數(shù)學(xué)精神與方法第六講

數(shù)學(xué)精神與方法第六講運(yùn)算與迭代的威力（二）§3.2

經(jīng)典數(shù)學(xué)的統(tǒng)一

——“數(shù)形合一”（續(xù)）上一節(jié)我們已看到怎樣從ZFC系統(tǒng)制定出自然數(shù)系，整數(shù)系，直至有理數(shù)系。本節(jié)將帶領(lǐng)大家看一看：怎樣由有理數(shù)系制定出實(shí)數(shù)系？怎樣理解實(shí)數(shù)系與直線的統(tǒng)一？怎樣理解數(shù)與形的統(tǒng)一？無(wú)理量的存在性思考題：證明上述命題。“完備化”觀念

無(wú)理數(shù)的存在說(shuō)明有理數(shù)系并不像畢達(dá)哥拉斯想象的那么“完備”，有理數(shù)系還有必要作進(jìn)一步的擴(kuò)充?？墒?，“完備”究竟意味什么意思呢？簡(jiǎn)單地說(shuō)，這里的“完備”是數(shù)學(xué)家渴望達(dá)到的一種境界——“數(shù)與形統(tǒng)一”。讓我們自然地設(shè)想一下：在一條連綿不斷的直線上，選定一個(gè)原點(diǎn)和一個(gè)序向，并選定單位長(zhǎng)度，那么可以將有理數(shù)0對(duì)應(yīng)于直線上的原點(diǎn)，將數(shù)目1對(duì)應(yīng)于直線上沿序向離原點(diǎn)有一個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)，將數(shù)目2對(duì)應(yīng)于沿序向離原點(diǎn)有二個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)，等等——凡是有理數(shù)都唯一地對(duì)應(yīng)于直線上一點(diǎn)，這一點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離與單位長(zhǎng)度是可公度的，并且不同的有理數(shù)對(duì)應(yīng)于直線上不同的點(diǎn)——這樣就實(shí)現(xiàn)了從有理數(shù)系Q到直線上某個(gè)稠密子集間的一個(gè)保序雙射。可是，這條連綿不斷的直線上終歸本性地存在著不能被任何有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這一現(xiàn)象正是有理數(shù)系Q“不完備”

的表象。透過(guò)Q的這種“不完備”

表象，可以體會(huì)“完備”的意味——“完備”是“數(shù)與直線（形）統(tǒng)一”的想法?！巴陚洹?“數(shù)與直線（形）統(tǒng)一”分析數(shù)學(xué)的基本問(wèn)題

怎樣將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系，從而達(dá)成“數(shù)與直線的統(tǒng)一”呢？這事實(shí)上是事關(guān)“分析數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)的一個(gè)大問(wèn)題。

