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文檔簡介
數(shù)學(xué)分析2-3數(shù)列極限存在的條件§2.3數(shù)列極限存在的條件一數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件
——單調(diào)有界原理
二數(shù)列收斂的充要條件
——Cauchy收斂準(zhǔn)則三關(guān)于極限
四數(shù)列單調(diào)有界證法欣賞
一單調(diào)有界原理定義稱為單調(diào)上升的,若稱為單調(diào)下降的,若
單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列
提問:
收斂的數(shù)列是否一定有界?
有界的數(shù)列是否一定收斂?M定理1(單調(diào)有界定理)
單調(diào)有界數(shù)列必有極限
定理1的幾何解釋x1
x5
x4
x3
x2
xn
A
以單調(diào)增加數(shù)列為例
數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動
或者無限向右移動
或者無限趨近于某一定點(diǎn)A
而對有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生
數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件定理1(單調(diào)有界定理)
單調(diào)有界數(shù)列必有極限
證明
例1設(shè)證明數(shù)列{}收斂.例2
例3
(n重根號),···證明數(shù)列單調(diào)有界,并求極限.求
(計(jì)算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到對有有↘···,例4
1)證明序列的極限存在;2)求極限解
1)因時(shí)有所以即有故序列下降。因此序列極限存在,記極限值為c。于是這表明序列有下界。又或2)因所以又即得證(舍去)二數(shù)列收斂的充要條件——Cauchy收斂準(zhǔn)則1Cauchy列:
如果數(shù)列具有以下特性:>><則稱數(shù)列是一個(gè)基本數(shù)列.(Cauchy列)2Cauchy收斂準(zhǔn)則:定理數(shù)列
收斂的充要條件是:是一個(gè)基本數(shù)列.數(shù)列收斂或數(shù)列極限存在的條件定理的幾何解釋
柯西準(zhǔn)則說明收斂數(shù)列各項(xiàng)的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或形象地說,收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是擠在一起.x1
x2
x3
x4
x5
例5證明:任一無限十進(jìn)小數(shù)
的不足近似值所組成的數(shù)列收斂.其中
是中的數(shù).
證令有
……三
關(guān)于極限
(證明留在下段進(jìn)行.)例8例9例10四數(shù)列
證法一單調(diào)有界證法欣賞:
Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限,Riemann(1826—1866)最先給出以下證法一.設(shè)用二項(xiàng)式展開,得注意到
且比多一項(xiàng)
即↗.有界.綜上,數(shù)列{}單調(diào)有界.評註:該證法樸素而穩(wěn)健.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數(shù)),有+小結(jié)
(1)單調(diào)有界定理;
(2)單調(diào)有界定理的幾何意義;
(3)
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