2015世紀(jì)金榜理科數(shù)學(xué)(廣東版)2.9

第九節(jié)

函數(shù)模型及其應(yīng)用考綱考情廣東五年0考高考指數(shù):★☆☆☆☆

1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長特征,結(jié)合具體實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)增長、對(duì)數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用五年考題無單獨(dú)命題考情播報(bào)1.利用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題及建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題,有可能會(huì)成為高考命題的熱點(diǎn)2.將會(huì)與函數(shù)的圖象、單調(diào)性、最值以及基本不等式、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用交匯命題,考查建模能力及分析問題和解決問題的能力3.選擇題、填空題、解答題三種題型都有考查,但以解答題為主【知識(shí)梳理】1.指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的增減性___________________________增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與____平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)x>x0時(shí),有l(wèi)ogax<xn<ax單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增y軸x軸2.常見的幾種函數(shù)模型(1)直線模型:y=___________型,圖象增長特點(diǎn)是直線式上升(x的系數(shù)k>0),通過圖象可以直觀地認(rèn)識(shí)它,特例是正比例函數(shù)模型y=________.(2)反比例函數(shù)模型:y=

型,圖象增長特點(diǎn)是y隨x的增大而減小.(3)指數(shù)函數(shù)模型:y=a·bx+c(b>0,b≠1,a≠0)型,圖象增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越快(底數(shù)b>1,a>0),常形象地稱為指數(shù)爆炸.kx+b(k≠0)kx(k>0)(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0)型,圖象增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值增大的速度越來越慢(底數(shù)a>1,m>0).(5)冪函數(shù)模型:y=a·xn+b(a≠0)型,其中最常見的是二次函數(shù)模型:__________(a≠0),圖象增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大,函數(shù)值先減小,后增大(a>0).y=ax2+bx+c(6)分段函數(shù)模型:圖象特點(diǎn)是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同.可以先將其當(dāng)作幾個(gè)問題,將各段的變化規(guī)律分別找出來,再將其合到一起,要注意各段自變量的取值范圍,特別是端點(diǎn).3.建立函數(shù)模型解決實(shí)際應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題:閱讀理解、弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,弄清數(shù)據(jù)的單位等.(2)建模:正確選擇自變量,將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.(3)求模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論.(4)還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.以上過程用框圖表示如下:【考點(diǎn)自測(cè)】1.(思考)給出下列命題:①函數(shù)y=2x的函數(shù)值在(0,+∞)上一定比y=x2的函數(shù)值大;②在(0,+∞)上,隨著x的增大,y=ax(a>1)的增長速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xα(α>0)的增長速度;③“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1)增長速度越來越快的形象比喻;④冪函數(shù)增長比直線增長更快;⑤指數(shù)函數(shù)模型,一般用于解決變化較快,短時(shí)間內(nèi)變化量較大的實(shí)際問題中.其中正確的命題是(

)A.①②B.②③C.③④D.②⑤【解析】選D.①錯(cuò)誤.當(dāng)x∈(0,2)和(4,+∞)時(shí),2x>x2,當(dāng)x∈(2,4)時(shí),x2>2x.②正確.由兩者的圖象易知.③錯(cuò)誤.增長越來越快的指數(shù)型函數(shù)是y=a·bx+c(a>0,b>1).④錯(cuò)誤.冪函數(shù)y=xn(0<n<1,x>1)的增長速度比直線y=x(x>1)的增長速度慢.⑤正確.根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)函數(shù)值增長特點(diǎn)知⑤正確.2.(2014·宜春模擬)在某種新型材料的研制中,實(shí)驗(yàn)人員獲得了下列一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律,其中最接近的一個(gè)是(

)A.y=2x

B.y=log2xC.y=(x2-1)D.y=2.61cosxx1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61【解析】選B.由表格知當(dāng)x=3時(shí),y=1.59,而A中y=23=8,不合要求,B中y=log23∈(1,2)接近,C中y=(32-1)=4,不合要求,D中y=2.61cos3<0,不合要求,故選B.3.(2013·湖北高考)小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(

