教案-假設(shè)檢驗(yàn)

應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)重慶大學(xué)數(shù)統(tǒng)學(xué)院李寒宇hyli@24078395113594230969《假設(shè)檢驗(yàn)》主要內(nèi)容一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念二、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)三、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)四、應(yīng)用案例假設(shè)檢驗(yàn)的應(yīng)用女生——瑜伽！男生？喝酒？！你想談戀愛(ài)嗎？你想和自己心儀的人在一起嗎？健美戀愛(ài)我和你性格不和！我和你沒(méi)猿糞！一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本概念1、基本概念：假設(shè)檢驗(yàn)（hypothesistesting）是統(tǒng)計(jì)推斷的一個(gè)重要組成部分，是一種利用樣本信息對(duì)總體的某種假設(shè)進(jìn)行判斷的方法。它分為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)與非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)總體分布中未知參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)(parameterhypothesistesting)，對(duì)總體分布函數(shù)形式或總體分布性質(zhì)的假設(shè)檢驗(yàn)稱為非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)(non-parametericalhypothesistesting)2、假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程及檢驗(yàn)問(wèn)題：2、假設(shè)檢驗(yàn)過(guò)程及檢驗(yàn)問(wèn)題：例1．某糖廠用自動(dòng)打包機(jī)包裝糖，每包重量為X,且X～N(100,0.05

)

，某日開(kāi)工后隨機(jī)檢測(cè)9包重量（單位：kg）如下：

99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，

99.7，99.5，102.1，100.5

問(wèn)這一天打包機(jī)工作是否正常？即每包平均重量是否為100kg？解：因工藝條件沒(méi)有變化，故可認(rèn)為當(dāng)天每包糖重量X～N(μ,0.05

)

，即判斷：μ是否等于μ0＝100，先假設(shè)：μ＝μ0

，并記為：H0:μ＝μ0

，稱為原假設(shè)；當(dāng)原假設(shè)H0不成立時(shí)，即：μ≠μ0

記：H1:μ≠μ0

，稱為備擇假設(shè)；即:(1)首先提出原假設(shè)和備擇假設(shè)：

H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

即:(2)尋找某個(gè)數(shù)c，當(dāng)時(shí)就拒絕H0

，否則就認(rèn)為H0成立。又因：是μ的一致最小方差無(wú)偏估計(jì)量，則：

應(yīng)很小，故當(dāng)H0成立時(shí)，也應(yīng)很小，否則認(rèn)為H0不成立。

稱c為臨界值，稱為拒絕域。假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤真實(shí)情況H0成立H0不成立假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果認(rèn)為H0不成立，拒絕H0犯第Ⅰ類錯(cuò)誤(棄真錯(cuò)誤)判斷正確認(rèn)為H0成立，接受H0判斷正確犯第Ⅱ類錯(cuò)誤(納偽錯(cuò)誤)記：

則：

所以：故H0的拒絕域?yàn)椋横槍?duì)本題，因：故：即：樣本不在拒絕域中，故不能拒絕H0，認(rèn)為H0成立。故認(rèn)為：3、假設(shè)檢驗(yàn)的基本步驟：1）提出原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1

；2）分析并提出原假設(shè)H0的拒絕（否定）域的形式K0；3）確定拒絕域K0

；4）作出是否拒絕H0的判斷。二、參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)1、單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)：設(shè)X1,…,Xn是來(lái)自總體X～N(μ,σ2)的樣本.1)μ的假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于μ的各種統(tǒng)計(jì)假設(shè)形式：①H0:μ＝μ0

；H1:μ≠μ0

；②H0:μ≤μ0

；H1:μ＞μ0

；③H0:μ≥μ0

；H1:μ＜μ0

；對(duì)形式①：選擇拒絕域形式為：則令：當(dāng)σ2已知時(shí)，臨界值為：當(dāng)σ2未知時(shí)，在H0成立下：臨界值為：對(duì)形式②：選擇拒絕域形式為：當(dāng)σ2已知時(shí)，臨界值為：當(dāng)σ2未知時(shí)，臨界值為：對(duì)形式③：選擇拒絕域形式為：當(dāng)σ2已知時(shí)，臨界值為：當(dāng)σ2未知時(shí)，臨界值為：例1、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(4.55,0.1082)?，F(xiàn)在測(cè)試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果方差沒(méi)有改變，問(wèn)總體的均值有無(wú)顯著變化？（α=0.05）解：1）提出假設(shè)：

