光纖光學(xué)-第二章

第二章光纖光學(xué)基本方程光波導(dǎo)的模式2?光ABCD單模多模電磁分離波動方程waveequation縱橫分離波導(dǎo)場方程時(shí)空分離亥姆霍茲方程Helmholtzequation

分析思路光波導(dǎo)：約束光波傳輸?shù)拿浇閷?dǎo)波光：受到約束的光波亥姆霍茲方程光線理論波動理論模式一、波動方程波動方程推導(dǎo)最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離理想介質(zhì)各向同性介質(zhì)：無自由電荷介質(zhì)：f=0，

Jf=0非時(shí)變介質(zhì)：

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠桃?、波動方程波動方程推?dǎo)最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠滩▌臃匠痰臉?biāo)量形式直角坐標(biāo)系中，電磁場的每個(gè)分量都成立，也就是說，電磁場向量的每個(gè)分量都滿足標(biāo)量波動方程。一、波動方程波動方程推導(dǎo)最簡單的波動方程電矢量與磁矢量分離

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠滩▌臃匠痰臉?biāo)量形式式中

代表E和H的各分量。在圓柱坐標(biāo)中只有Ez和Hz分量才滿足上述波動方程，橫向電磁場分量不滿足。三、亥姆霍茲方程Maxwell方程Helmholtz方程空間時(shí)間分離（頻域Maxwell方程）三、亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程的標(biāo)量形式

基本方程直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系左圖表示t=0時(shí)刻，電場及磁場隨空間的變化情況。HyExz

自由介質(zhì)中的單色均勻平面波若取Z軸方向?yàn)閭鞑シ较?，則——橫場和縱場稱為縱向傳播常數(shù)，其實(shí)就是波矢在Z方向的分量kz?？v向振蕩因子HyExz

自由介質(zhì)中的單色均勻平面波——橫場和縱場

對于傳播方向而言，電場及磁場僅具有橫向分量，因此稱為橫電磁波，或稱為TEM波。以后將會遇到在傳播方向上具有電場或磁場分量的非TEM波。T－TransverseExHyz

導(dǎo)電介質(zhì)中的平面波衰減因子矩形波導(dǎo)圓波導(dǎo)微帶線電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在?！?-2波導(dǎo)方程

一、波導(dǎo)方程橫縱坐標(biāo)分離略去t-垂直于z方向的橫向(Transverse)模式場亥姆霍茲方程一、波導(dǎo)方程β－（縱向）傳播常數(shù)，表示光場沿縱向的波動性。

e(x,y)和h(x,y)－表示光場（E,H）沿波導(dǎo)橫截面的分布，稱為模式場χ－（橫向）傳播常數(shù)直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系二、模式波導(dǎo)場方程是一個(gè)典型的本征方程，其本征值為β或χ。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí)，求解波導(dǎo)場方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”，它相應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件。每一個(gè)模式對應(yīng)于電磁場的一種穩(wěn)定存在形式，用電力線或磁力線將此形式描繪出來便是一種特定圖案。波導(dǎo)中總的光場分布則是這些模式的線性組合：模式圖形模式的特征：

模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。一給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵源只能激勵起波導(dǎo)中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。模式的場矢量e(x，y)和h(x，y)具有六個(gè)場分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e￠、ez和hr、h￠、hz)。只有這六個(gè)場分量全部求出方可認(rèn)為模式的場分布唯一確定。將兩式代入麥?zhǔn)戏匠痰膬蓚€(gè)旋度方程中：并利用以下關(guān)系三、模式場的分量形式式中：推導(dǎo)縱橫關(guān)系式

類似地，對于圓柱坐標(biāo)，可得：返回框圖縱橫關(guān)系式1-3模式及其基本性質(zhì)模式場分布、縱向傳播常數(shù)（本征值）、橫向傳播常數(shù)、模式截止條件等求解問題求解方法（波動光學(xué)方法）由波導(dǎo)場方程求取Ez和Hz（模式場的縱向分量）由縱橫關(guān)系式求取橫向場分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖Morethan3layersn1>n2≥n3Width(iny)>>dd~μmΔn=n1-n2,~0.001-0.01Δ=Δn/n1≈Δn/n2

