場。

根據(jù)畢奧—沙伐定律證明：可改寫成因為（1）（2）（3）（1）、（2）式中（x,y,z）為場點的坐標(biāo)；（x’,y’,z’）為源點的坐標(biāo)。對（2）式取散度,有（4）應(yīng)用矢量恒等式則（4）式積分號內(nèi)的矢量運算可表示為（5）（6）因為對（2）式取散度是對場點坐標(biāo)（x,y,z）作微分運算，所以（6）式中的；又因任意標(biāo)量函數(shù)的梯度的旋度恒等于零，所以，（6）式中的第二項也為零。故有即（7）（8）由高斯變換得（9）（10）（8）、（10）兩式分別為恒定磁場基本方程之一的微分形式和積分形式，它們表示磁感應(yīng)強(qiáng)度B是無散或無源場，即磁感應(yīng)線是無頭無尾的閉合線3.3.2恒定磁場的基本方程磁通連續(xù)性原理和安培環(huán)路定律表征了恒定磁場的基本性質(zhì)它們是恒定磁場基本方程的積分形式：將斯托克斯定理應(yīng)用于安培環(huán)路定律，并用J的面積分表示自由電流，得：式中的兩個面積分是對同一個表面進(jìn)行的，因此表明電流是引起磁場的渦旋源，故磁場是有旋場。

上二式并稱為恒定磁場基本方程的微分形式。表明恒定磁場是無源有旋場。

B和H這兩個場量的關(guān)系是：對于各向同性的線性介質(zhì)兩種媒質(zhì)分界面上的銜接條件是磁場基本方程的積分形式在分界面處的具體表現(xiàn)。它在磁場的定解問題中起著十分重要的作用。

●首先，根據(jù)安培環(huán)路定律研究邊界處的磁場。在邊界處作一小的矩形閉合曲線，它的長邊Δl1與分界面平行，并分別在界面兩側(cè)；短邊Δl2與分界面垂直，且Δl2→0，考慮分界面上存在面電流，如圖3-6，則有：3.3.3分界面上的銜接條件μ1μ2α1α2Δl2Δl1H1nH1tH2nH2tH1H2圖3-6即還可寫成面電流密度K的正方向與H1t的饒行方向符合右手螺旋關(guān)系。寫成矢量形式為μ1μ2α1α2Δl2Δl1H1nH1tH2nH2t圖3-6若分界面上無面電流，則

H1t=H2t表明磁場強(qiáng)度的切線分量在界面處是連續(xù)的。但磁感應(yīng)強(qiáng)度的切線分量是不連續(xù)的。其中為分界面上從媒質(zhì)1指向媒質(zhì)2的法線方向單位矢量。

●其次，根據(jù)磁通連續(xù)性原理研究邊界處的磁場。在邊界處作一扁的柱形閉合面，它的底面積為ΔS，分別在界面兩側(cè)并與界面平行；高Δl→0，如圖3-7所示。對這個小閉合面應(yīng)用磁通連續(xù)性原理，可得還可以寫成Δlμ1μ2β1β2ΔS圖3-7寫成矢量形式為

與靜電場類似，如果兩種媒質(zhì)均勻而且各向同性，則有：α1=β1

，α2=β2，可得磁場的折射定律為：Δlμ1μ2β1β2ΔS圖3-7

可見，磁感應(yīng)強(qiáng)度的法線分量是連續(xù)的，而磁場強(qiáng)度的法線分量則不連續(xù)

例3-5

設(shè)y=0平面是兩種媒質(zhì)的分界面。在y＞0處媒質(zhì)的磁導(dǎo)率μ1=5μ0；在y＜0處，媒質(zhì)的磁導(dǎo)率μ2=3μ0。設(shè)已知分界面上無電流分布，且H2=（10ex+20ey）A/m，求B2、B1和H1。

解：對于B2可以直接寫出

B2=μ2H2=3μ0H2=μ0（30ex+60ey）T由于分界面上無面電流密度（K=0），因此H1x=H1t=H2t=10B1y=B1n=B2n=60μ0可求得因此B1=μ0（50ex+60ey）TH1=（10ex+12ey）A/m，