H0:μ＝μ0(=4.55)；H1:μ≠μ0

；2）分析拒絕域形式為：3）計(jì)算：μ0=4.55u0.975＝1.96σ＝0.108即樣本值在拒絕域內(nèi)。4）判斷：拒絕H0，即認(rèn)為鐵水含碳量有顯著變化。例2、一種電子元件，要求其壽命不得低于1000h?，F(xiàn)抽測(cè)25件，得其均值為，S

2＝100,已知該種元件壽命X～N(μ,σ2),問(wèn)這批元件是否合格(α=0.05)？解：1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

H0:μ＜μ0(=1000)；H1:μ≥μ0

；2）因σ2未知,提出拒絕域形式為：3）計(jì)算：4）判斷：接受H0，認(rèn)為產(chǎn)品不合格。2)σ2的假設(shè)檢驗(yàn)（μ未知）關(guān)于σ2的各種統(tǒng)計(jì)假設(shè)形式：①H0:σ2＝σ02

；H1:σ2≠σ02

；②H0:σ2≤σ02

；H1:σ2＞

σ02；③H0:σ2≥σ02

；H1:σ2＜σ02

；拒絕域：拒絕域：拒絕域：①因：S

2是總體參數(shù)σ2的無(wú)偏估計(jì)量，故存在臨界值c1＜c2，有:

故:在H0成立時(shí)其拒絕域?yàn)椋河忠颍涸贖0成立時(shí)：令：故：例3、正常情況下，某煉鐵爐的鐵水含碳量X～N(μ,0.1082)。現(xiàn)在測(cè)試了5爐鐵水，其含碳量分別為：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37。如果總體均值沒(méi)有改變，問(wèn)總體方差有無(wú)顯著變化？（α=0.05）解：1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：2）提出拒絕域形式：3）計(jì)算：4）判斷：接受H0，總體方差無(wú)顯著變化。H0:σ2＝σ02(=0.1082);H1:σ2≠σ02;例4、已知某廠生產(chǎn)的維尼綸纖度X～N(μ,0.0482),某日抽測(cè)8根纖維，其纖度分別為1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,1.50,1.44,1.39，問(wèn)這天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否明顯變大了(α=0.05)？解：1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：2）提出拒絕域形式：3）計(jì)算：4）判斷：拒絕H0，總體方差明顯變大。H0:σ2≤σ02(=0.0482);H1:σ2＞σ02;2、兩個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)總體,(X1,…,Xn)是X

的樣本，總體,(Y1,…,Yn)是Y的樣本。1）對(duì)兩總體均值的檢驗(yàn)關(guān)于μ1,μ2關(guān)系的各種統(tǒng)計(jì)假設(shè)形式及拒絕域如下表所示：其中：2）對(duì)兩總體方差的檢驗(yàn)例5、從甲、乙兩煤礦各取若干個(gè)樣品，得其含灰率（%）為：甲：24.3，20.8，23.7，21.3，17.4，乙：18.2，16.9，20.2，16.7假定含灰率均服從正態(tài)分布且σ12=σ22

。問(wèn)甲,乙兩煤礦含灰率有無(wú)顯著差異(α=0.05)？解：提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域：計(jì)算得：有：即樣本不在拒絕域內(nèi)，接受H0，故：含灰率無(wú)顯著差異。例6、在漂白工藝中，要考察溫度對(duì)某種針織品斷裂強(qiáng)力的影響，在70oC與80oC下分別重復(fù)了8次試驗(yàn)，測(cè)得斷裂強(qiáng)力數(shù)據(jù)如下所示：70oC20.518.519.520.921.519.521.021.280oC17.720.320.018.819.0問(wèn)：在這兩種溫度下，斷裂強(qiáng)力有無(wú)顯著差異？(α=0.05)假定斷裂強(qiáng)力服從正態(tài)分布.解：m=n=8,1)首先對(duì)兩總體的方差進(jìn)行齊性檢驗(yàn)：

