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5.4積b定積分fxdx的定義要求(1)積分區(qū)間a,b有限,(2)被積afx有界,突破上述限制的積分稱為反常積分,或者廣義積分.注.本節(jié)的函數(shù),除了的奇點(diǎn)外,均假設(shè)為連續(xù)函數(shù).一.無(wú)窮限的反常積分例.考exdx,它的幾何意義是曲yexx正半軸間區(qū) AAlimexdxlim1et1exdx0t
0定義
fxdx存在,則稱反常積分
fxdx收斂,其積 fxdxlimfxdx;反之,稱fxdx發(fā)散 類似地fxdxlimfxdxfxdxfxdxfxdx
fxdxF a
fxdxFx例.討1
1dx的斂散性 x1p解.當(dāng)p1時(shí), ;當(dāng)p1時(shí),p
,故當(dāng)p1時(shí)1
1p x,當(dāng)p1時(shí)
p 注.對(duì)xlnpxdxupdu,有相同的結(jié)果 1313 1313 例x22x4x123
3
3333
1d1x2
,發(fā)散例1
2 1
2 1 例.
dx xx1
x1x 1x ln2 1 例. dsec
2x2sec4x2
cos3tdt1
tdsint3 32t x1t
133333221
tdt11t
1xdx11
dx xx1
x1 1
u 2 22u222
2
2 2 1 2 1 2x 12 例. dx 0 dx 2 2 ln
1 lnx
11例.x2dxlnxdxx 1
xdx0
二 函數(shù)的反常積x1 x例.考慮0
dx,它的幾何意義是曲線y 和y正半軸間區(qū)域1面積,而A
1dxlim2x1x1
t2,故
1dx2t0t
tx0x定義.若在Uc內(nèi)fx ,則稱c為間斷點(diǎn)(瑕點(diǎn)bt定義.設(shè)fxCa,b,xa為 間斷點(diǎn),若limfxdxtt t則稱反常積fxdx收斂,其積分值fxdxlimfxt tb 間斷點(diǎn),則fxdx f tb 若ca,b為fx 間斷點(diǎn),則fxdxfxdxfxdxc c注.設(shè)為 間斷點(diǎn)
,則 f
xa
Fx fxdxFxc,fxdxFbFaFxc 1x例.討論pdx的斂散性x01 1 x1p解.當(dāng)p1時(shí)
;當(dāng)p1 1
,故當(dāng)p1時(shí) 1 1 xpdx1p,當(dāng)p1時(shí)xpdx 1 1 1
例
dx
例. 2 2 2sec3t2costdt2 xxxx2
ut4 u 11例. 2 2
u242arctan24x2t x2tt
xxx2 14xxx2 14x 2 1 x2 x2arcsin2x11lnxx2
ln2 3 1 11 0 1例 2
02dx0
dx
x
,發(fā)散 例1lnxdxxlnx11xdlnx0limxlnx1
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