根據(jù)場論，如果一個矢量函數(shù)的散度恒等于零，則這個矢量函數(shù)可以用另外一個矢量函數(shù)的旋度來表示。在磁場中，由于矢量函數(shù)B的散度恒等于零，我們可以用另外一個矢量函數(shù)A的旋度來表示B，即A叫做矢量磁位?！?-4磁矢位·恒定磁場的邊值問題3.4.1磁矢位把上式代入中，并考慮到各向同性的線性媒質(zhì)中，可得由向量恒等式則有：例如，若令則有即A’和A對應(yīng)于同一磁場B。這是由于只規(guī)定了A的旋度。而要確定一個向量，必須同時規(guī)定它的散度和旋度，因此，還應(yīng)規(guī)定A的散度，為了方便起見，可補(bǔ)充規(guī)定這樣便得到A的微分方程為：這就是矢量磁位的泊松方程。在電流密度δ=0處，向量磁位滿足拉普拉斯方程。上式相當(dāng)于三個標(biāo)量泊松方程，在直角坐標(biāo)系中它們是參照靜電場中泊松方程的解答形式，當(dāng)電流分布在有限空間且規(guī)定無限遠(yuǎn)處矢量磁位的量值為零時，上列各式的解答分別是將以上三式合并，即得對于不同形式的電流分布引起的矢量磁位，還可寫成或

例3-6應(yīng)用磁矢位分析真空中磁偶極子的磁場

解：設(shè)磁偶極子是一面積很小的任意形狀的平面回路，它被置于xoy平面上，如圖3-8所示，我們考慮的是與回路尺度相比很遠(yuǎn)處的磁場，根據(jù)公式，任一點的磁矢位可寫成：根據(jù)矢量積分公式則利用關(guān)系式可將上式寫成IOzyxRrA圖3-8磁偶極子的磁場由于磁偶極子的尺度遠(yuǎn)小于到場點的距離，R≈r，eR≈er，因而上式可以寫成代入A中可得磁矢位的各分量為轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系A(chǔ)的各分量是所以令m=IS為偶極子的磁矩，可將上面的磁矢位A和磁感應(yīng)強(qiáng)度B寫成矢量形式

例3-7雙線輸電線的磁場

解：設(shè)輸電線之間距離為2b（圖3-9），欲求空間任意一點P的矢量磁位,此點與兩導(dǎo)線之間的距離各為ρ1及ρ2。由于導(dǎo)線上各處電流密度方向均相同，故P點的矢量磁位也具有與載流導(dǎo)線相同的方向。

應(yīng)用公式：計算P點的矢量磁位為：xyz2bzdz0IIρ1ρ2R1(0,-b,0)(0,b,0)P圖3-9式中的ρ1和ρ2分別是場點到兩導(dǎo)線的垂直距離所以：由便可算出3.4.2磁矢位的邊值問題分界面上的銜接條件，也可應(yīng)用矢量磁位表示，它們是：推導(dǎo)方法與前面推導(dǎo)其它場量的銜接條件方法一樣（同學(xué)自己看書）。我們可以從反面來理解其合理性，如果矢量磁位不連續(xù)，則磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度將趨向無限大，這顯然不合理。由磁矢位所滿足的泊松方程和分界面上的銜接條件以及場域邊界上給定的邊界條件一起構(gòu)成了描述恒定磁場的邊值問題。

例3-8一半徑為a的長直圓柱導(dǎo)體通有電流，電流密度J=Jzez。求導(dǎo)體內(nèi)外的磁矢位（導(dǎo)體內(nèi)外媒質(zhì)的磁導(dǎo)率均為μ0）zxya圖3-10

解：磁矢位在導(dǎo)體內(nèi)外滿足微分方程且由于對稱性，A=Azez，Az僅為ρ的函數(shù)，即當(dāng)ρ≥a時當(dāng)ρ≤a時滿足的邊界條件是代入邊界條件，當(dāng)ρ→0，A1為有限值，故應(yīng)有C1=0。當(dāng)ρ=a時，A1=0，故當(dāng)ρ=a時，A1=A2=0，故C4=－C3lna所以再利用磁感應(yīng)強(qiáng)度ρ≥aρ≤a★用向量磁位計算磁通在上式中應(yīng)用了斯托克斯定理，l是沿面積S的邊緣的閉合曲線。因為磁通量Φ的單位是韋伯，所以A的單位是韋伯/米。在計算磁通量時，計算A的閉合線積分往往比計算B的面積分更方便。式中φm是一個標(biāo)量位函數(shù)，稱為標(biāo)量磁位。在國際單位制中，磁位的單位是A(安)。標(biāo)量磁位φm只在形式上與電位φ類似,它是一個輔助量,不象電位φ那樣具有物理意義。由方程，磁場不是無旋場。因此，一般來說，不能同靜電場一樣用一個標(biāo)量位函數(shù)來表示磁場的特性。但是，在沒有傳導(dǎo)電流（J=0）的區(qū)域內(nèi)，H的旋度處處等于零。所以在J=0的區(qū)域，也可以假設(shè)§3-5磁位3.5.1磁位式中O為參考點，參考點的磁位φmo=0，而點之間的磁壓降為仿照靜電場，任一點A上的磁位為:

