第四章概率論

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

考察一臺測量儀器的好壞,既看所測結(jié)果的平均值又要看每次測量的結(jié)果是否集中，即每次測量值與平均值的偏離程度是否小。例如：考察一射手的水平,既要看他的平均環(huán)數(shù)是否高,還要看他彈著點的范圍是否小,即數(shù)據(jù)的波動是否小.由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰地描述其某些方面的重要特征,這些數(shù)字特征在理論和實踐上都具有重要意義.隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望

隨機(jī)變量取值平均偏離均值的情況

——方差描述兩隨機(jī)變量間的某種關(guān)系的數(shù)

——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量某一方面的概率特性都可用數(shù)字來描寫第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、數(shù)學(xué)期望二、方差三、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)四、矩、協(xié)方差矩陣數(shù)學(xué)期望第四章第一節(jié)二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)四、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望我們來看一個引例.

引例1某車間對工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品）1、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望的概念對于隨機(jī)變量來說，有時不僅要知道它的概率分布，還希望知道隨機(jī)變量取值的“平均”大小?？梢缘玫竭@100天中每天的平均廢品數(shù)為這個數(shù)能否作為X的平均值呢？若統(tǒng)計100天,32天沒有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來說,若統(tǒng)計n天,以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)n很大時，頻率接近于概率，所以我們在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個確定的數(shù).我們就用這個數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值.注：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的若級數(shù)絕對收斂。設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為簡稱期望或均值，記為E(X).則稱此級數(shù)的和為X

的數(shù)學(xué)期望。即級數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均值，其與X取值x

k的順序無關(guān)（唯一性），所以要求級數(shù)絕對收斂。定義1定理：絕對收斂級數(shù)經(jīng)改變項的位置后構(gòu)成的級數(shù)也收斂，且與原級數(shù)有相同的和（即絕對收斂級數(shù)具有可交換性）.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布為XPXP例1甲乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出試問哪個人的射擊水平較高？解

甲乙的平均環(huán)數(shù)可求得：因此，從平均環(huán)數(shù)上看，甲的射擊水平要比乙的好。X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)解

設(shè)試開次數(shù)為X,于是某人的一串鑰匙上有n

把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.例2期望值在決策中有著廣泛的應(yīng)用假如，有一家個體戶，有資金一筆，如經(jīng)營西瓜，風(fēng)險大但利潤高(成功的概率為0.7，獲利2000元)；如經(jīng)營工藝品，風(fēng)險小但獲利少(95％會賺，但利潤為1000元)．究竟該如何決策？所以權(quán)衡下來，情愿去經(jīng)營西瓜，因它的期望值高．計算期望值：若經(jīng)營西瓜，期望值E1=0.7×2000=1400元．而經(jīng)營工藝品期望值E2＝0.95×1000＝950元．再如:考試中經(jīng)常碰到選擇題，選對3分，錯了扣一分沒有任何線索的情況下，能不能碰碰運(yùn)氣計算得分的期望值

蒙對答案的概率0.25此種情況下，蒙不蒙效果都一樣2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分絕對收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即請注意:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分.例3已知某電子元件的壽命X服從參數(shù)為的指數(shù)分布(單位：小時）。求這類電子元件的平均壽命E(X)。解小時。由定義可得例4（柯西分布）假設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求X的數(shù)學(xué)期望.由于不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？答案是肯定的

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.解已知X

的分布律為求及的數(shù)學(xué)期望。1/41/81/43/8-1012例41/41/81/43/81014同理定理1

設(shè)(g為連續(xù)函數(shù))⑴設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為若級數(shù)絕對收斂,則g(X)的數(shù)學(xué)期望為⑵設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x),若絕對收斂,則g(X)的數(shù)學(xué)期望為該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來很大方便.設(shè)X服從N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4)例5解設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為例6求E(1/X)。解例7.設(shè)某公共汽車站于每小時的10分,50分發(fā)車,乘客在每小時內(nèi)任一時刻到達(dá)車站是隨機(jī)的。求乘客到達(dá)車站等車時間的數(shù)學(xué)期望。設(shè)T為乘客到達(dá)車站的時刻(分)，設(shè)Y為乘客等車時間，則解:則其概率密度為已知上述定理還可以推廣到兩個或兩個以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。例8

