第30講 求空間前妙招迭出施向量法更添風(fēng)采 講義-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)經(jīng)典微專題

第30講求空間前妙招迭出，施向量法更添風(fēng)采一、攻關(guān)方略空間角的探究是立體幾何的一類重要題型.空間的角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角,求空間角首先要把它轉(zhuǎn)化為平面角(即降維策略的應(yīng)用),然后用代數(shù)的方法、三角的方法求解,或者直接用向量的方法求解,異面直線所成角的范圍是,直線與平面所成角的范圍是,二面角的范圍是1.異面直線所成角的求解（1）平移法.在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”,作另一條直線的平行線;也可在兩條異面直線外空間選擇“特殊點(diǎn)”,分別作兩條兩異面直線的平行線(單移或雙移).（2）補(bǔ)形法.把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體,如正方體、平行六面體、長方體等,從而發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.（3）向量法.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出兩異面直線所在向量的坐標(biāo),代入向量夾角公式即可求出.求異面直線與的夾角.2.直線與平面所成角的求解(1)直接法.通過斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作出平面的垂線段,連接垂足和斜足,找出線面角(斜線段和斜線段在平面上的射影所成的角),在直角三角形中求解.（2）向量法.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量的坐標(biāo)和斜線段所在直線的向量坐標(biāo),代入向量夾角公式,求出法向量與斜線段所在直線的夾角,則直線與平面所成角為,求直線與平面所成角(其中為平面的法向量,為與的交點(diǎn),為上不同于的任一點(diǎn)).3.二面角的求解(通常通過平面角求解)(1)定義法.直接在二面角的棱上取一點(diǎn)(特殊點(diǎn)),分別在兩個(gè)半平面中作棱的垂線,得出平面角,在相應(yīng)的平面圖形中計(jì)算.(2)三垂線法.已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的垂線,用三垂線定理或其逆定理作出平面角,在直角三角形中計(jì)算.(3)垂面法.已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線,所成的角即為平面角,二面角的平面角所在的平面與棱垂直.(4)射影法.利用面積射影公式:(5)向量法.建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,然后代入向量夾角公式,求出兩法向量的夾角,則兩個(gè)平面的二面角的平面角為或求二面角,有分別為兩個(gè)平面的法向量)對于一類沒有給出棱的二面角,應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面,使之相交出現(xiàn)棱,然后再選用上述方法.真可謂:三維化二維緊扣定義,轉(zhuǎn)化與歸納配合運(yùn)用,求空間角妙招迭出,施向量法更添風(fēng)禾.二、例題展示例1在三棱柱中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,,則異面直線與所成角的余弦值為解題策略本例求兩異面直線所成角的余弦值,從立體幾何角度講,作角是關(guān)鍵，通常采用平移法,但有時(shí)平移后的圖形不易作出或者雖然可以作出但論證較為復(fù)雜.可考慮補(bǔ)形的方法,當(dāng)然補(bǔ)形的方法也許不唯一,一定要注意的是異面直線所成角平移后的兩條相交線所成的角是銳角還是直角.從空間向量角度講,運(yùn)用向量法求兩異面直線所成的角是好方法,而向量法通常又分為純向量法和坐標(biāo)法,相比較,純向量的方法必須能找到合適的基底,而不必建立空間直角坐標(biāo)系,當(dāng)空間直角坐標(biāo)系難以建立時(shí),可考慮純向量的方法.但這種方法有很大的局限性,在求線面角、二面角或點(diǎn)到直線距離時(shí)顯得非常麻煩,本例由于條件充分,用純向量的方法是可以操作的,但若能通過建立空間直角坐標(biāo)系,相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)又容易求得,則應(yīng)當(dāng)首選坐標(biāo)法.