)【解析】選C.距學(xué)校越來越近則圖象下降,交通堵塞時(shí)距離不變,后加速行駛,直線變陡.4.某種動(dòng)物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog3(x+1),設(shè)這種動(dòng)物第2年有100只,到第8年它們發(fā)展到(

)A.200只B.300只C.400只D.500只【解析】選A.由已知得100=alog3(2+1),得a=100,則當(dāng)x=8時(shí),y=100log3(8+1)=200(只).5.某種儲(chǔ)蓄按復(fù)利計(jì)算利息,若本金為a元,每期利率為r,存期是x,本利和(本金加利息)為y元,則本利和y隨存期x變化的函數(shù)關(guān)系式是

.【解析】已知本金為a元,利率為r,則1期后本利和為y=a+ar=a(1+r),2期后本利和為y=a(1+r)+a(1+r)r=a(1+r)2,3期后本利和為y=a(1+r)3,…x期后本利和為y=a(1+r)x,x∈N.答案:y=a(1+r)x,x∈N6.(2014·安陽模擬)某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元,并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加10萬元.又知總收入K是單位產(chǎn)品數(shù)Q的函數(shù),K(Q)=40Q-Q2,則總利潤L(Q)的最大值是

萬元.【解析】由已知得L(Q)=K(Q)-10Q-2000=(40Q-Q2)-10Q-2000=-(Q-300)2+2500，所以當(dāng)Q=300時(shí)，L(Q)max=2500(萬元).答案：2500

考點(diǎn)1用函數(shù)圖象刻畫實(shí)際問題中兩變量的變化過程

【典例1】(1)(2014·南昌模擬)如圖,下面的四個(gè)容器高度都相同,將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中,注滿為止.用下面對(duì)應(yīng)的圖象表示該容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系,其中不正確的有(

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)(2)(2013·江西高考)如圖,半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1,l2之間,l∥l1,l與半圓相交于F,G兩點(diǎn),與三角形ABC兩邊相交于E,D兩點(diǎn).設(shè)弧FG的長為x(0<x<π),y=EB+BC+CD,若l從l1平行移動(dòng)到l2,則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是(

)【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化過程,結(jié)合容器中水面的高度h與時(shí)間t的關(guān)系作出選擇.(2)注意到弧FG所對(duì)的圓心角為x,可構(gòu)造y關(guān)于x的三角函數(shù),借助于三角函數(shù)的圖象可解決.【規(guī)范解答】(1)選A.將水從容器頂部一個(gè)孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和時(shí)間t之間的關(guān)系可以從高度隨時(shí)間的變化率上反映出來,圖①應(yīng)該是勻速的,故下面的圖象不正確,②中的變化率是越來越慢的,正確;③中的變化規(guī)律是逐漸變慢再變快,正確;④中的變化規(guī)律是逐漸變快再變慢,也正確,故只有①是錯(cuò)誤的.(2)選D.△ABC的高為圓的半徑1，可求邊長為，弧FG所對(duì)的圓心角為x，所以O(shè)到FG的距離為cos

，則EB==，故y=，0＜x＜π，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象知選項(xiàng)D正確.【易錯(cuò)警示】關(guān)注變量的范圍根據(jù)實(shí)際意義設(shè)出變量后,列式解決問題始終要注意變量的范圍,解決過程中易忽視變量范圍而致誤.【規(guī)律方法】判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題中兩變量變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法:當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí),先建立函數(shù)模型,再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法:當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí),則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化特點(diǎn),結(jié)合圖象的變化趨勢(shì),驗(yàn)證是否吻合,從中排除不符合實(shí)際的情況,選擇出符合實(shí)際情況的答案.【變式訓(xùn)練】(2014·武漢模擬)如圖(1)是反映某條公共汽車線路收支差額(即營運(yùn)所得票價(jià)收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損,公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整的建議,如圖(2)(3)所示.給出以下說法:①圖(2)的建議是:提高成本,并提高票價(jià);②圖(2)的建議是:降低成本,并保持票價(jià)不變;③圖(3)的建議是:提高票價(jià),并保持成本不變;④圖(3)的建議是:提高票價(jià),并降低成本.其中所有正確說法的序號(hào)是(