已知(X,Y)的分布律為

求解定理2

設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,g(X,Y)是二元連續(xù)函數(shù)⑴設(shè)(X,Y)為離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律為則Z的數(shù)學(xué)期望為⑵設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(x,y),則Z的數(shù)學(xué)期望為絕對收斂例9設(shè)X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互獨(dú)立，求E(max(X,Y)).解D1D2其中D1D2一般地，若X,Y相互獨(dú)立，則已知的概率密度例10求解同理一般來說，,那么何時相等？看下面數(shù)學(xué)期望性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C

;2.若C

是常數(shù)，則E(CX)=CE(X);3.三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)證明:設(shè)4.設(shè)X、Y

獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);證明:設(shè)由獨(dú)立性（當(dāng)Xi

獨(dú)立時）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立例1設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為問X和Y是否相互獨(dú)立？解則：X

和

Y

是相互獨(dú)立？E(XY)=E(X)E(Y)因為所以X和Y不相互獨(dú)立。求關(guān)于X和Y的邊緣概率密度

性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨(dú)立反例1XYpij-101-1010p?jpi?[附錄1]XYP-101但證明：5.（柯西-施瓦爾茲不等式）6.四、幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望Ⅰ.X為離散型隨機(jī)變量⑴（0—1）分布⑵泊松分布⑶二項分布則X

表示n

重伯努利試驗中A發(fā)生的次數(shù).現(xiàn)在我們來求X

的數(shù)學(xué)期望。若設(shè)則其中即，則所以結(jié)論：任何一個服從二項分布的隨機(jī)變量X都可表示n個服從（0—1）分布的獨(dú)立的隨機(jī)變量相加的Ⅱ.X為連續(xù)型隨機(jī)變量⑴均勻分布形式：則⑵指數(shù)分布則分部積分法⑶正態(tài)分布已知例1求服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，X,Y相互獨(dú)立，解

由隨機(jī)變量的性質(zhì)可知例2將4個不同色的球隨機(jī)放入4個盒子中,每盒容納球數(shù)無限,求空盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一設(shè)X為空盒子數(shù),則X的概率分布為XP0123解二再引入Xi,i=1,2,3,4Xi

P10例3、將n封不同的信，隨機(jī)放入n個寫好地址的信封，用X表示裝對信件的個數(shù)，求EX。解：則01例4一民航送客載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個車站可以下車，就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求E(X).（設(shè)每個旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。如到達(dá)一個車站沒有旅客下車第i站無人下車,第i站有人下車.解設(shè)則注:不是相互獨(dú)立的。

本題是將X分解成數(shù)個隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和來求數(shù)學(xué)期望的,此方法具有一定的意義.數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用據(jù)統(tǒng)計65歲的人在10年內(nèi)正常死亡解應(yīng)用1的概率為0.98,因事故死亡概率為0.02.保險公司開辦老人事故死亡保險,參加者需交納保險費(fèi)100元.若10年內(nèi)因事故死亡公司賠償

a元,應(yīng)如何定a,才能使公司可期望獲益;若有1000人投保,公司期望總獲益多少?設(shè)Xi

表示公司從第i個投保者身上所得的收益,i=1~1000.則Xi~0.980.02100100由題設(shè)公司每筆賠償小于5000元,能使公司獲益.公司期望總收益為若公司每筆賠償3000元,能使公司期望總獲益40000元.