相對折射率差~0.1-1％Ifn2=n3,對稱波導(dǎo)（Symmetricalwaveguide）

n2>n3,非對稱波導(dǎo)（Asymmetricalwaveguide）

Ez=0，Hz=0的波，稱為橫電磁波，簡記為TEM波Ez

0，

Hz=0的波，稱為橫磁波，Ey＝Hx＝0，僅有Ex，Ez和Hy三個(gè)場分量。簡稱為TM波或E波Ez=0，Hz

0的波，稱為橫電波，Ex＝Hy＝0，僅有Ey，Hx和Hz三個(gè)場分量；簡稱為TE波或H波。傳導(dǎo)電磁波的分類波導(dǎo)中可存在的波型1-3模式及其基本性質(zhì)平面波的反射與折射（a）TE波（b）TM波⊕代表進(jìn)紙面，⊙代表出紙面，角標(biāo)i、r、t分別代表入射、反射和折射1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）電磁場沿z方向傳輸，z方向波導(dǎo)的幾何形狀不變。在y方向波導(dǎo)是無限延伸的，同時(shí)由于對稱性，場分量在y方向沒有變化，即：xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖從物理量隨著指標(biāo)變化來看，平板波導(dǎo)只與X、Z兩個(gè)指標(biāo)有關(guān)。又可稱平板波導(dǎo)為二維波導(dǎo)。波導(dǎo)方程：直角坐標(biāo)系一、波動光學(xué)方法（電磁場分析）波導(dǎo)方程：直角坐標(biāo)系TE波ez

=0，

hz

0的波，稱為橫磁波，hy＝ex＝0，僅有hx，hz和ey三個(gè)場分量?？v橫關(guān)系式在三層介質(zhì)中分量解分別寫出分量波動方程為：波導(dǎo)層：襯底層：覆蓋層：令：對稱波導(dǎo)：dz=hn=0n3n1n2xyz解得：其中，對于導(dǎo)模，在波導(dǎo)內(nèi)應(yīng)呈振蕩形式的解。對于導(dǎo)模，在介質(zhì)外場分量應(yīng)迅速衰減?？v向場解基本形式導(dǎo)模條件波導(dǎo)內(nèi)呈振蕩形式解，應(yīng)有介質(zhì)板外場分量應(yīng)迅速衰減，應(yīng)有對于導(dǎo)模導(dǎo)模條件為：波導(dǎo)內(nèi)呈振蕩形式解，應(yīng)有橫向場解基本形式傳播常數(shù)的確定（本征值方程）或縱向傳播常數(shù)證明兩式乘

d2后再相加橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)圖解法求解特征方程UtanU-UcotU模式截止截止條件：模式截止UtanU-UcotU模式的階數(shù)m越大，Κ越大，b越小。m=0，1，2…，分別對應(yīng)著TE0，TE1，TE2…模式，m稱為TE模的階數(shù)。模式數(shù)量向下取整UtanU-UcotU歸一化頻率波導(dǎo)中傳輸模式的數(shù)目與V有關(guān)，V是介質(zhì)平板波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參量，它與波導(dǎo)的n1、n2

、d及真空中的波長有關(guān)。歸一化頻率歸一化頻率若V>>

2π，則波導(dǎo)中存在許多傳輸模式。因此若若設(shè)計(jì)一個(gè)多模介質(zhì)板波導(dǎo)，應(yīng)按下式選擇介質(zhì)平板的半寬度：波導(dǎo)數(shù)值孔徑若波導(dǎo)的V<

π/2，則圖中的圓只能與UtanU曲線的第1個(gè)分支相交，這時(shí)波導(dǎo)中只存在一個(gè)TE模，即TE0模。一對稱介質(zhì)平板波導(dǎo)，d=1μm,n1=2.234,n2=2.214，λ0＝0.6328μm，求：(1)波導(dǎo)中存在哪些TE模?(2)當(dāng)光波長增加到多少時(shí)，波導(dǎo)中只有TE0模存在?因?yàn)棣?2<V<π，可知波導(dǎo)中存在著TE0模和TEl模。解：⑴：⑵：返回基本方程框圖如果從z方向來觀察波導(dǎo)橫截面，那么就只能看到光波沿著x方向的上下運(yùn)動，以下就從此觀點(diǎn)出發(fā)來導(dǎo)出平板波導(dǎo)中的導(dǎo)模條件。2、平板波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析設(shè)一光波從薄膜下界面出發(fā)向上行進(jìn)到薄膜上界面，在上界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，此時(shí)會與原先從下界面出發(fā)的光波疊加在一起，若要發(fā)生相互加強(qiáng)，則兩列波的相位差應(yīng)為2π的整數(shù)倍。這個(gè)維持導(dǎo)模的條件稱為橫向共振條件。平板波導(dǎo)的模式本征方程kkxkzdABCD波前n1n2n31312全反射相移該方程的又稱為色散方程。對于給定波導(dǎo)參數(shù)，可求出θ，當(dāng)m取值不同時(shí)，θ值也不同。θ稱為m階導(dǎo)模的模角。θ只能取一系列分立值。由θ可以確定傳播常數(shù)β。平板波導(dǎo)不同模式的傳輸路徑比較m=0m=1m=2程函方程：表示光波相位變化與介質(zhì)折射率分布的關(guān)系光線在均勻介質(zhì)傳播路徑上無方向變化；在非均勻介質(zhì)傳播路徑上有方向變化。光線方程：光線向折射率大的方向彎曲。相位梯度方向與波矢量k方向一致，其模等于該點(diǎn)鄰近單位距離內(nèi)的相移。(弧度/米）返回基本方程框圖2-4程函方程和射線方程推導(dǎo)切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度二、波動方程兩邊取旋度：均勻介質(zhì)（）或ε變化緩慢的介質(zhì)（）