φm是多值函數(shù)。這一點可說明如下：由磁位的定義式：某點A的標(biāo)量磁位φm等于該點到參考點O之間H的線積分，這個積分值與積分的路徑有關(guān)。Il2l1OA圖3-11如圖3-11所示，設(shè)：因為：所以：可見結(jié)果相差了I。這是由于途徑2穿過了電流回路所致。如果積分途徑穿過電流回路k次,其結(jié)果將相差kI，故φm是多值的。為了克服這個困難，可限制積分途徑不得穿過電流回路(可設(shè)想在電流回路上蒙上一層隔膜稱為磁障礙面不讓積分途徑回路穿過)。在實際問題中我們默認(rèn)這個限制的存在，則φm即為單值函數(shù)。在均勻媒質(zhì)中，由于有可以得出由于媒質(zhì)是均勻的，μ是常數(shù)，因此磁場的微分方程組簡化為φm的拉普拉斯方程。3.5.2磁位的邊值問題在沒有傳導(dǎo)電流的分界面上，H1t=H2t和B1n=B2n可用標(biāo)量磁位表示。分析方法同靜電場電位的邊界條件一樣，它們是R1R2φm1φm2圖3-12例3-9

設(shè)有同心圓筒形磁極，如圖3-12，求兩磁極間氣隙中的磁場及氣隙磁導(dǎo)。已知內(nèi)磁極半徑為R1，外磁極內(nèi)半徑為R2，磁位分別為φm1和φm2。解：取圓柱坐標(biāo)系，以圓柱形磁極的軸為z軸，略去兩端的邊緣效應(yīng)，可得：φm=φm(r)解之得：φm=C1lnρ+C2由邊界條件得：

ρ=R1,φm(R1)=C1lnR1+C2=φm1

ρ=R2,φm(R2)=C1lnR2+C2=φm2解得：故得：因，故磁通Φ為可見，φ的邊值問題與對應(yīng)的電位的邊值問題是類似的。磁導(dǎo)的計算，類似于靜電場中電容的計算，兩者可以相互比擬。磁導(dǎo)：

最后,在結(jié)束本節(jié)時，我們把引入標(biāo)量磁位φm和向量磁位A分析磁場問題的重要結(jié)果列于下表，供學(xué)習(xí)時參考。為了便于比較，把電位的有關(guān)結(jié)果也列在表中。位函數(shù)φφmA引入位函數(shù)的根據(jù)位函數(shù)與場量的關(guān)系位函數(shù)的方程位函數(shù)φφm場源公式A偶極子的位函數(shù)介質(zhì)的影響§3-6鏡象法

在靜電場中曾經(jīng)介紹了鏡象法的概念，它是用鏡象電荷來代替分布的感應(yīng)電荷或極化電荷的作用，從而比較方便地找到符合邊界條件的解的方法。這種分析問題的思路和方法的理論根據(jù)是”唯一性定理“，同樣可以運用于磁場問題，即用”鏡象電流“來代替分布的磁化電流的作用而簡化求解，稱為磁場的鏡象法。

具有不同磁導(dǎo)率μ1、μ2的兩種媒質(zhì)，如果分界面為無限大平面，在μ1媒質(zhì)中有一與分界面平行的電流I[圖3-13（a）]，要求兩種媒質(zhì)中的磁場，可用鏡象法求解。在求μ1中磁場時，可把μ2換成μ1，而用I’代替μ2對μ1的作用[圖3-13（b）]；在求μ2中磁場時，可把μ1換成μ2，而用I“代(b)μ1μ1aaaII’rrααμ1aμ2I(a)μ2μ2I”arα(c)圖3-13替μ1對μ2和I的作用[圖3-13（c）]。根據(jù)邊界條件H1t=H2t可得:再由B1n=B2n可得（1）、（2）兩式聯(lián)立，解得只要按照以上二式來設(shè)置鏡象電流，就可按照圖3-7來計算兩種磁介質(zhì)中的磁場。其計算結(jié)果能夠滿足兩種磁介質(zhì)中的微分方程，以及兩種磁介質(zhì)分界面上的邊界條件，故為正確解答。◆兩種特殊情況

