中考數(shù)學(xué)頻考點(diǎn)突破-銳角三角函數(shù)

中考數(shù)學(xué)頻考點(diǎn)突破--銳角三角函數(shù)1．教育部頒布的《基礎(chǔ)教育課程改革綱要》要求每位學(xué)生每學(xué)年都要參加社會實(shí)踐活動，某學(xué)校組織了一次測量探究活動，如圖，某大樓的頂部豎有一塊廣告牌CD，小明與同學(xué)們在山坡的坡腳A處測得廣告牌底部D的仰角為53°，沿坡面AB向上走到B處測得廣告牌頂部C的仰角為45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=21米（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈4（1）求點(diǎn)B距水平地面AE的高度；（2）若市政規(guī)定廣告牌的高度不得大于7米，請問該公司的廣告牌是否符合要求，并說明理由.2．如圖，AD是△ABC的中線，tanB=13，cosC=22，AC=（1）BC的長；（2）sin∠ADC的值．3．如圖，在一條筆直的東西向海岸線l上有一長為1.5km的碼頭MN和燈塔C，燈塔C距碼頭的東端N有20km．以輪船以36km/h的速度航行，上午10：00在A處測得燈塔C位于輪船的北偏西30°方向，上午10：40在B處測得燈塔C位于輪船的北偏東60°方向，且與燈塔C相距12km．（1）若輪船照此速度與航向航向，何時到達(dá)海岸線？（2）若輪船不改變航向，該輪船能否?？吭诖a頭？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3≈1.7）4．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點(diǎn)A，PO交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，∠P=∠B．（1）求∠P的度數(shù)；（2）連接PB，若⊙O的半徑為a，寫出求△PBC面積的思路．5．如圖，是住宅區(qū)內(nèi)的兩幢樓，它們的高AB=CD=30m，兩樓間的距離AC=30m，現(xiàn)需了解甲樓對乙樓的采光的影響情況．（1）當(dāng)太陽光與水平線的夾角為30°角時，求甲樓的影子在乙樓上有多高（答案可用根號表示）；（2）若要甲樓的影子剛好不落在乙樓的墻上，此時太陽與水平線的夾角為多少度？6．化簡：（1）9﹣（12）0（2）x+1x?1﹣x7．如圖，我市某中學(xué)在創(chuàng)建“特色校園”的活動中，將奉校的辦學(xué)理念做成宣傳牌（CD），放置在教學(xué)樓的頂部（如圖所示）該中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組在山坡的坡腳A處測得宣傳牌底部D的仰角為60°，沿坡面AB向上走到B處測得宣傳牌頂部C的仰角為45°．已知山坡AB的坡度為i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面的鉛直高度BH與水平寬度AH的比）（1）求點(diǎn)B距水平而AE的高度BH；（2）求宣傳牌CD的高度．（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732）8．如圖，AB為⊙O直徑，D為⊙O上一點(diǎn)，BC⊥CD于點(diǎn)C，交⊙O于點(diǎn)E，CD與BA的延長線交于點(diǎn)F，BD平分∠ABC.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AB=10，CE=1，求CD和DF的長.9．如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，過點(diǎn)A作⊙O的切線交OC的延長線于點(diǎn)D，交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=1310．校車安全是近幾年社會關(guān)注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學(xué)數(shù)學(xué)活動小組設(shè)計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實(shí)驗(yàn)：先在公路旁邊選取一點(diǎn)C，再在筆直的車道l上確定點(diǎn)D，使CD與l垂直，測得CD的長等于21米，在l上點(diǎn)D的同側(cè)取點(diǎn)A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的長(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，（2）已知本路段對校車限速為40千米／小時，若測得某輛校車從A到B用時2秒，這輛校車是否超速?說明理由．11．如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，OP交AB于點(diǎn)C，OP=13，sin∠APC=513（1）求⊙O的半徑；（2）求弦AB的長．12．根據(jù)題意解答（1）計算：|﹣2|+（π﹣3）0+（12）﹣1（2）若關(guān)于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一個根是﹣2，求方程的另一個根．13．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)O在AB上，BC＝CD，過點(diǎn)C作⊙O的切線，分別交AB，AD的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn).（1）求證：AF⊥EF；（2）若cos∠DAB＝34，BE＝1，則線段AD的長是14．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinA=3（1）求AB的長;（2）若點(diǎn)E在Rt△ABC的直角邊上，點(diǎn)F在斜邊AB上，當(dāng)△CFE∽△ABC時，求CE的長.15．如圖海中有一燈塔P，它的周圍8海里內(nèi)有暗礁，海輪以18海里/時的速度由西向東航行，在A處測得燈塔P在北偏東58°方向上，航行40分鐘到達(dá)B處，測得燈塔P在北偏東26°方向上．（1）求燈塔P到點(diǎn)B的距離；（2）如果海輪不改變航線由B繼續(xù)向東航行，通過計算估計海輪有沒有觸礁的危險？16．“低碳環(huán)保，你我同行”．近兩年，南京市區(qū)的公共自行車給市民出行帶來了極大的方便．圖①是公共自行車的實(shí)物圖，圖②是公共自行車的車架示意圖，點(diǎn)A、D、C、E在同一條直線上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，F(xiàn)D⊥AE于點(diǎn)D，座桿CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的長；（2）求點(diǎn)E到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

