《幾何原本》的幾何五大公設(shè)

《幾何原本》的五大公設(shè)過任意兩點(diǎn)可連成一直線任意直線可向它的兩方延長(zhǎng)以任意點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑，可劃一圓凡直角皆相等若一直線與兩直線相交，且同旁的兩角之和小於兩直角，則兩直線向該旁延長(zhǎng)必定相交第五公設(shè)aba+b<180o第五公設(shè)的另類陳述方式通過一直線L以外的一點(diǎn)P，只能畫出一條與L平行的直線LP三角形的內(nèi)角之和是180o若一四邊形有一對(duì)對(duì)邊相等，且它們與第三邊構(gòu)成的角為直角，則其餘的兩隻角也是直角ABCD對(duì)第五公設(shè)的質(zhì)疑不像前面四條公設(shè)一樣簡(jiǎn)單，而是辭句冗長(zhǎng)，意義含混其他公設(shè)都具有“有限”的特徵，只涉及直線的有限部分或有限範(fàn)圍內(nèi)的平面圖形從300BC到1800AD，就有人企圖用一個(gè)更簡(jiǎn)單的命題去推論它，但沒能成功推證第五公設(shè)的兩種思路一種是用比較自明的敘述來取代平行公設(shè)另一種是嘗試由歐幾里得的其餘公設(shè)推出平行公設(shè)推證失敗的原因所有證明都使用了和公設(shè)五等價(jià)的命題，即邏輯學(xué)上所謂的“循環(huán)論證”例：Legendre(1752~1833)所用的命題：「過銳角的一條邊上任一點(diǎn)M作該邊的 垂線，必與另一邊相交?！筂採(cǎi)用歸謬法的進(jìn)路歐氏第5公設(shè)：『通過直線AB以外的一點(diǎn)P，只能作出一條與AB平行的直線?！桓艿拿}有兩種形式：(1)過P點(diǎn)沒有直線與AB平行(2)過P點(diǎn)有不只一條直線與AB平行薩謝利(Saccherri,1667~1733)

的四邊形定理「若ACAB，BDAB，AC=BD，則 ACD=BDC，且都是銳角?！笰BCD錯(cuò)失良機(jī)薩謝利認(rèn)為結(jié)論太不合“常理”了，主觀地否定了自己推導(dǎo)出的結(jié)果德國(guó)數(shù)學(xué)家蘭伯特(Lambert,1728~1777)亦作出跟薩謝利類似的結(jié)果。他說：『人們不能限制邏輯上可能發(fā)展的各種不同的幾何之存在?！凰咕S卡特(Schweikart,1780~1859)

的宣言他說：『應(yīng)該承認(rèn)有兩種幾何，一種是歐氏幾何，另一種是建立在三角形內(nèi)角之和小於180o假設(shè)下的幾何?！坏诙N幾何可稱為“星際幾何”平行公設(shè)與歐氏其他公設(shè)無關(guān)創(chuàng)立非歐幾何的英雄德國(guó)的數(shù)學(xué)王子高斯(Gauss,1777~1855)匈牙利的鮑耶(J.Bolyai,1802~1860)俄國(guó)的羅巴契夫斯基(Lobatchevsky,1793~1856)德國(guó)的黎曼(Riemann,1826~1866)高斯(Gauss,1777~1855)羅巴契夫斯基(Lobatchevsky,1793~1856)鮑耶(J.Bolyai,1802~1860)高斯的貢獻(xiàn)在1792年已知道：「若一四邊形的其中三隻角是直角，而另一隻角不是直角時(shí)，其面積與|360o-S|成正比例，其中S是四邊形的內(nèi)角和。從1817年給友人的信上說：『物理需要?dú)W氏幾何是不可證明的?！坏咚箒K沒有發(fā)表其成果，因?yàn)榕掠腥顺芭?。他?duì)非歐幾何的貢獻(xiàn)是1816年及1822年。鮑耶的貢獻(xiàn)

