教材存在的問題的反饋

北師大版高中數(shù)學教材

使用中的一些問題的思考——北師大版高中數(shù)學教材編寫組一.順序問題1.順序問題

從歷史和現(xiàn)狀來看,數(shù)學知識的起源有著諸多不同的背景,通常彼此無關.但一旦進入數(shù)學領域,這些知識就會交融在一起,使得數(shù)學學科成為一個有機的整體.教材的內容結構把整個數(shù)學納入一個完整的公理體系,是不可能實現(xiàn)的(哥德爾不完全定理).而對數(shù)學中各學科體系的安排,其邏輯順序是有很大的任意性的,不同的學者會有不同的安排.例如,著名分析學家R.柯朗在《微積分與數(shù)學分析引論》中,先講授定積分,后講授導數(shù)、微分.著名幾何學家F.克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學》中主張先講對數(shù),后講指數(shù).事實上,到底按何種順序講授數(shù)學,從來就沒有統(tǒng)一的意見.更談不上最好、最優(yōu)的順序.只要在邏輯上不出現(xiàn)問題,教學順序有很大的任意性.教師們通常是根據自己學生的具體情況,以及自己的對數(shù)學內容的理解來處理的.看一看我國著名大學數(shù)學系教師編寫的數(shù)學教材,即使是基礎課的教材——數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何——幾乎沒有兩種同類教材是順序完全相同的.更何況研究生所用的國內外的教材.過去,我國只有一套高中數(shù)學教材,因此,只展現(xiàn)一種教學順序.這是不正常的.《新課標》實施后,允許教師采用不同的教學順序來處理教材.這無疑是一個進步.目前,在我國各地已出現(xiàn)了不同的教學順序.有的老師還有所創(chuàng)新,這是很可喜的現(xiàn)象.現(xiàn)在教師們會思考：如果讓我來安排高中三年的數(shù)學課程,我會以一個什么順序來設置.這對教師整體考慮中學數(shù)學內容和其中的相互關系有著極大的好處.有利于教師業(yè)務水平的提高,有利于教師的成長.我們認為任何一種教學順序都有利有弊.不存在最好的順序.理想的狀況是,教師應該根據你所教的學生的具體情況,結合自己的特點,給出最符合自己的教學順序.教師開始思考整個高中數(shù)學內容的順序安排,這種可喜的現(xiàn)象是這次課程改革的成果之一.2教學順序改變引起的一些思考當教學順序有所改變后,教師自然會考慮某些內容的引進和如何講授的問題.舉一個例子.如沒有講授任意角的三角函數(shù),能講直線的斜率嗎？換句話說,除了我們過去學過的辦法,數(shù)學上能有別的方法嗎？這個問題將迫使我們思考斜率的本質、它在表示直線時的作用.學會這樣的思考我們講授的數(shù)學內容(而不是僅僅教授書本上的知識),對老師的業(yè)務成長有很大的好處.又例如,一元二次不等式,一元二次函數(shù)緊密相關,通常也有兩種講法.一種處理方法是：和一元二次函數(shù)放在一起講.另一種處理辦法是：突出不等式的性質,把它作為不等式的一部分內容來講授.兩種講法各有特點.考慮到各模塊的內容、學時等原因,《課標》采用的是后一種方法.至于個別老師把一元二次不等式和集合放在一起講,就不合適了.因為二者討論的完全是不同的問題.二.對于新增內容的處理方式1.二分法的意義和價值《普通高中數(shù)學課程標準》中明確了這樣的理念：高中數(shù)學課程應提供基本內容的實際背景,反映數(shù)學的應用價值,開展“數(shù)學建模”的學習活動,設立體現(xiàn)數(shù)學某些重要應用的專題課程.高中數(shù)學課程應力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系,促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識,提高實踐能力.《必修一》中單獨設立了“函數(shù)應用”一章,力圖在理念、意義、方法和能力上為高中階段的進一步學習奠定基礎.從兩個方面展開函數(shù)應用,突出用數(shù)學解決問題.