)A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】選C.對(duì)于圖(2),當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)值比圖(1)中的大,表示成本降低,兩直線平行,表明票價(jià)不變,故②正確;對(duì)于圖(3),當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)值不變表示成本不變,當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)值增大表明票價(jià)提高,故③正確.【加固訓(xùn)練】1.(2014·北京模擬)某地區(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,經(jīng)過x年,綠化面積與原綠化面積之比為y,則y=f(x)的圖象大致為(

)【解析】選D.設(shè)某地區(qū)起始年的綠化面積為a,因?yàn)樵摰貐^(qū)的綠化面積每年平均比上一年增長18%,所以經(jīng)過x年,綠化面積g(x)=a(1+18%)x,因?yàn)榫G化面積與原綠化面積之比為y,則y=f(x)==(1+18%)x=1.18x,因?yàn)閥=1.18x為底數(shù)大于1的指數(shù)函數(shù),故可排除C,當(dāng)x=0時(shí),y=1,可排除A,B,故選D.2.在翼裝飛行世界錦標(biāo)賽中,某翼人空中高速飛行,如圖反映了他從某時(shí)刻開始的15分鐘內(nèi)的速度v(x)與時(shí)間x的關(guān)系,若定義“速度差函數(shù)”u(x)為時(shí)間段[0,x]內(nèi)的最大速度與最小速度的差,則u(x)的圖象是(

)【解析】選D.由題意可得,當(dāng)x∈[0,6]時(shí),翼人做勻加速運(yùn)動(dòng),v(x)=80+x,“速度差函數(shù)”u(x)=x.當(dāng)x∈[6,10]時(shí),翼人做勻減速運(yùn)動(dòng),速度v(x)從160開始下降,一直降到80,u(x)=160-80=80.當(dāng)x∈[10,12]時(shí),翼人做勻減速運(yùn)動(dòng),v(x)從80開始下降,v(x)=180-10x,u(x)=160-(180-10x)=10x-20.當(dāng)x∈[12,15]時(shí),翼人做勻加速運(yùn)動(dòng),“速度差函數(shù)”u(x)=160-60=100,結(jié)合所給的圖象,故選D.3.如圖,有一直角墻角,兩邊的長度足夠長,在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是a米(0<a<12)、4米,不考慮樹的粗細(xì).現(xiàn)在想用16米長的籬笆,借助墻角圍成一個(gè)矩形的花圃ABCD.設(shè)此矩形花圃的面積為S平方米,S的最大值為f(a),若將這棵樹圍在花圃內(nèi),則函數(shù)u=f(a)的圖象大致是

(

)【解析】選C.設(shè)BC=x，則CD=16-x，由得a≤x≤12.S=x(16-x)=-(x-8)2+64.當(dāng)0＜a＜8時(shí)，f(a)=64，當(dāng)8≤a＜12時(shí)，f(a)=-(a-8)2+64，即f(a)=故選C.

考點(diǎn)2應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【典例2】(1)(2014·沈陽模擬)一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3,細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,tmin后剩余的細(xì)沙量為y=ae-bt(cm3),經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過

min,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一.(2)(2014·廣州模擬)某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè),A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1;B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2(注:利潤和投資單位:萬元).①分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式.②已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金,并將全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn).(ⅰ)若平均投入生產(chǎn)兩種產(chǎn)品,可獲得多少利潤?(ⅱ)問:如果你是廠長,怎樣分配這18萬元投資,才能使該企業(yè)獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)已知條件先確定所給函數(shù)模型中待定系數(shù)b,進(jìn)而利用該模型求得所求.(2)①結(jié)合圖象,利用待定系數(shù)法求得函數(shù)關(guān)系式;②根據(jù)①所求函數(shù)模型求解.【規(guī)范解答】(1)依題意有a·e-b×8=a,所以b=,所以y=a·.若容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一,則有a·=a,解得t=24,所以再經(jīng)過的時(shí)間為24-8=16(min).答案:16(2)①設(shè)A,B兩種產(chǎn)品分別投資x萬元,x萬元,x≥0，所獲利潤分別為f(x)萬元、g(x)萬元.由題意可設(shè)f(x)=k1x,g(x)=k2.根據(jù)圖象可解得f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2(x≥0).②(ⅰ)由①得f(9)=2.25,g(9)=2=6.所以總利潤y=8.25萬元.(ⅱ)設(shè)B產(chǎn)品投入x萬元,A產(chǎn)品投入(18-x)萬元,該企業(yè)可獲總利潤為y萬元.則y=(18-x)+2,0≤x≤18.令

