吉林省長(zhǎng)春汽車經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)第六中學(xué)2022年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若點(diǎn)(2，k)到直線5x-12y+6=0的距離是4，則k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞減B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的對(duì)稱中心是D．函數(shù)的對(duì)稱軸是3．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．4．已知，，分別是三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，，則（）A． B． C． D．5．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．6．網(wǎng)絡(luò)是一種先進(jìn)的高頻傳輸技術(shù)，我國(guó)的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機(jī)，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機(jī)上市時(shí)間和市場(chǎng)占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預(yù)測(cè)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率的變化趨勢(shì)，則最早何時(shí)該款手機(jī)市場(chǎng)占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月7．設(shè)集合，，則（）A． B．C． D．8．某人用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)無理數(shù)的值，做法如下：首先在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作軸的垂線與曲線相交于點(diǎn)，過作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)（如圖），然后向矩形內(nèi)投入粒豆子，并統(tǒng)計(jì)出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數(shù)的估計(jì)值是（）A． B． C． D．9．A． B． C． D．10．一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行，則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A． B． C． D．11．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個(gè)三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點(diǎn)，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點(diǎn)到點(diǎn)、距離之和的最小值為______________百米.14．三棱錐中，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn).給出下列四個(gè)命題：①若平面，則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形；②若，，，平面，則三棱錐的外接球體積為；③若，，，在平面上的射影是內(nèi)心，則三棱錐的體積為2；④若，，，平面，則直線與平面所成的最大角為.其中正確命題的序號(hào)是__________．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）15．設(shè)、分別為橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過作斜率為1的直線，交于、兩點(diǎn)，則________16．若變量，滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知橢圓的右焦點(diǎn)為，，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，周長(zhǎng)的最大值為8.（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線經(jīng)過，交橢圓于點(diǎn)，，直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓于點(diǎn)，，，求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：x2a2（1）求橢圓C的方程；（2）假設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．①若A為橢圓的上頂點(diǎn)，M為線段AB中點(diǎn)，連接OM并延長(zhǎng)交橢圓C于N，并且ON=62OM，求OB的長(zhǎng)；②若原點(diǎn)O到直線l的距離為1，并且19．（12分）第十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國(guó)家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，有戶自覺垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考20．（12分）如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn)，直角梯形所在平面與圓所在平面垂直，且，.（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）設(shè)不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由題得，解方程即得k的值.【詳解】由題得，解方程即得k=-3或.故答案為：D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.(2)點(diǎn)到直線的距離.2．B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點(diǎn)代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對(duì)稱軸是，故D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.3．D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．C【解析】

原式由正弦定理化簡(jiǎn)得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因?yàn)?，所以代入上式化?jiǎn)得.由于，所以.又，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.5．B【解析】

可解出集合，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【詳解】，，則，因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，涉及一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【解析】

根據(jù)圖形，計(jì)算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點(diǎn)在直線上，令因?yàn)闄M軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點(diǎn)睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實(shí)際應(yīng)用，基礎(chǔ)題.7．A【解析】

解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查交集的計(jì)算，同時(shí)也考查了一元二次不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

利用定積分計(jì)算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積，進(jìn)而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式，解出的表達(dá)式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中，令，可得，則點(diǎn)，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用隨機(jī)模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用定積分計(jì)算平面區(qū)域的面積，考查計(jì)算能力，屬于中等題.9．A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.【詳解】本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．10．A【解析】

求出滿足條件的正的面積，再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積，然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案．【詳解】滿足條件的正如下圖所示：其中正的面積為，滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11．C【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來解決.【詳解】如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線平行于平面與平面的交線時(shí)也有，，故②錯(cuò)誤；若，則垂直平面內(nèi)以及與平面平行的所有直線，故③正確；若，則存在直線且，因?yàn)椋?，從而，故④正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.12．D【解析】

直接相乘，得，由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果【詳解】∵∴其共軛復(fù)數(shù)為.故選：D【點(diǎn)睛】熟悉復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段的長(zhǎng)度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則.設(shè)直線，即，則，所以，所以，，則，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于中檔題.14．①②③【解析】