答案解析部分1．【答案】（1）解：過B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，Rt△ABH中，i=tan∴∠BAH=30°，∴BH=1∴點(diǎn)B距水平地面AE的距離為5米.（2）解：由（1）得：BH=5，AH=53∵BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，∠AED＝90°，∴四邊形BHEG是矩形，∴BG＝HE即BG=AH+AE=53在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=53在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21，∴DE=AEtan∴CD=CG+GE?DE=26+53答：廣告牌CD高符合要求.【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】（1）過B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，根據(jù)坡度可得∠BAH=30°，然后根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)就可得到BH；

（2）由（1）得BH=5，AH=532．【答案】（1）解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵cosC=22∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=13，即AEBE=∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4（2）解：∵AD是△ABC的中線，∴CD=12∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=22【知識點(diǎn)】解直角三角形【解析】【分析】（1）過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)cosC=22，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根據(jù)tanB=13．【答案】（1）解：延長AB交海岸線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥l于F，如圖所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×4060=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴時間t=1236=13（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在Rt△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，∴BE=6，EC=63≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴輪船不改變航向，輪船可以?？吭诖a頭．【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問題【解析】【分析】（1）延長AB交海岸線l于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥海岸線l于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥l于F，首先證明△ABC是直角三角形，再證明∠BAC=30°，再求出BD的長即可角問題．（2）求出CD的長度，和CN、CM比較即可解決問題．本題考查方向角、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，由數(shù)量關(guān)系推出∠BAC=30°，屬于中考常考題型．4．【答案】（1）解：∵PA切⊙O于點(diǎn)A，∴PA⊥AB，∴∠P+∠POA=90°．∵∠POA=∠B+∠OCB，∴∠P+∠B+∠OCB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB．又∵∠P=∠B，∴∠P=∠B=∠OCB．∴∠P=30°；（2）解：∵在Rt△PAO中，∠APO=30°，OA=a，∴PA=3AO=∴△PBC面積是12PA×AB=12×3a×（a+a）=3【知識點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠PAB=90°，求出∠P=∠B=∠OCB，即可得出答案；（2）解直角三角形求出AP，根據(jù)三角形面積公式求出即可．5．【答案】（1）解：如圖，延長OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，在RtΔBEF中，∵EF=AC=30m，∠FEB=30∴BE=2BF設(shè)BF=x，則BE=2x，根據(jù)勾股定理知，BE∴(2x)2=x2+因此，EC=30?10（2）解：當(dāng)甲幢樓的影子剛好落在點(diǎn)C處時，ΔABC為等腰三角形，因此，當(dāng)太陽光與水平線夾角為45°【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】（1）如圖所示作出輔助線，在RtΔBEF中運(yùn)用勾股定理列出方程解答即可；（2）當(dāng)甲幢樓的影子剛好落在點(diǎn)C處時，可得ΔABC為等腰三角形，從而得出太陽光與水平線夾角．6．【答案】（1）解：原式=3﹣1+2×1=3﹣1+1=3（2）解：原式=(x+1)2(x+1)(x?1)=x=3x+1【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；分式的加減法；0指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；特殊角的三角函數(shù)值【解析】【分析】（1）由二次根式的化簡、零指數(shù)冪的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值，即可將原式化簡，繼而求得答案；（2）首先通分，然后利用同分母的分式相加減的運(yùn)算法則求解即可，注意運(yùn)算結(jié)果需化為最簡．7．【答案】（1）解：在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH=i=13=∴∠BAH=30°，∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×12答：點(diǎn)B距水平面AE的高度BH是5米；（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE即tan60°=DE15，∴DE=153如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F，∴BF=AH+AE=53+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=153﹣5，在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=53+15，∴CD=CF﹣DF=53+15﹣（153﹣5）=20﹣103≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：廣告牌CD的高度約為2.7米．【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題【解析】【分析】（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=BHAH=i=13=33．得到∠BAH=30°，于是得到結(jié)果BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×12=5；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=DE15，得到DE=153，如圖，過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為F，求出BF=AH+AE=58．【答案】（1）證明：如圖，連接OD，則OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BC，∵BC⊥CD，∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接OD，OE，DE，過點(diǎn)D作DG⊥OE于點(diǎn)G，∵AB=10，∴OD=OE=1∴∠ODE=∠OED，∵OD//BC，∴∠ODE=∠CED，∴∠OED=∠CED，∵DG⊥OE，BC⊥CD，∴CD=GD（角平分線的性質(zhì)），在Rt△DEG和Rt△DEC中，GD=CDDE=DE∴Rt△DEG?Rt△DEC(HL)，∴GE=CE=1，∴OG=OE?GE=4，在Rt△ODG中，GD=O∴CD=GD=3，由圓周角定理得：∠FOE=2∠ABC，即∠FOD+∠DOE=2∠ABC，∵OD//BC，∴∠FOD=∠ABC，∴∠FOD+∠DOE=2∠FOD，解得∠FOD=∠DOE，在Rt△ODG中，tan∠DOE=∴tan在Rt△DOF中，DF=OD?tan【知識點(diǎn)】直角三角形全等的判定（HL）；角平分線的性質(zhì)；圓周角定理；切線的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義可得∠ODB=∠CBD，可證OD//BC，利用平行線的性質(zhì)可得OD⊥CD，根據(jù)切線的判定定理即證；