=t,t∈［0,3］,則y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.所以當(dāng)t=4時(shí),ymax==8.5,此時(shí)x=16,18-x=2.所以當(dāng)A,B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時(shí)，可使該企業(yè)獲得最大利潤,約為8.5萬元.【規(guī)律方法】應(yīng)用所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn)(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型,弄清哪些量為待定系數(shù).(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法,確定模型中的待定系數(shù).(3)利用該模型求解實(shí)際問題.提醒:解決實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍.【變式訓(xùn)練】(2014·佛山模擬)據(jù)市場(chǎng)分析,粵西某海鮮加工公司,當(dāng)月產(chǎn)量在10噸至25噸時(shí),月總成本y(萬元)可以看成月產(chǎn)量x(噸)的二次函數(shù),當(dāng)月產(chǎn)量為10噸時(shí),月總成本為20萬元;當(dāng)月產(chǎn)量為15噸時(shí),月總成本最低為17.5萬元.(1)寫出月總成本y(萬元)關(guān)于月產(chǎn)量x(噸)的函數(shù)關(guān)系.(2)已知該產(chǎn)品銷售價(jià)為每噸1.6萬元,那么月產(chǎn)量為多少時(shí),可獲最大利潤?(3)當(dāng)月產(chǎn)量為多少噸時(shí),每噸平均成本最低,最低成本是多少萬元?【解析】(1)由題意可設(shè)y=a(x-15)2+17.5(a∈R,a≠0).將x=10,y=20代入上式得:20=25a+17.5,解得a=,所以y=(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)設(shè)最大利潤為Q(x),則Q(x)=1.6x-y=1.6x-=-(x-23)2+12.9(10≤x≤25),因?yàn)閤=23∈[10,25],所以月產(chǎn)量為23噸時(shí),可獲最大利潤12.9萬元.(3)當(dāng)且僅當(dāng)

即x=20∈[10,25]時(shí)上式“=”成立.故當(dāng)月產(chǎn)量為20噸時(shí),每噸平均成本最低,最低成本為1萬元.【加固訓(xùn)練】1.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,過濾過程中廢氣的污染物數(shù)量Pmg/L與時(shí)間th間的關(guān)系為P=P0e-kt.若在前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物,則污染物減少50%所需要的時(shí)間約為

h.

(

)A.26B.33C.36D.42【解析】選B.由題意,前5個(gè)小時(shí)消除了10%的污染物,因?yàn)镻=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-ln0.9,所以P=當(dāng)P=50%P0時(shí),有50%P0=,所以ln0.9=ln0.5,所以t=≈33,即污染物減少50%需要的時(shí)間約為33h.2.某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線,但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn).已知該生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n年的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=n(n+1)(2n+1)噸,但如果年產(chǎn)量超過150噸,會(huì)給環(huán)境造成危害.為保護(hù)環(huán)境,環(huán)保部門應(yīng)給該廠這條生產(chǎn)線擬定最長的生產(chǎn)期限是(

)A.5年B.6年C.7年D.8年【解析】選C.第n年的年產(chǎn)量y=因?yàn)閒(n)=n(n+1)(2n+1),所以f(1)=3,當(dāng)n≥2時(shí),f(n-1)=n(n-1)(2n-1),所以f(n)-f(n-1)=3n2.n=1時(shí),也滿足上式,所以第n年的年產(chǎn)量為y=3n2,令3n2≤150,所以n2≤50,因?yàn)閚∈N,n≥1,所以1≤n≤7,所以nmax=7.3.(2014·蘇州模擬)為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目,經(jīng)測(cè)算,該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y=