本例是訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維,移花接木,尋找最佳解法的好題.策略一運(yùn)用直接平移法,必須雙移并運(yùn)用余弦定理求解’:策略二運(yùn)用補(bǔ)形法,在原三棱柱上底面補(bǔ)上一個(gè)大小相同的三棱柱,再通過平移并策略三將三棱柱補(bǔ)成平行六面體,解法更顯直觀策略四向量坐標(biāo)法，運(yùn)用向量數(shù)量積的夾角公式求解策略五純向量法,依次求代入公式得解解法一(直接平移法)如圖所示,作底面,由可知,為的角平分線,且面,于是,四邊形為矩形.取的中點(diǎn),連接交于點(diǎn),則為的中點(diǎn),.異面直線與所成角等于與所成的角,即或其補(bǔ)角.設(shè)三棱柱的棱長為2,由題意即可得.于是.故異面直線與所成角的余弦值為.解法二(補(bǔ)形法一)在三棱柱的上底面補(bǔ)一個(gè)大小相同的三棱柱,如圖所示,連接且交于,則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角.設(shè),易見,在中,有,故異面直線與所成角的余弦值為.解法三(補(bǔ)形法二)將三棱柱補(bǔ)為平行六面體,再放同樣的一個(gè)平行六面體,如圖所示,就是異面直線與所成的角.設(shè)棱長為1,在中,易求得,即.在中,易求,易得.從而在中,求得.在中,由余弦定理得.解法四(向量坐標(biāo)法)如圖所示,以為原點(diǎn),過作平面于,則必在軸上,且,從而.設(shè)棱長為1,則,,設(shè)異面直線與所成角為,則. 解法五(純向量法)不妨設(shè)長為,.,設(shè)異面直線與所成角為,則例 如圖所示,四棱雉中,底面為線段上一點(diǎn),為的中點(diǎn).（1）證明:平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.解題策略本題主要考察空間直線和平面平行關(guān)系的證明以及求直線與平面所成角的正弦值.第(1)問,可以利用線面平行的判定定理證明,也可以用純向量法或向量坐標(biāo)法證明;第(2)問,可以通過作出相應(yīng)射影角求解,若結(jié)合等體積法求點(diǎn)到平面的距離也會對解題帶來方便,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量求解直線與平面所成角的正弦值也是好方法.應(yīng)指出的是:直線與平面所成角與直線的方向向量和平面的法向量的夾角不是一回事.兩者之間關(guān)系為.第(1)問策略一：立體幾何方法，由線線平行線面平行:策略二：純向量法，即證明向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量滿足共面向量定理.策略三：向量坐標(biāo)法，即證明向量與平面的法向量垂直.第(2)問策略一：轉(zhuǎn)化為求斜線與其與平面內(nèi)射影所成角策略ニ：運(yùn)用等體積法求點(diǎn)到平面的距離,再求線面角.策略三：運(yùn)用向量坐標(biāo)法求向量與平面的法向量所成角的余弦值,即為與平面所成角的正弦值證法一（立體幾何常規(guī)證法:先證線線平行,再推得線面平行）由已知得,取的中點(diǎn),連接,如圖30-6所示.由為的中點(diǎn)知.又,故,四邊形為平行四邊形,于是.平面平面平面.為的中點(diǎn),以向量為基底共面,又平面平面.證法三(向量坐標(biāo)法)取中點(diǎn),連接,易證,即,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,如圖30-7所示.則,可取平面的法向量,則,平面（2）解法一（立體幾何方法一:轉(zhuǎn)化為求射影角）如圖所示,取中點(diǎn),連接,易證平面.作,垂足為點(diǎn),易證平面.連接,則為與平面(即平面)所成的角.易求得.解法二（立體幾何方法二:等積法求距離再求線面角）由已知圖,平面即平面,由易求得點(diǎn)到平面的距離.設(shè)與平面(即平面)所成的角為,則.解法三(向量坐標(biāo)法)取中點(diǎn),連接,以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)檩S正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知,..設(shè)為平面的法向量,則,即可取.于是.則直線與平面所成角的正弦值為.