（2）連接OD，OE，DE，過點(diǎn)D作DG⊥OE于點(diǎn)G，先求出OD=OE=1Rt△DEG?Rt△DEC(HL)，可得GE=CE=1，從而求出OG=OE?GE=4，在Rt△ODG中利用勾股定理求出GD=3，由角平分線的性質(zhì)可得CD=GD=3，由圓周角定理及平行線的性質(zhì)可求出∠FOD=∠DOE，從而可得tan∠FOD=tan∠DOE=9．【答案】（1）解：∵AD是圓O的切線，∴∠DAB=90°.∵AB是圓O的直徑，∴∠ACB=90°.∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B.∵OC=OB，∴∠B=∠OCB.又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE.（2）解：∵AB=2，∴AO=1.∵sin∠D=13，∴在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=OD2?O∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴DCAD=DE解得：DE=2，∴AE=AD﹣DE=2.【知識點(diǎn)】圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【分析】（1）由切線的性質(zhì)可知∠DAB=90°，由直角所對的圓周為90°可知∠ACB=90°，根據(jù)同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性質(zhì)可知∠B=∠OCB，由對頂角的性質(zhì)可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）題意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=22，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE?AD，故此可求得DE=2，于是可求得AE=210．【答案】（1）解：由題意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30在Rt△BDC中，BD=CD∴AB=AD－BD=213（2）解：∵汽車從A到B用時2秒，∴速度為24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小時，∴該車速度為43.56千米/小時．∵43.56千米/小時大于40千米/小時，∴此校車在AB路段超速．【知識點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用【解析】【分析】（1）分別再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函數(shù)，即可求出AD與BD的長，從而求出AB的長；

（2）由從A到B用時2秒，即可求得這輛車的速度，比較與40千米每小時的大小即可確定是否超速。11．【答案】（1）解：∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴∠OAP=90°，∵sin∠APC=OAOP=5∴OA=5，即所求半徑為5（2）解：Rt△OAP中，AP=12，∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∴PC⊥AB由S四邊形OAPB=S△OAP+S△OBP，得12∴AB=2×5×1213=【知識點(diǎn)】切線的性質(zhì)；解直角三角形【解析】【分析】（1）由題意可推出OA⊥AP，即可推出OA的長度，即半徑的長度；（2）根據(jù)題意和（1）的結(jié)論，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=1212．【答案】（1）解：原式=2+1+2﹣2×22=2+1+2﹣2，=3（2）解：將x=﹣2代入x2+（k+3）x+k=0中，4﹣2（k+3）+k=0，解得：k=﹣2．將k代入原方程得：x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=﹣2，x2=1．∴方程的另一個根為1【知識點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；0指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；一元二次方程的根；一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值【解析】【分析】（1）將|﹣2|=2、（π﹣3）0=1、（12）﹣1=2、cos45°=213．【答案】（1）證明：如圖，連接OC∵CD＝BC∴CD＝BC∴∠1＝∠2∵OA＝OC∴∠2＝∠OCA∴∠1＝∠OCA∴OC∥AF∵EF為切線∴OC⊥EF∴AF⊥EF；（2）9【知識點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義【解析】【解答】解：（2）∵OC∥AF∴∠COE＝∠DAB∴設(shè)OC＝r在Rt△OCE中，cos∠COE=OCOE，即解得r＝3∴AB=2OC=2r=6如圖，連接BD∵AB為直徑∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，cos∠DAB=AD解得AD=故答案為：92【分析】（1）如圖，連接OC，先根據(jù)圓周角定理得出∠1＝∠2，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠2＝∠OCA，從而可得∠1＝∠OCA，然后根據(jù)平行線的判定可得OC∥AF，最后根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得OC⊥EF，從而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，設(shè)OC＝r，利用余弦的定義得到rr+1＝34，解得r＝3，如圖，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到14．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35設(shè)BC=3x，AB=5x，則AC=A∵AC=8，∴4x=8，解得：x=2，∴AB=5x=5×2=10（2）解：分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在AB上時，△CFE∽△ABC，如圖∴∠FE