1.當(dāng)μ1=μ0，μ2→∞（鐵磁物質(zhì)）時，則有這時，鐵磁物質(zhì)內(nèi)的磁場強(qiáng)度H2到處為零，但磁感應(yīng)強(qiáng)度B2并不為零2.當(dāng)μ1→∞，μ2=μ0時，有：這種情況是將載流導(dǎo)線置于鐵磁物質(zhì)中，可見空氣中的磁感應(yīng)強(qiáng)度比鐵磁物質(zhì)不存在時，增大了一倍?！纛惐确?/p>

在邊值問題的分析計算中，根據(jù)位場解答的唯一性定理，可采用類比的方法。即：各種物理場，不論它們所對應(yīng)物理量的意義是否相同，只要它們具有相同的數(shù)學(xué)描述，也就是說，具有相似的微分方程和相似的邊值,則它們的解答在形式上必完全相似。因而,在理論計算時,我們可以把某一位場的分析計算結(jié)果,推廣到一切相似的位場中去.對上述磁場的鏡象法,也可采用類比法。根據(jù)靜電場中鏡象電荷的計算公式，考慮到有關(guān)對應(yīng)量，以1/μ1代替ε1，1/μ2代替ε2，以I代替τ，即可得到鏡象電流的計算公式?！?-7電感3.7.1自感

考慮一個閉合的導(dǎo)體回路l，其中通過的電流為I。由于I在空間產(chǎn)生了磁場，便有磁通φ穿過l。當(dāng)空間不存在非線性磁化物質(zhì)時，磁場以及磁通和電流成正比，可以寫成

φ=LI如果回路是由n匝導(dǎo)線構(gòu)成，各匝的磁通都為φ，則穿過n匝回路的總磁通為ΨL=nφ，ΨL通常稱為全磁通或磁鏈。此時

ΨL=LIL=ΨL/IL是和回路l的形狀、大小以及空間媒質(zhì)的磁化性能有關(guān)的常數(shù)，稱為回路的自感系數(shù)。在國際單位制中,它的單位是亨利（H）。

例3-10計算長為l的同軸電纜的自感圖3-14

解:如圖3-14所示，設(shè)構(gòu)成電纜的所有材料的磁導(dǎo)率均為μ0，外殼厚度忽略不計，認(rèn)為R2≈R3，電纜中通過的電流為I，且在導(dǎo)體中均勻分布，則內(nèi)導(dǎo)體中的電流密度

先求內(nèi)磁鏈，由安培環(huán)路定律，可求得在內(nèi)導(dǎo)體中穿過軸向長度為l，寬為dρ的面元上的元磁通為求磁鏈時，與dΦi相交鏈的電流不是I，僅是它的一部分，即因此，與dΦi相對應(yīng)的元磁鏈為內(nèi)導(dǎo)體中總的自感磁鏈為由此可得內(nèi)自感這里注意，內(nèi)自感的值僅與圓導(dǎo)線的長度有關(guān)，而與半徑無關(guān)。當(dāng)R1≤ρ≤R2時，由安培環(huán)路定律，可得外自感為當(dāng)ρ＞R2（R3）時，B=0，無磁場，故總電感

若外殼厚度不能忽略，即R3≠R2時，只要再計算外殼層的內(nèi)自感，與前面所計算出的電感相加即可當(dāng)R2≤ρ≤R3時，也可由安培環(huán)路定律得這時與電流交鏈的磁鏈則外殼導(dǎo)體的內(nèi)自感為此時電纜的總電感

例3-11求圖3-15所示二線傳輸線的自感。DlIIBxxdxR圖3-15

解：導(dǎo)線尺寸如圖所示，并由非鐵磁材料制成。同樣分為內(nèi)自感和外自感。在計算外磁鏈時，可認(rèn)為電流集中在幾何軸線上，在距左軸線x處的磁場強(qiáng)度為：圖3-16RRD+I-IabxdxBx穿過面元ldx的磁通dΦm=Bldx，故外磁鏈

