二項(xiàng)分布及泊松分布

二項(xiàng)分布例1

設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).貝努利概型和二項(xiàng)分布一、我們來(lái)求X的概率分布.X的概率函數(shù)是：男女X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為p.X=0X=1X=2X=3X=4X可取值0,1,2,3,4.例2

將一枚均勻骰子拋擲10次，令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)X的概率函數(shù)是：不難求得，

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè)互逆的結(jié)果：A或，或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.

新生兒：“是男孩”，“是女孩”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)或貝努利概型.

再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn)(“重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同)，

每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率都是q=1-p.

用X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則（2）不難驗(yàn)證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)當(dāng)n=1時(shí)，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1稱X服從0-1分布例3

已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努利試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~B(3,0.05)，注：若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是貝努里概型，此時(shí)，只能用古典概型求解.二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù)X的概率分布.可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，例4

某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.解:設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù).X~B(3,0.8)，把觀察一個(gè)燈泡的使用時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時(shí)已壞”視為“成功”.每次試驗(yàn)“成功”的概率為0.8

P(X1)=P(X=0)+P(X=1)=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.104

對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=[(n+1)p]達(dá)到最大值；([x]表示不超過(guò)

x

的最大整數(shù))n=10,p=0.7nPk

對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí),概率P(X=k)先是隨之增加直至達(dá)到最大值,隨后單調(diào)減少.二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn)：X~B(n,p)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1處達(dá)到最大值.n=13,p=0.5Pkn0

想觀看二項(xiàng)分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請(qǐng)看演示二項(xiàng)分布例5

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理.問(wèn):(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？

(2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？(3)若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人?我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.

設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努利概型.X~B(n,p)，n=300,p=0.01可見，“若只配備一名工人”那么只要同時(shí)發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)X大于1，其中的X-1臺(tái)設(shè)備就會(huì)得不到及時(shí)維修。即所求為

問(wèn)(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？

同理，“若只配備兩名工人”那么只要同時(shí)發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)X大于2即可。所求為300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.

問(wèn)(3)需配備多少工人，若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N個(gè)工人，所求的是滿足的最小的N.P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300,p=0.01下面給出正式求解過(guò)程：

由此結(jié)果知，配備一名工人，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率很大，故配備一名工人不合理。

可見，配備兩名工人，設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率仍然很大，故配備兩名工人仍不合理。(3)設(shè)需配備N個(gè)維修工人，使得設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小于0.01，有

P(X>N)通過(guò)計(jì)算可知，

則要使設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小于0.01，只需配備8名工人，平均每人負(fù)責(zé)38臺(tái)。若將該例改為：

(1)若由一人負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備，求這20臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；

解：(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示20臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則(2)若由3人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備，求這80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。

解：設(shè)隨機(jī)變量X表示80臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則由(1)(2)結(jié)果，可看出后者的管理經(jīng)濟(jì)效益要好得多。例6

某人去一服務(wù)單位辦事，排隊(duì)等候的時(shí)間(分鐘)為一隨機(jī)變量，設(shè)其概率密度為：若此人等候時(shí)間超過(guò)15分鐘則憤然離去。假設(shè)此人一個(gè)月要到該服務(wù)單位辦事10次，則

(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；

(2)此人至少有2次憤然離去的概率；

(3)此人多數(shù)會(huì)憤然離去的概率。解：

設(shè)隨機(jī)變量Y表示“此人來(lái)服務(wù)單位辦事10次中憤然離去的次數(shù)”，則(1)此人恰好有2次憤然離去的概率；(2)此人至少有2次憤然離去的概率；(3)此人多數(shù)會(huì)憤然離去的概率。二、二項(xiàng)分布的泊松近似

我們先來(lái)介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.或諸如此類的計(jì)算問(wèn)題，必須尋求近似方法.

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，若要計(jì)算

定理的條件意味著當(dāng)

n很大時(shí)，p

必定很小.因此，泊松定理表明，當(dāng)n

很大，p

很小時(shí)有以下近似式：泊松定理設(shè)是一個(gè)正整數(shù)，，則有其中(證明見下一頁(yè)).證明：n100,np10時(shí)近似效果就很好

請(qǐng)看演示二項(xiàng)分布的泊松近似實(shí)際計(jì)算中，其中例5

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人.設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理.問(wèn):(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？

(2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，X~B(n,p)，n=300﹥10,p=0.01﹤0.1(3)若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人?查表可得：