為普查某種疾病,n個人需驗血.驗血方案有如下兩種：分別化驗每個人的血,共需化驗n

次；分組化驗,k

個人的血混在一起化驗,若結(jié)果為陰性,則只需化驗一次;若為陽性,則對k

個人的血逐個化驗,找出有病者,此時

k

個人的血需化驗k+1次.

設(shè)每人血液化驗呈陽性的概率為

p,且每人化驗結(jié)果是相互獨(dú)立的.試說明選擇哪一方案較經(jīng)濟(jì).驗血方案的選擇應(yīng)用2解只須計算方案(2)所需化驗次數(shù)的期望.為簡單計,不妨設(shè)n是k的倍數(shù)，共分成n/k組.設(shè)第i組需化驗的次數(shù)為Xi,則Xi

P1k+1

若則E(X)<n例如,當(dāng)

時,選擇方案(2)較經(jīng)濟(jì).市場上對某種產(chǎn)品每年需求量為X噸，X~U[2000,4000],每出售一噸可賺3萬元,售不出去，則每噸需倉庫保管費(fèi)1萬元，問應(yīng)該生產(chǎn)這中商品多少噸,才能使平均利潤最大？解設(shè)每年生產(chǎn)y噸的利潤為Y顯然，2000<y<4000應(yīng)用3顯然，故y=3500時,E(Y)最大,E(Y)=8250萬元設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)~N(,1).已知銷售每個零件的利潤T(元)與銷售零件的內(nèi)徑X有如下的關(guān)系：問平均直徑

為何值時,銷售一個零件的平均利潤最大？應(yīng)用4解即可以驗證，零件的平均利潤最大.故時,銷售一個小結(jié)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.接下來的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個重要的數(shù)字特征：方差方差第三章第二節(jié)二、方差的性質(zhì)一、方差的定義三、幾種重要分布的方差

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.但是在一些場合，僅僅知道平均值是不夠的.例如，某零件的真實長度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺儀器各測量10次，將測量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點表示如圖：若讓你就上述結(jié)果評價一下兩臺儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺儀器好一些呢？乙儀器測量結(jié)果

甲儀器測量結(jié)果較好測量結(jié)果的均值都是a因為乙儀器的測量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因為乙炮的彈著點較集中在中心附近.

中心中心由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個偏離程度呢?容易看到這個數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差通常用來度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.合理,但是存在正負(fù)相消，不可行.帶絕對值的運(yùn)算，不利于分析.若E[X-E(X)]2存在,則稱其為隨機(jī)變量稱為X的均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.一、方差概念定義

即D(X)=E[X-E(X)]2

X的方差,記為D(X)或Var(X)兩者量綱相同D(X)——描述r.v.X的取值偏離平均值的平均偏離程度——數(shù)基本物理單位是基本物理量的度量單位，例如長短、體積、質(zhì)量、時間等等之單位。這些單位反映物理現(xiàn)象或物理量的度量，叫做“量綱”。時間的長短（秒、分、時）、質(zhì)量的大?。╣、kg）、速度的快慢（km/h、m/s）等等，都是量綱，它們反映特定物理量或物理現(xiàn)象的度量，在物理學(xué)或者計算上常常以物理量的單位來表示。離散型已知X分布律連續(xù)型已知X的概率密度注意：⒈是關(guān)于隨機(jī)變量X的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。計算方差的簡便公式：⒉方差描述了隨機(jī)變量X的取值與其均值的偏離程度。證明

解比較量個人射擊的平均環(huán)數(shù)，甲的平均環(huán)數(shù)為

例1X

8

9

10

P

0.3

0.2

0.5

甲、乙兩人射擊，他們的射擊水平由下表給出：試問那個人的射擊水平較高？X：甲擊中的環(huán)數(shù)Y：乙擊中的環(huán)數(shù)Y

8

9

10

P

0.2

0.4

0.4

＝9.2(環(huán))乙的平均環(huán)數(shù)為＝9.2(環(huán))從平均環(huán)數(shù)上看，甲、乙射擊水平是一樣的。但兩人射擊環(huán)數(shù)的方差分別為：這表明乙的射擊水平比甲穩(wěn)定。設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求D（X）。