提出假設(shè)：

H0:σ12＝σ22；

H1:σ12≠σ22;拒絕域形式：又計(jì)算得：即：0.2638<F

=1.32<3.79接受H0，認(rèn)為兩個(gè)正態(tài)總體的方差相等。2）提出假設(shè)：

H0:μ1＝μ2;H1:μ1≠μ2拒絕域?yàn)椋河?jì)算得：即：拒絕H0，認(rèn)為斷裂強(qiáng)力有顯著差異.瑜伽＝喝酒？三個(gè)月瑜伽三兩白酒一年瑜伽一瓶白酒兩年瑜伽兩瓶白酒五年瑜伽五瓶白酒你和TA有緣分嗎？你某年進(jìn)入重慶大學(xué)TA某年進(jìn)入重慶大學(xué)就讀某個(gè)專業(yè)就讀某個(gè)專業(yè)選修了數(shù)理統(tǒng)計(jì)選修了數(shù)理統(tǒng)計(jì)什么？還性格不合？青春年華風(fēng)華正茂三、非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)1、總體分布函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)提出假設(shè)：

H0:F

(x)＝F0(x);H1:F(x)≠F0(x);拒絕域：

其中：

或者：

F0(x)已知;

F0(x)未知;

r為未知參數(shù)的個(gè)數(shù)。

例7、從某高校99級(jí)本科生中隨機(jī)抽取了60名學(xué)生，其英語(yǔ)結(jié)業(yè)考試成績(jī)見(jiàn)下表：試問(wèn)99級(jí)本科生的英語(yǔ)結(jié)業(yè)成績(jī)是否符合正態(tài)分布？（α=0.10）937583939185848277767795948991888683968179977875676968838481756685709484838280787473767086769089716686738094797877635355解：設(shè)X

表示99級(jí)任意一位本科生的英語(yǔ)結(jié)業(yè)成績(jī)，分布函數(shù)為F(x)，1)提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)為：2)拒絕域?yàn)椋?)將X

的取值劃分為：4)在H0成立的條件下，計(jì)算參數(shù)μ,σ2的極大似然估計(jì)值。

通過(guò)計(jì)算得：5)又因：在H0成立的條件下，Ai

(i=1,2,3,4)的概率理論估計(jì)值為：樣本值計(jì)算表Aivi1{X＜70}80.14928.9520.10122{70≤X＜80}200.350821.0480.05223{80≤X＜90}210.350821.0480.00014{90≤X}110.14928.9520.4685∑601.0000600.62206)故：接受H0，認(rèn)為英語(yǔ)結(jié)業(yè)成績(jī)符合正態(tài)分布。例8(離散型)：按測(cè)量?jī)x器的分度讀數(shù)時(shí),通常需要大致估計(jì)讀數(shù)的最后數(shù)字,理論上最后這個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任何一個(gè)，并且每個(gè)數(shù)字的出現(xiàn)是等可能的，下表中列出200次讀數(shù)的最后數(shù)字的統(tǒng)計(jì)分布。試檢驗(yàn)這些數(shù)字是否服從均勻分布？(α=0.05)數(shù)字統(tǒng)計(jì)表數(shù)字xi012345頻數(shù)vi351615171730數(shù)字xi6789頻數(shù)vi11161924解：用X表示讀出的最后數(shù)字，P{X＝i}＝pi,i＝0,1,…,9，如果數(shù)字是服從均勻分布，則pi＝1/10，i＝0,1,…,9。故假設(shè)檢驗(yàn)為：H0:pi＝1/10計(jì)算χ2統(tǒng)計(jì)量的觀察值，得：查表得<χ2=24.9故拒絕H0，認(rèn)為最后的讀數(shù)不均勻。拒絕域：

提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：

H0:X

與Y

獨(dú)立;H1:X

與Y

不獨(dú)立2、獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)在χ2檢驗(yàn)法中，上述統(tǒng)計(jì)假設(shè)可轉(zhuǎn)化為：拒絕域：其中：r

×s列聯(lián)表XYvi.b1b2…bsa1v11v12…v1