牛頓和萊布尼茲在17世紀(jì)發(fā)明的微積分理論，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”，開(kāi)啟了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。然而，牛頓和萊布尼茲的微積分是不嚴(yán)格的，特別在使用無(wú)窮小概念上是隨意和混亂的。這種狀況長(zhǎng)期困擾著數(shù)學(xué)家們，長(zhǎng)達(dá)200年之久。數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)幾代人的不懈努力才搞清楚，徹底消除微積分理論的漏洞，靠的是有理數(shù)系的“完備化”思想，即將有理數(shù)系擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系——實(shí)數(shù)系——的理論。牛頓（IsaacNewton,1642—1727)，最偉大的科學(xué)家之一。《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》于1687年出版。萊布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646—1716），德國(guó)數(shù)學(xué)家，微積分的創(chuàng)立者。牛頓與萊布尼茨牛頓和萊布尼茨都是他們所處時(shí)代的科學(xué)巨人，他們?cè)谙嗷オ?dú)立的情況下各自創(chuàng)立了微積分。就發(fā)明時(shí)間而言，牛頓早于萊布尼茨；就發(fā)表時(shí)間而言，萊布尼茨先于牛頓。微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論被認(rèn)為是“科學(xué)史上最不幸的一章”。由此產(chǎn)生的嚴(yán)重影響是，整個(gè)18世紀(jì)英國(guó)與歐陸國(guó)家在數(shù)學(xué)發(fā)展上分道揚(yáng)鑣。雖然牛頓在微積分應(yīng)用方面的輝煌成就極大地促進(jìn)了科學(xué)的進(jìn)步，但由于英國(guó)數(shù)學(xué)家固守牛頓的傳統(tǒng)而使自己逐漸遠(yuǎn)離了分析的主流。分析的進(jìn)步，在18世紀(jì)，主要是由歐陸國(guó)家的數(shù)學(xué)家在發(fā)展萊布尼茨微積分方法的基礎(chǔ)上而取得的。英雄世紀(jì)微積分誕生之后，數(shù)學(xué)迎來(lái)一次空前繁榮的時(shí)期。18世紀(jì)被稱為數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)。這個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)家們?cè)趲缀鯖](méi)有邏輯支持的前提下，勇于開(kāi)拓并征服了廣泛的科學(xué)領(lǐng)域。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家知道他們的微積分概念是不清楚的，證明也不充分，但他們卻自信他們的結(jié)果是正確的。在微積分的發(fā)展過(guò)程中，一方面是成果豐碩，另一方面是基礎(chǔ)的不穩(wěn)固；這使得在微積分的研究和應(yīng)用中出現(xiàn)了越來(lái)越多的謬論和悖論。數(shù)學(xué)的發(fā)展又遇到了深刻的令人不安的危機(jī)。由微積分的基礎(chǔ)所引發(fā)的危機(jī)在數(shù)學(xué)史上稱為第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。因此在18世紀(jì)結(jié)束時(shí)，微積分和建立在其上的其他分析分支，在邏輯上，處于一種混亂的狀態(tài)之中。歷史要求給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ)。微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)微積分理論和應(yīng)用經(jīng)過(guò)整個(gè)18世紀(jì)的空前展開(kāi)和長(zhǎng)期發(fā)展，在說(shuō)明這一理論極其有效的同時(shí)，也使得它的邏輯基礎(chǔ)備受數(shù)學(xué)家們的關(guān)注，數(shù)學(xué)界再也不能無(wú)視微積分建立在一個(gè)“隨意的和混亂的”無(wú)窮小概念之上。進(jìn)入19世紀(jì)，分析基礎(chǔ)嚴(yán)格化的時(shí)代到來(lái)了。法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西首先向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步，他的許多定義和論述已經(jīng)相當(dāng)接近微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂，但他的理論還只能說(shuō)是“比較嚴(yán)格”，人們不久就發(fā)現(xiàn)他的理論也存在漏洞。例如，他用了許多“無(wú)限趨近”、“想要多小就多小”等直觀描述的語(yǔ)言。事實(shí)上，要真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)是必須充分理解實(shí)數(shù)系的完備性才能辦得到的?？墒?，直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于什么是實(shí)數(shù)竟沒(méi)有嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家對(duì)實(shí)數(shù)系的理解僅停留在數(shù)軸這種直觀的感覺(jué)上，他們相當(dāng)隨便地使用無(wú)理數(shù)而沒(méi)有考察它們的確切意義和性質(zhì)?？挛鲗?duì)“無(wú)理數(shù)”是什么的問(wèn)題作了一個(gè)表面的回答：無(wú)理數(shù)是有理數(shù)序列的極限?！@里產(chǎn)生了“邏輯循環(huán)”的毛病。