例2解1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)

=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2D(X)

;3.若X與Y獨(dú)立，則二、方差的性質(zhì)證證⒋若X與Y獨(dú)立，且a,b是常數(shù)，則推廣若X1,X2,…,Xn

相互獨(dú)立,則⒌⒍其中1．（0-1）分布參數(shù)為p

01三．常見分布的方差2．二項分布其中，且相互獨(dú)立。則由方差的性質(zhì)可得3．泊松分布分布律為參數(shù)為密度函數(shù)4．均勻分布參數(shù)為密度函數(shù)⒌指數(shù)分布參數(shù)為⒍正態(tài)分布參數(shù)為密度函數(shù)特別，當(dāng)時標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，僅知隨機(jī)變量的期望與方差并不能確定其分布P-1010.10.80.1P-2020.0250.950.025與有相同的期望方差但是分布卻不相同例如例3設(shè)X,Y是兩個相互獨(dú)立的且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,且，則求隨機(jī)變量服從什么分布？解

Z為相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合，所以仍然服從正態(tài)分布，且其參數(shù)為故在已知某些分布類型時,若知道其期望和方差,便常能確定分布.例4設(shè)X,Y是兩個相互獨(dú)立的且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量,則求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望解

記則故例5設(shè)X的可能取值為且，求X的分布律。解設(shè)

X的分布律為所以已知例6求的次數(shù)，對X獨(dú)立觀察4次，Y表示X的觀察值大于解

由題意可知例7設(shè)，且⑴求X和Y的聯(lián)合分布律;⑵求X+Y的方差。解

⑴

X,Y的取值都為-1和1，則⑵X+Y的分布律為五、課堂練習(xí)1、設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：記

q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無窮遞縮等比級數(shù)求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)2、解附例在[0,1]中隨機(jī)地取兩個數(shù)X,Y,求D(min{X,Y})解110小結(jié)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個數(shù)字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關(guān)程度的一個重要的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)問題

對于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布對二維隨機(jī)變量,除每個隨機(jī)變量各自的概率特性外,相互之間可能還有某種聯(lián)系問題是用一個怎樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.若X,Y相互獨(dú)立，這項為零若這項不為零，則不相互獨(dú)立，那么X與Y之間存在什么關(guān)系？協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第四章第三節(jié)一、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義二、協(xié)方差的性質(zhì)三、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)定義設(shè)二維隨機(jī)變量則稱它為與的協(xié)方差，記為即若存在，一、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義二、協(xié)方差的性質(zhì)⒈Pf:⒉（協(xié)方差的計算公式）Pf:⒊Pf:若X,Y相互獨(dú)立，則⒋⒌為常數(shù)⒍Pf:協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點，對協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.三、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).定義:設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為.無量綱的量四、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1)2)的充要條件是與以概率1呈線性關(guān)系。其中為常數(shù)。定理1設(shè)隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù)存在，則即證明：證明：說明：，X與Y的線性關(guān)系越顯著；，X與Y的線性關(guān)系越不顯著；2）3）4）定義、相關(guān)系數(shù)則稱與不相關(guān);相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.是X與Y下列命題等價：1）獨(dú)立不相關(guān)注：則Cauchy-Schwarz不等式所以證⑴考慮以X的線性函數(shù)a+bX來近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來衡量以a+bX近似表示Y

的好壞程度:e值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e達(dá)到最小時的a,b相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.證明2）=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X

這樣求出的最佳逼近為L(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若可見,E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)說明相關(guān)系數(shù)之間線性關(guān)系的一種度量.，X與Y的線性關(guān)系越顯著；，X與Y的線性關(guān)系越不顯著；四個等價命題：2）3）4）1相關(guān)系數(shù)則稱與不相關(guān);不相