且每處理1噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元,若該項(xiàng)目不獲利,國家將給予補(bǔ)償.(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?【解析】(1)當(dāng)x∈［200,300］時(shí)，設(shè)該項(xiàng)目獲利為S，則S=200x-(x2-200x+80000)=-x2+400x-80000=-(x-400)2,所以當(dāng)x∈［200,300］時(shí)，S<0,因此該項(xiàng)目不會(huì)獲利.當(dāng)x=300時(shí)，S取得最大值-5000,所以國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損.(2)由題意，可知二氧化碳的每噸處理成本為①當(dāng)x∈［120,144)時(shí)，所以當(dāng)x=120時(shí)，取得最小值240.②當(dāng)x∈［144,500］時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即x=400時(shí)，取得最小值200.因?yàn)?00<240,所以當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低.

考點(diǎn)3構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題【考情】對(duì)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題的考查，以根據(jù)已知條件構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題為重要考向，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)交匯，以解答題為主要形式出現(xiàn)，考查用函數(shù)知識(shí)解決以社會(huì)實(shí)際生活為背景的成本最低、利潤最高、產(chǎn)量最大、效益最好、用料最省等實(shí)際問題.高頻考點(diǎn)

通關(guān)【典例3】(1)(2013·陜西高考)在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個(gè)面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x為

m.(2)(2014·蘇州模擬)已知一家公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為10萬元,每生產(chǎn)1千件該產(chǎn)品需另投入2.7萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)萬元,且R(x)=①寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式;②年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲利潤最大?【解題視點(diǎn)】(1)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)將內(nèi)接矩形的另一邊用x表示，進(jìn)而構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求最值.(2)①根據(jù)利潤=收入-成本，其中成本包括固定成本和變化成本，列式得函數(shù)解析式，但要分段表示；②在①得出式子的基礎(chǔ)上選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笞钪?【規(guī)范解答】(1)設(shè)矩形高為y,由三角形相似得:且x>0,y>0,x<40,y<40?40=x+y≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=20時(shí)，矩形的面積S=xy取最大值400.答案：20(2)①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10,當(dāng)x＞10時(shí)，W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x,所以②(i)當(dāng)0＜x≤10時(shí)，由W′=8.1-=0，得x=9,當(dāng)x∈(0,9)時(shí)，W′＞0;當(dāng)x∈(9,10］時(shí)，W′＜0,所以當(dāng)x=9時(shí)，W取得最大值，即Wmax=8.1×9-×93-10=38.6.(ii)當(dāng)x＞10時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=時(shí)，W取得最大值38.綜合(i)(ii)知：當(dāng)x=9時(shí)，W取得最大值為38.6萬元，故當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí)，該公司在這一產(chǎn)品的產(chǎn)銷過程中所獲利潤最大.【通關(guān)錦囊】高考指數(shù)重點(diǎn)題型破解策略◆◆◆構(gòu)建二次函數(shù)模型求解選擇恰當(dāng)?shù)牧繛樽宰兞縳,將相關(guān)量用x表示,根據(jù)題中條件的等量關(guān)系得二次函數(shù)模型,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解◆◆◆構(gòu)建對(duì)勾函數(shù)f(x)=x+(a>0)模型求解根據(jù)題意構(gòu)建函數(shù)模型f(x)=x+(a>0),用基本不等式或?qū)?shù)法求其最值高考指數(shù)重點(diǎn)題型破解策略◆◆◆構(gòu)建高次函數(shù)或復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)函數(shù)模型(1)根據(jù)題意,抓住題中的等量關(guān)系,構(gòu)建高次或復(fù)雜的分式結(jié)構(gòu)函數(shù)模型(2)用導(dǎo)數(shù)法求最值◆◆