最簡單的波動方程非均勻介質(zhì)返回波動方程

稱為傳播常數(shù)，表征相位變化的快慢在物理學(xué)中，k常稱為波矢量，或者稱為波數(shù)。它指向波的傳播方向。對于各向同性介質(zhì)，k的方向與能流方向一致。紅色線條代表電力線藍(lán)色線條代表磁力線TE10模式場的三維圖形矩形波導(dǎo)中的空間模式E00E10E01E11202110111200010203模式數(shù)目光強(qiáng)為零最大光強(qiáng)圓波導(dǎo)(光纖)中的空間模式LED、白熾燈LD、點(diǎn)源經(jīng)準(zhǔn)直透鏡的光束光源光纖光斑初始端導(dǎo)波模、輻射模（泄漏模）導(dǎo)波模波導(dǎo)、導(dǎo)波的概念！返回模式的概念得各個(gè)分量的方程：消去hy用ez和ez表示ex的表達(dá)式：式中：類似可以得到用ez和hz表示ey，hx，hy的表達(dá)式：返回基本的波導(dǎo)方程式可化為：返回本征值方程（特征方程）的導(dǎo)出上面求出的場分量應(yīng)滿足電磁場的邊界條件，即當(dāng)

x＝±d時(shí)，橫向場分量應(yīng)保持連續(xù)。當(dāng)x＝d時(shí)，應(yīng)有ey1=ey2，hz1=hz2，由這兩個(gè)關(guān)系式可得到當(dāng)x＝-d時(shí)，也應(yīng)有ey1=ey2，hz1=ez2，由這兩個(gè)關(guān)系式可得到：組成線性齊次方程組，要使A，B有非零解，須令其系數(shù)行列式為零：由上式得TE模的特征方程式：或返回光程：波面走過的幾何路徑與折射率的乘積。平面波在任意方向傳輸?shù)牟ê瘮?shù)：相位因子對非均勻介質(zhì)，相位既與位置有關(guān)，又與傳播路徑上的折射率有關(guān)，用光程函數(shù)表示波函數(shù)略去時(shí)間因子相位梯度：表示光線傳播過程中相位的變化率由麥克斯韋方程推導(dǎo)程函方程:2.4-1程函方程由：等式左邊：與等式左邊相等：由麥克斯韋方程其他三個(gè)方程同樣處理，得到：三個(gè)矢量正交，相位梯度與波面法線方向一致。條件：將（2.4-1a）代入（2.4-1b），利用矢量恒等式EH相位梯度電場矢量振幅不能處處為零，因而必然有：或者：式（2.4-2a）稱為程函方程；相位梯度方向與光波傳播方向一致，其模等于介質(zhì)折射率；程函方程給出波面變化規(guī)律：在均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向不變；在非均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向隨折射率變。（2.4-2a）（2.4-2b）2.4-2光線方程（射線方程）r

：光線傳播路徑S上某點(diǎn)的矢徑dr/ds:傳播路徑切線方向上單位矢量,根據(jù)相位梯度的定義，矢量dr/ds方向與相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程（2.4-3)因此相位梯度等于路徑切線方向上的單位光程路徑Srr+drzydrxdr/ds上式對路徑

S

求導(dǎo)光線方程是矢量方程，表示光線向折射率大的方向彎曲。等式右邊：（2.4-4)故對

S

求導(dǎo)式為：切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度光線方程例1：光線在均勻媒質(zhì)中的傳播光線方程：因n=常數(shù)改寫成：其解為矢量直線方程：

a和b是常矢量，在均勻介質(zhì)中光線路經(jīng)沿矢量a前進(jìn)，