對(duì)①，由線面平行的性質(zhì)可判斷正確；對(duì)②，三棱錐外接球可看作正方體的外接球，結(jié)合外接球半徑公式即可求解；對(duì)③，結(jié)合題意作出圖形，由勾股定理和內(nèi)接圓對(duì)應(yīng)面積公式求出錐體的高，則可求解；對(duì)④，由動(dòng)點(diǎn)分析可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直線與平面所成的角最大，結(jié)合幾何關(guān)系可判斷錯(cuò)誤；【詳解】對(duì)于①，因?yàn)槠矫?，所以，，，又，所以平面，所以，故四個(gè)面都是直角三角形，∴①正確；對(duì)于②，若，，，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長(zhǎng)為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，∴②正確；對(duì)于③，設(shè)內(nèi)心是，則平面，連接，則有，又內(nèi)切圓半徑，所以，，故，∴三棱錐的體積為，∴③正確；對(duì)于④，∵若，平面，則直線與平面所成的角最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，在中，，∴，即直線與平面所成的最大角為，∴④不正確，故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何基本關(guān)系的應(yīng)用，線面垂直的性質(zhì)及判定、錐體體積、外接球半徑求解，線面角的求解，屬于中檔題15．【解析】

由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求出弦長(zhǎng)，利用定義可得，進(jìn)而求出?！驹斀狻坑芍?，焦點(diǎn)，所以直線：，代入得，即，設(shè)，，故由定義有，，所以。【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求法，注意直線過焦點(diǎn)，位置特殊，采取合適的弦長(zhǎng)公式，簡(jiǎn)化運(yùn)算。16．7【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域，數(shù)形結(jié)合，即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖陰影部分所示.觀察可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，有最大值，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃，主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由橢圓的定義可得，周長(zhǎng)取最大值時(shí)，線段過點(diǎn)，可求出，從而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）設(shè)直線，直線，，，，.把直線與直線的方程分別代入橢圓的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出和，根據(jù)求出的值.最后直線與直線的方程聯(lián)立，求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)的周長(zhǎng)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)線段過點(diǎn)時(shí)“”成立.，，又，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（Ⅱ）若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點(diǎn)矛盾，所以直線的斜率存在.設(shè)，，，，，.將直線的方程代入橢圓方程得：.，,.同理，.由得，此時(shí).直線，聯(lián)立直線與直線的方程得，即點(diǎn)在定直線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于難題.18．（1）x22+y2【解析】

（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到a2，b2；（2）聯(lián)立直線和橢圓，利用弦長(zhǎng)公式可求得弦長(zhǎng)AB，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)到直線l的距離，從而可求得三角形面積，再用單調(diào)性求最值可得值域．【詳解】（1）因?yàn)閮山裹c(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，所以a=2又由右準(zhǔn)線方程為x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，橢圓C的方程為x2（2）①設(shè)B(x1,y1∵ON=6因?yàn)辄c(diǎn)B,N都在橢圓上，所以x122+y12所以O(shè)B=x②由原點(diǎn)O到直線l的距離為1，得|m|1+k2聯(lián)立直線l的方程與橢圓C的方程：y=kx+mx2設(shè)A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面積S==1因?yàn)镾=2λ(1-λ)在[并且當(dāng)λ=45時(shí)，S=225所以△OAB的面積S的范圍為[10【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：(1)幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；(2)代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時(shí)常從以下幾個(gè)方面考慮：①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．19．（1）有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．見解析（2）分布列見解析，期望為1．【解析】

（1）由在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為可得列聯(lián)表，然后計(jì)算后可得結(jié)論；（2）由已知的取值分別為，分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望．【詳解】解：（1）根據(jù)在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為，可得分類意識(shí)強(qiáng)的有戶，故可得列聯(lián)表如下：分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)因?yàn)榈挠^測(cè)值，所以有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系．（2）現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，選出戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，則0，1，2，3，故，，，，則的分布列為．【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力．20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）取的中點(diǎn)，證明,則平面平面，則可證平面.（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解：（1）如圖：取的中點(diǎn)，連接、.在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，平面平面,故平面在直角梯形中，，且，∴四邊形是平行四邊形，，同理平面又,故平面平面，又平面平面.（2）是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn)，又∵平面平面，平面平面平面，可得是三棱錐的高線.在直角梯形中，.設(shè)到平