構(gòu)建分段函數(shù)模型(1)根據(jù)題意,分別求出不同范圍的函數(shù)表達(dá)式,做到分段合理、不重不漏(2)分段函數(shù)的最值是各段最大(或最小)者的最大者(最小者)【特別提醒】(1)構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)不要忘記考慮函數(shù)的定義域.(2)對(duì)構(gòu)建的較復(fù)雜的函數(shù)模型,要適時(shí)地用換元法轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)問題求解.【通關(guān)題組】1.(2014·廣州模擬)如圖所示,已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中AE=4米,CD=6米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM,使點(diǎn)P在邊DE上.(1)設(shè)MP=x米,PN=y米,將y表示成x的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域.(2)求矩形BNPM面積的最大值.【解析】(1)作PQ⊥AF于Q，所以PQ=8-y，EQ=x-4，在△EDF中，所以所以y=-x+10,定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}.(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)=xy=x(10-)=-(x-10)2+50,所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其開口向下，對(duì)稱軸為x=10,所以當(dāng)x∈［4,8］時(shí)，S(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=8時(shí)，矩形BNPM面積取得最大值48平方米.2.(2014·廈門模擬)國家推行“節(jié)能減排,低碳經(jīng)濟(jì)”政策后,環(huán)保節(jié)能的產(chǎn)品供不應(yīng)求.為適應(yīng)市場(chǎng)需求,某企業(yè)投入98萬元引進(jìn)環(huán)保節(jié)能生產(chǎn)設(shè)備,并馬上投入生產(chǎn).第一年需各種費(fèi)用12萬元,從第二年開始,每年所需費(fèi)用會(huì)比上一年增加4萬元.而每年因引入該設(shè)備可獲得年利潤為50萬元.請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù),解決以下問題:(1)引進(jìn)該設(shè)備多少年后,該廠開始盈利?(2)若干年后,因該設(shè)備老化,需處理老設(shè)備,引進(jìn)新設(shè)備,該廠提出兩種處理方案:第一種:年平均利潤達(dá)到最大值時(shí),以26萬元的價(jià)格賣出.第二種:盈利總額達(dá)到最大值時(shí),以8萬元的價(jià)格賣出.問哪種方案較為合算?【解析】(1)設(shè)引進(jìn)該設(shè)備x年后開始盈利，盈利額為y萬元.則y=50x-98-=-2x2+40x-98,令y＞0,得10-＜x＜10+，因?yàn)閤∈N*,所以3≤x≤17.即引進(jìn)該設(shè)備三年后開始盈利.(2)第一種：年平均盈利為當(dāng)且僅當(dāng)2x=,即x=7時(shí)，年平均利潤最大，共盈利12×7+26=110(萬元).第二種：盈利總額y=-2(x-10)2+102,當(dāng)x=10時(shí)，取得最大值102,即經(jīng)過10年盈利總額最大，共計(jì)盈利102+8=110(萬元)，兩種方案獲利相等，但由于方案二時(shí)間長，采用第一種方案較合算.【加固訓(xùn)練】1.(2012·湖南高考)某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件).已知每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.該企業(yè)計(jì)劃安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù)).(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間.(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案.【解析】(1)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有其中x,kx,200-(1+k)x均為1到200之間的正整數(shù).(2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定義域?yàn)?易知,T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù).注意到T2(x)=T1(x),于是①當(dāng)k=2時(shí),T1(x)=T2(x),此時(shí)f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max.由函數(shù)T1(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)

時(shí)f(x)取得最小值,解得x=.由于44<<45,而f(44)=T1(44)=,f(45)=T3(45)=,f(44)<f(45),故當(dāng)x=44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,且最短時(shí)間為f(44)=.②當(dāng)k>2時(shí)，T1(x)>T2(x),由于k為正整數(shù)，故k≥3，此時(shí)記T(x)=,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知T(x)是增函數(shù)，則f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=φ(x)=由函數(shù)T1(x)，T(x)的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)φ(x)取最小值，解得x=.由于36<<37，而φ(36)=T1(36)=,φ(37)=T(37)=此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.③當(dāng)k<2時(shí)，T1(x)<T2(x)，由于k為正整數(shù)，故k=1,此時(shí)f(x)=max{T2(x),T3(x)}=.由函數(shù)T2(x),T3(x)的單調(diào)性知，當(dāng)