列3如圖所示,四棱錐中,底面為平行四邊形,底面（1）證明:;（2）若,求二面角的余弦值.解題策略本例考查線面垂直及二面角的求法.兩小問均有多種不同的證法和解法,若用向量法解,在建立空間直角坐標(biāo)系后,運(yùn)算一定要細(xì)心,一旦點(diǎn)的坐標(biāo)及法向量求錯(cuò),則必導(dǎo)致最后結(jié)果出錯(cuò),這是運(yùn)用向量法特別要注意的地方.在求二面角時(shí)還要注意所求二面角為鋪角.解決數(shù)學(xué)問題,由于解題者看問題的視角不同,運(yùn)用的相關(guān)知識各異,必然會呈現(xiàn)精彩紛呈的解題過程,解題方法越多,說明對數(shù)學(xué)中的眾多知伬點(diǎn)掌握得越牢固,理解得越透徹.數(shù)學(xué)思維是發(fā)散型的,迎是空間想象能力、邏輯思維能力及運(yùn)算能力的展示.第（1）問：策略一：:證線面垂直線線垂直策略二：運(yùn)用三垂線定理進(jìn)行證明策略三：運(yùn)用向量運(yùn)算，證明策略四：運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算,證明第（2）問：策略一通過證明所求二面角轉(zhuǎn)化為兩向量所成角,運(yùn)用向量運(yùn)算、依據(jù)向量關(guān)系求出相應(yīng)的角策略二運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算求出平面和平面的法向量,通過計(jì)算兩法向量所成角求二面角的余弦值策略三:運(yùn)用分割法轉(zhuǎn)化為求二面角與二面角之和策略四轉(zhuǎn)化為異面直線所成角并運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式:策略五定義法,扣住二面角的定義作出其平面角,通過計(jì)算平面角的余.弦值得二面角的余弦值策略六四棱錐補(bǔ)成直四棱柱,轉(zhuǎn)化為求與二面角相鄰且互補(bǔ)的二面角,此二面角通過等積求距后容易求得,則所求二面角即可得到（1）證法（證線面垂直：∵,由余弦定理得,從而,故.又底面,可得平面,故.證法(運(yùn)用三垂線定理)設(shè),在中作,垂足為,如圖所示.則,從而.而在平面內(nèi)的射影是,由三垂線定理知.證法三(運(yùn)用向量運(yùn)算)平面.,即.證法四(運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算)作,垂足為,分別以為軸、y軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖30-11所示.令,則,.設(shè),由于,則于是,即.（2）解法(運(yùn)用向量運(yùn)算)由第問的證法一知,又,過作,垂足為,如圖所示.則二面角的大小等于與所成角的大小,設(shè)為.設(shè),則,.在中可求得,在中,由余弦定理求得.又,解得,二面角的余弦值為.解法二(運(yùn)用向量坐標(biāo)運(yùn)算)以為坐標(biāo)原點(diǎn),的長為單位長,射線為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系(見圖,則,設(shè)平面的法向量為,則,即因此可取.設(shè)平面的法向量為,則,可得.,故二面角的余弦值為.解法三(分割法)把二面角分成與兩部分,轉(zhuǎn)化為求二面角與二面角的和.由知,又,又可證,平面,于是平面平面,即二面角的大小為,過作,垂足為,連接,如圖所示.可證.是二面角的平面角.設(shè),則.在中,,在中,.二面角的余弦值為.解法四：(轉(zhuǎn)化為異面直線所成角并運(yùn)用異面直線上兩點(diǎn)間距離公式）由證法一知,又底面,平面.如圖所示,作,垂足為點(diǎn),連接異面直線與所成的角為所求二面角的平面角的補(bǔ)角.設(shè),則在平行四邊形中,可知.在中,易知,可求得,由異面直線上兩點(diǎn)間距離公式得.即所求二面角的余弦值為.解法五(定義法)由(1)證法一知,又.又可證平面,于是.如圖所示,過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線,交的延長線于點(diǎn),則是二面角的平面角.設(shè),則.易求.求得,于是在中,由余弦定理求得,,在中,由勾股定理求得,在中,易得,故.在中,求得.在中,由余弦定理得.二面角的余弦值為.解法六(補(bǔ)形法)將四棱錐補(bǔ)成直四棱柱,如圖所示,則二面角的大小與二面角的大小互補(bǔ).易證,而.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則由