鮑耶是數(shù)學(xué)家F.Bolyai的兒子，13歲已掌握了微積分，15歲時(shí)其數(shù)學(xué)造詣已跟父親不相上下1823年底(23歲)，鮑耶對(duì)父親說：『在非歐幾何方面，我已經(jīng)有美妙的發(fā)現(xiàn)，致使我驚訝不已。』1826年(24歲)，他把《絕對(duì)空間的科學(xué)》這篇非歐幾何的開創(chuàng)性論文寄給他的老師，但遭丟失了1832年(30歲)，他的論文發(fā)表在父親的著作《給勤學(xué)的年青人論數(shù)學(xué)原理》之附錄裡羅巴契夫斯基的貢獻(xiàn)1792年生於下諾夫哥羅德(高爾基城）1808年(16歲)入喀山大學(xué)學(xué)習(xí)1811年(19歲)獲博士學(xué)位並留校工作1822年(30歲)任教授，其後任物理數(shù)學(xué)系主任、圖書館館長(zhǎng)及喀山大學(xué)校長(zhǎng)等職從1816年開始試作平行公設(shè)的證明，推導(dǎo)到一系列前後一貫的命題，但與歐氏幾何不同的新幾何體系他稱之為「虛幾何學(xué)」，後人則稱之為「羅氏幾何」或「雙曲幾何」1826年在喀山大學(xué)發(fā)表自己的新學(xué)說，但沒有得到承認(rèn)以後陸續(xù)用俄文、法文、德文發(fā)表自己的工作。直到去世後，高斯對(duì)他的學(xué)說予以肯定，他的思想才被普遍接受他在無窮級(jí)數(shù)論、積分學(xué)和概率論等方面，也有出色的工作著有《幾何學(xué)基礎(chǔ)》(1829)及《平行線理論的幾何研究》(1840)羅氏幾何的兩大特徵通過直線AB以外的一點(diǎn)P，有不只一條直線與AB平行三角形的內(nèi)角和小於兩直角黎曼的貢獻(xiàn)黎曼在1854年的論文《論幾何學(xué)的基本假設(shè)》，提出了另類的非歐幾何學(xué)，稱為「黎曼幾何」(即「橢圓幾何」)在黎曼幾何的體系中，有以下特徵：(a)直線不是無限而是有限且封閉的(b)不存在平行線(c)三角形內(nèi)角和大於兩直角黎曼(Riemann,1826~1866)三種幾何體系的模型歐氏幾何羅氏幾何黎曼幾何非歐幾何的世界1915年愛因斯坦(A.Einstein,1879~1955)利用非歐幾何創(chuàng)立廣義相對(duì)論(GeneralRelativity)人類生存的空間只是小範(fàn)圍可被視為歐氏空間，大範(fàn)圍以致整個(gè)宇宙則必須用非歐幾何來描述幾何學(xué)分類幾何基礎(chǔ)、解析幾何、非歐幾何、射影幾何、畫法幾何微分幾何(包括：張量分析、微分流形、黎曼流形、大範(fàn)圍微分幾何、複流形)拓樸學(xué)(包括：點(diǎn)集拓樸、代數(shù)拓樸、解析拓樸、微分拓樸、微分流形、纖維叢)代數(shù)幾何(包括：代數(shù)曲線、代數(shù)曲面、代數(shù)簇)拓樸學(xué)(Topology)俗稱「橡皮幾何學(xué)」源於歐拉的哥尼斯堡的七橋問題主要分為點(diǎn)集拓樸(PointSetTopology)及組合拓樸(CombinatorialTopology)兩類一般多研究高維的空間和流形偉大的數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)哥尼斯堡的七道橋哥尼斯堡的七橋問題是否可以走過全部七道橋，而每一道橋只準(zhǔn)經(jīng)過一次？平面布線問題一個(gè)線路能否布於平面上而使它不自交叉？多面體的歐拉公式對(duì)一簡(jiǎn)單多面體而言，它的頂點(diǎn)數(shù)(V)、面數(shù)(F)及稜數(shù)(E)滿足：V+F-E=2(歐拉-龐加萊定理)

對(duì)閉曲面而言，它的歐拉-龐加萊示性數(shù)滿足：=V+F-E=2-2g，其中g(shù)代表該閉曲面的虧數(shù)(genus)四色問題(FourColorProblem)在平面或球面上繪製世界或全國(guó)地圖，使得相鄰的國(guó)家或地區(qū)塗上不同的顏色，問最少要使用多少種顏色？1976年WolfgangHaken及KennethAppel借助電腦證明了用四種顏色便可以了若是環(huán)面的話，則最少要用7種顏色密比烏斯帶(MobiusStrip)它是一個(gè)單側(cè)的曲面，且只有一個(gè)邊緣分形幾何(FractalGeometry)分形是美籍法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德布洛(Mandelbrot)在70年代中期所創(chuàng)造的一個(gè)新名詞，用來形容自然界的複雜形狀及無規(guī)則現(xiàn)象自八十年代以來，有關(guān)分形的研究已滲透到很多不同的領(lǐng)域之中，包括物理學(xué)、化學(xué)、數(shù)學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)及地球科學(xué)等分形在自然界中普遍存在，例如天上的雲(yún)、地上的河流、人的肺與支氣管、植物的葉脈、地球的山脈、土星的環(huán)等等都是分形，數(shù)不勝數(shù)!分形的特徵它具有自我相似性(self-similarity)它的維數(shù)(dimension)不是整數(shù)而是分?jǐn)?shù)海岸線的長(zhǎng)度假設(shè)我們使用標(biāo)度去量度一個(gè)海岸線的長(zhǎng)度。直觀上，海岸線之長(zhǎng)度L()=×N()，其中N()表示從海岸線的一端到另一端總共測(cè)量的次數(shù)當(dāng)0時(shí)，L()並不趨向一個(gè)固定值，而是隨著的減少而增長(zhǎng)，這意味著海岸線的長(zhǎng)度是不能精確測(cè)量出來的！科赫曲線(KochCurve)科赫曲線是瑞典數(shù)學(xué)家科赫(HelgevonKoch)於1904年提出的。按照Mandelbrot的說法，科赫曲線是海岸線粗略但極好的模型怎樣構(gòu)造科赫曲線呢？(Step1)畫一長(zhǎng)度為一單位之線段(Step2)把該線段分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長(zhǎng)為1/3之等邊三角形的兩邊取代之(Step3)重複以上步驟，把每條線段再分成三等分，去掉中間的一分，並以一邊長(zhǎng)為1/9之等邊三角形的兩邊取代之。如此類推，直至獲得一條無限長(zhǎng)的曲線為止?？坪涨€康托集(CantorSet)康托集是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托(Cantor)於1883年提出的它的構(gòu)造方法如下： (Step1)畫一長(zhǎng)度為一單位之線段

(