(圖中a、b之間的磁通)所以：

對于內(nèi)自感Li。設(shè)導(dǎo)線回路的尺寸D>>R，導(dǎo)體內(nèi)的磁場將與單根無限長直導(dǎo)線內(nèi)的磁場相接近，則二根導(dǎo)線的內(nèi)自感為:由此得二線傳輸線的自感為現(xiàn)在考慮兩個回路之間的互感問題，設(shè)有兩個回路1和2，在1回路中通以電流I1，在空間產(chǎn)生了磁場，便有磁鏈穿過2回路。當(dāng)空間不存在磁化物質(zhì)時，磁鏈ψ21是與I1成正比的，可寫為

ψ21=M21I1或M21=ψ21/I1M21是與回路的形狀、大小、相互位置以及空間媒質(zhì)的磁性能有關(guān)的常數(shù)，稱為回路2和回路1之間(回路1對回路2)的互感(系數(shù))。[下標(biāo)第一個數(shù)字表示與磁通交鏈的回路，第二個數(shù)字表示引起磁通的電流回]3.7.2互感

同理：回路1和回路2的互感（系數(shù)）可表示成

M12=ψ12/I2并且可以證明M12=M21

例3-12求圖3-17所示傳輸線的電感，圖中AB表示一對傳輸線，CD表示一對傳輸線。DACDADDBCDBDABCDD’C’圖3-17

解：設(shè)AB傳輸線中有電流I，由于電流I的對外作用中心線即為幾何軸線，因此導(dǎo)線A中的電流所產(chǎn)生的與CD對傳輸線有關(guān)的互感磁鏈應(yīng)為同理導(dǎo)線B中的電流所產(chǎn)生的與CD對傳輸線所交鏈的互感磁鏈為由于這兩部分磁通方向相同，總的互感磁鏈為從而得互感為電感的計算：計算電感可以通過下面四種途徑進(jìn)行4.類比法

在磁導(dǎo)率為μ的均勻媒質(zhì)的平行平面磁場中，一個均勻載流導(dǎo)體系統(tǒng)每單位長度的外電感

Le’，與相應(yīng)的（即同樣幾何條件）介電常數(shù)為ε的均勻媒質(zhì)的平行平面電場中每單位長度的電容C’之間，有簡單的關(guān)系：

Le’C’=με如果已知電容C’，就能很快得到電感Le’。3.7.3聶以曼公式設(shè)有二導(dǎo)線回路l1、l2如圖3-9，我們來計算它們之間的互感。設(shè)回路1中通以電流I1，則由此引起的空間各點的向量磁位為：R圖3-18由于這個磁場引起的穿過回路l2的磁通，可由關(guān)系式計算。將A的表達(dá)式代入，便得由回路1中電流I1產(chǎn)生而和回路2相交鏈的互感磁鏈為。所以：此式稱為聶以曼公式（Neumann’sFormula）

如果我們令l2中電流為I2，求它引起的穿過l1的磁通φ12,則可求得說明互感系數(shù)是符合互易特性的。若回路1、2分別由N1和N2匝的細(xì)導(dǎo)線緊密繞制而成，則互感為：

再來計算單匝回路的自感系數(shù)。設(shè)回路中通以電流I，我們來計算由此而產(chǎn)生的通過回路的磁通。如前所述，可以把磁通分成外磁通和內(nèi)磁通兩部分。在計算外磁通時，可以認(rèn)為電流是集中在導(dǎo)線的軸線l1上，而磁通則是穿過導(dǎo)線內(nèi)側(cè)邊線l2所限面積的磁通。如圖3-19所示。故得：Idl1l1l2dl2R圖3-19所以對于匝數(shù)等于N的緊密繞制的線形回路來說，其外自感應(yīng)等于至于內(nèi)電感，可以按前面給出的公式計算，所以通常線形回路的內(nèi)自感遠(yuǎn)小于外自感，所以它的自感為§3-8磁場能量與力首先討論兩個電流回路產(chǎn)生的磁場能量。假設(shè)在真空中有兩個導(dǎo)線回路l1和l2，它們的電流分別為i1和i2，開始時電流為零,最終電流分別為I1和I2。同時,空間各點的磁場也由零增加到最后的恒定值。根據(jù)能量守恒定律,使電流增加的各外電源所做的功的總和應(yīng)等于恒定磁場的能量。我們假設(shè)上述過程分兩步完成：第一步,維持i2=0,使i1先從零增加到I1;第二步,維持I1不變,再使i2從零增加到I2。3.8.1恒定磁場中的能量