時(shí)f(x)取最小值，解得x=，類似①的討論，此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為,大于.綜上所述，當(dāng)k=2時(shí)，完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短，此時(shí)，生產(chǎn)A，B，C三種部件的人數(shù)分別為44，88，68.2.(2011·山東高考)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,按照設(shè)計(jì)要求容器的容積為立方米,且l≥2r.假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元,半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c(c>3)千元.設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元.(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式,并求該函數(shù)的定義域.(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r.【解析】(1)因?yàn)槿萜鞯捏w積為

立方米，所以,解得由于l≥2r因此0＜r≤2.所以圓柱的側(cè)面積為兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4πr2,所以建造費(fèi)用y=-8πr2+4πcr2,定義域?yàn)?0,2］.(2)因?yàn)?＜r≤2，由于c>3,所以c-2>0,所以令y′＞0得:r＞;令y′＜0得:0＜r＜

,①≥2時(shí)，即當(dāng)3＜c≤時(shí)，函數(shù)y在(0，2)上是單調(diào)遞減的，故建造費(fèi)最小時(shí)r=2.②當(dāng)0＜

＜2時(shí)，即c＞

時(shí)，函數(shù)y在(0，2)上是先減后增的，故建造費(fèi)最小時(shí)r=.3.(2014·揭陽模擬)甲、乙兩公司同時(shí)開發(fā)同一種新產(chǎn)品,經(jīng)測(cè)算,對(duì)于函數(shù)f(x),g(x)以及任意的x≥0,當(dāng)甲公司投入x萬元進(jìn)行宣傳時(shí),若乙公司投入的宣傳費(fèi)小于f(x)萬元,則乙公司對(duì)這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),否則沒有失敗的風(fēng)險(xiǎn);當(dāng)乙公司投入x萬元進(jìn)行宣傳時(shí),若甲公司投入的宣傳費(fèi)小于g(x)萬元,則甲公司對(duì)這一新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),否則沒有失敗的風(fēng)險(xiǎn).(1)試解釋f(0)=10,g(0)=20的實(shí)際意義.(2)設(shè)f(x)=x+10,g(x)=+20,甲、乙兩公司為了避免惡性競(jìng)爭(zhēng),經(jīng)過協(xié)商,同意在雙方均無失敗風(fēng)險(xiǎn)的情況下盡可能少地投入宣傳費(fèi)用,問甲、乙兩公司各應(yīng)投入多少宣傳費(fèi)?【解析】(1)f(0)=10表示當(dāng)甲公司不投入宣傳費(fèi)時(shí),乙公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),至少要投入10萬元宣傳費(fèi);g(0)=20表示當(dāng)乙公司不投入宣傳費(fèi)時(shí),甲公司要避免新產(chǎn)品的開發(fā)有失敗的風(fēng)險(xiǎn),至少要投入20萬元宣傳費(fèi).(2)設(shè)甲公司投入宣傳費(fèi)x萬元,乙公司投入宣傳費(fèi)y萬元.依題意,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),雙方均無失敗的風(fēng)險(xiǎn).由①,②得即4y--60≥0,左邊因式分解得:(-4)(4+15)≥0,因?yàn)椤?,所以4+15>0,所以≥4,所以y≥16,所以x≥+20≥4+20=24,所以xmin=24,ymin=16.答:在雙方均無失敗風(fēng)險(xiǎn)的情況下,甲公司至少要投入24萬元,乙公司至少要投入16萬元.【規(guī)范解答2】利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典例】(12分)(2013·重慶高考)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域.(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.【審題】分析信息,形成思路信息提取思路分析(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域利用總成本為12000π元將高h(yuǎn)用r表示→構(gòu)建函數(shù)模型V(r)→由r>0且h>0得V(r)的定義域(2)討論函數(shù)V(r