教材里呈現(xiàn)的函數(shù)應用有兩個方面,一是函數(shù)與其他數(shù)學知識的有機聯(lián)系,這里集中研究的是從函數(shù)特征判定方程實數(shù)解的存在性及近似求方程解；二是函數(shù)與實際問題的聯(lián)系,用函數(shù)解決實際問題.全章內容分三個層次逐漸展開.首先是函數(shù)用于方程是求解,然后是實際問題中的函數(shù)應用,最后是數(shù)學建模.二分法的教學目的：①幫助我們思考,是否能通過函數(shù)的性質求解方程；②它引入了“近似”的概念,在實際中,離不開近似,近似孕育著極限的思想,它可以達到我們要求的任何精度.2.立體幾何的變動與以往高中數(shù)學課程中的立體幾何內容相比,《標準》中立體幾何內容的變化主要表現(xiàn)在幾何定位的變化,幾何內容處理方式的變化以及幾何內容的分層設計等方面.改變以往一直以綜合幾何作為主要教學模式的狀況,在課程設計中滲透了實驗幾何與現(xiàn)代幾何的內容與方法.①幾何定位：《標準》中立體幾何定位于培養(yǎng)和發(fā)展學生把握圖形的能力、空間想象與幾何直覺的能力、邏輯推理能力等.②內容處理方式：《標準》按照從整體到局部的方式展開幾何內容,并突出直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等探索研究幾何的過程.特別重視長方體這一模型的應用,通過長方體讓學生在直觀感知的基礎上認識空間中一般點、線、面之間的關系.③立體幾何內容分層設計：在必修課程中,主要是通過直觀感知、操作確認,獲得幾何圖形的性質,并通過簡單的推理發(fā)現(xiàn)、論證一些幾何性質.對于進一步的論證與度量則放在選修系列2中用向量處理.④研究空間圖形的基本位置關系,不是按主體分類（如線與面是一對主體）,而是按位置關系分類,即平行、垂直,突出了研究學習的主題。3.函數(shù)性質的處理課標指出:通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調性、最大(小)值及其幾何意義；結合具體函數(shù),了解奇偶性的含義.反函數(shù)的處理,只要求以具體函數(shù)為例進行解釋和直觀理解,例如,可通過比較同底的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù),說明指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1).不要求一般地討論形式化的反函數(shù)定義,也不要求求已知函數(shù)的反函數(shù).教材處理:突出函數(shù)的單調性和周期性,奇偶性也是我們在中學的要研究的函數(shù)性質,但它不是最基本的性質.因而沒有把奇偶性專門列出一節(jié),而是把它和冪函數(shù)放在了一起.4.依據課標要求,把握教學的深度例如:①將集合作為一種語言來學習;②對于“函數(shù)”這一高中數(shù)學的核心概念,應該做到：使學生了解生活中處處都存在函數(shù)關系,親自經歷構建函數(shù)模型的過程,體會函數(shù)模型的廣泛應用.幫助學生在頭腦中“留住一批函數(shù)”的模型.突出重點,淡化枝微末節(jié).③三角函數(shù),使學生體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型.課標只要求：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.在三角函數(shù)的教學中,突出單位圓的作用.利用單位圓,從幾何上,來看三角函數(shù)的性質,如函數(shù)的定義域、值域、周期性、函數(shù)的正負、單調區(qū)間、最大(小)值等等.重視單位圓和函數(shù)的圖像.淡化三角函數(shù)線的作用.④在導數(shù)內容中,突出對平均變化率到瞬時變化率的過渡.在計算時,教材先將平均變化率化簡,使其不出現(xiàn)零比零的形式.避免不必要的困難.⑤在計數(shù)原理中,突出兩個基本的計數(shù)原理,重視數(shù)學模型的作用.而不是硬套排列、組合公式.在二項式定理和組合公式的證明中,突出其思想,而不是形式地驗證.⑥螺旋式上升與一步到位對單調性認識、空間線面位置關系、概率等知識及坐標方