先看第一步，如圖3-20，當(dāng)i1有增量di1時，周圍的磁場有所改變，l1和l2兩回路的磁鏈就分別有增量dψ11和dψ21，在該回路中分別有感應(yīng)電動勢B1l1i1i2=0l2圖3-20ε11ε21ψ11ψ21和因此要使i1在dt時間內(nèi)改變di1必須在回路l1中加電壓u11=-ε11。在回路2中也必須加電壓u21=-ε21以維持i2=0。這樣在dt時間內(nèi)，外源需作功：由于回路l2中的電流維持為零，故對回路l2不需作功?？梢娛闺娏鱥1由零增大到I1，外源作的功為

再看第二步，如圖3-21所示，要維持I1不再變化，并使i2從零增加到I2。當(dāng)i2在dt時間內(nèi)有增量di2時，則兩回路的磁鏈分別有增量dψ12和dψ22，在兩回路中分別有感應(yīng)電動勢:I1l1B2l2i2圖3-21ε12ψ12ε22ψ22為了維持I1不變，必須在l1中加一個電壓u12=-ε12去抵消由于i2變化所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢。同時，為了使i2能夠增加di2，必須在l2中加一個電壓u22=-ε22去抵消自感電動勢?？傊赿t時間內(nèi)，外源在兩個回路中所作的功分別是：這樣，維持I1不變，并使i2從零增加到I2的過程中，外電源所作的功是：

建立整個回路系統(tǒng)，外電源所作的總功應(yīng)為上述兩步之和。根據(jù)能量守恒定律，所作的全部功都轉(zhuǎn)換為兩個恒定電流回路系統(tǒng)的磁場能量，即

我們可以把上式改寫成以下形式：上式中的ψ1和ψ2分別是穿過回路l1和l2的總磁鏈（自感磁鏈與互感磁鏈之代數(shù)和）。

如果空間有N個電流回路，則這個系統(tǒng)的磁場能量由上式推廣得到3.8.2磁場能量的分布及其密度上式是計算N個電流回路系統(tǒng)總磁能的公式。這個公式容易給人一個印象，似乎磁能是集中在有電流的導(dǎo)體內(nèi)和回路所包圍的面積上。單實驗指出,如果在這些回路之外再引入一個試探電流回路,它將受到作用力而運動。這說明,磁場能量儲存于磁場存在的空間,即在磁場不為零的地方就存在磁能.因此,我們還必須從上式出發(fā)尋找能量與磁場B、H的關(guān)系。在N個電流回路的磁場中，穿過第個k電流回路的總磁鏈可表示為：上式中的lk是第k個回路的周長，Sk是lk所圍的面積，B、A是所有電流（包括Ik）所產(chǎn)生的。代入磁場能量公式，可得為了使磁場能量的表示式更有普遍性，設(shè)系統(tǒng)的電流分布在一個有限的體積V內(nèi)，可用J·dV來代替Ikdl，用體積分來代替∑∮l，則有：上式中利用了恒定磁場的安培環(huán)路定律再應(yīng)用向量恒等式[書上P.334倒數(shù)第一行]又考慮到在恒定磁場中，代入可得：但根據(jù)高斯散度定理：其中S是包圍整個空間V的閉合面，S取得很大，不會影響積分的數(shù)值，因為在電流回路不存在的區(qū)域里J=0，這部分的積分?jǐn)?shù)值為零。這里的積分范圍是全部有磁場的空間。也就是說，凡是磁場不為零的空間都儲存著磁場能量。由此可得磁場能量的體密度為在各向同性的線性介質(zhì)中，B=μH，則在單一回路的情況下，磁場能量可表示成據(jù)此，可通過磁場能量求得自感：這是第三種計算電感的途徑。

例3-13求長度為l，內(nèi)外導(dǎo)體半徑分別為R1和R2（外導(dǎo)體很?。┑耐S電纜，通有電流I時，電纜所具有的磁場能量(兩導(dǎo)體間媒質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ0)。[書上P.129例3-15]

解：當(dāng)ρ＜R1時R1＜ρ＜R2時，ρ＞R2時，同軸電纜的電感3.8.3磁場