柯西（AugustinLouisCauchy,1789---1857），法國(guó)數(shù)學(xué)家。他對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法，使微積分?jǐn)[脫了對(duì)于幾何與運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，從而形成微積分的現(xiàn)代體系?！胺治鏊阈g(shù)化”綱領(lǐng)對(duì)于實(shí)數(shù)缺乏認(rèn)識(shí)，不僅造成邏輯上的間斷，而且導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果時(shí)常出現(xiàn)，同時(shí)使人無(wú)法明辨錯(cuò)誤出在哪里。19世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)家們開(kāi)展了一場(chǎng)數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)，其目的就是要把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)上。這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的主帥是德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯，他關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)。魏氏的嚴(yán)格化突出表現(xiàn)在，他創(chuàng)造了一套ε-δ語(yǔ)言，用于重建分析體系。他用這套嚴(yán)格語(yǔ)言去代替前人的“無(wú)限地趨近”等說(shuō)法而重新定義了極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等分析學(xué)的基本概念，特別是引進(jìn)了以往被忽視的“一致收斂性”概念，從而消除了微積分中不斷出現(xiàn)的各種混亂和異議。可以說(shuō)，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸功于魏氏的工作。魏爾斯特拉斯認(rèn)為，實(shí)數(shù)賦予我們極限、連續(xù)等基本概念，因而成為整個(gè)分析的邏輯本源。要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化。為此，最可靠的辦法是，按照嚴(yán)密的邏輯將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)（有理數(shù)）。這樣，分析的所有概念便可以由整數(shù)導(dǎo)出，以往的漏洞和缺陷就能得以彌補(bǔ)。這就是魏氏的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。1857年，魏爾斯特拉斯在解析函數(shù)論課程里向他的學(xué)生講授了歷史上第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義。

外爾斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass,1815---1897），德國(guó)數(shù)學(xué)家。他的主要貢獻(xiàn)在函數(shù)論和分析方面。他發(fā)現(xiàn)了函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，借助級(jí)數(shù)構(gòu)造了復(fù)變函數(shù)論，開(kāi)始了分析的算術(shù)化過(guò)程。他給出的處處連續(xù)處處不可微的函數(shù)震動(dòng)了數(shù)學(xué)界。在代數(shù)方面，他第一個(gè)給出了行列式的嚴(yán)格定義。他被譽(yù)為“現(xiàn)代分析之父”。實(shí)數(shù)的“戴德金分割”理論鑒于各種實(shí)數(shù)理論本質(zhì)上是一回事，我們只簡(jiǎn)介戴德金的實(shí)數(shù)定義方案。如上所見(jiàn)，戴德金定義實(shí)數(shù)的方法以有理數(shù)系的分割為基礎(chǔ)。數(shù)與構(gòu)造數(shù)的方法達(dá)成了統(tǒng)一！實(shí)數(shù)系的完備性實(shí)數(shù)系的完備性究竟是什么意思呢？這需從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系說(shuō)起。

戴德金完備性定理

現(xiàn)在建立起來(lái)的全序集（R,≦）本質(zhì)上已具有將有理數(shù)系Q擴(kuò)充成一個(gè)完備的有序數(shù)系的功能。這里需說(shuō)明（R,≦）具有完備性是什么意思，然后再將Q上的加法和乘法運(yùn)算擴(kuò)充到R上（擴(kuò)充到R上的加法和乘法運(yùn)算是唯一確定的）。這樣，（R,≦，+，-）就構(gòu)成了我們理想中的完備有序數(shù)系——即我們精神世界中的理想直線。（R,≦）的完備性是什么意思呢？（R,≦）的完備性表達(dá)出直線的“連通性”，而在（R,≦）上定義算術(shù)四則運(yùn)算則可以表達(dá)出直線的“直性”——這里我們不打算陷入定義實(shí)數(shù)之算術(shù)運(yùn)算的細(xì)節(jié)中。那么直線又是什么呢？歐幾里得下定義說(shuō)：“線只有長(zhǎng)度沒(méi)有寬度”；這只是不能使用的“假定義”而已。希爾伯特提出：將“直線”作為無(wú)定義的原始概念處理。注意：

戴德金（Dedekind,J.W.Richard，1831-1916），德國(guó)數(shù)學(xué)家，他因提出了把每個(gè)實(shí)數(shù)都定義成是有理數(shù)集的一個(gè)“戴德金分割”的理論，而成為現(xiàn)代實(shí)數(shù)理論的奠基人?！白匀粩?shù)是萬(wàn)物之母”的復(fù)生現(xiàn)在想來(lái)，“直線”只是一個(gè)不能加以定義的幾何對(duì)象——盡管它在我們心中的影像是那么地確定無(wú)疑——與其讓它這般地亦真亦幻，不如將它就“等同”于實(shí)數(shù)系（R，≦，+，-）好了。這種“等同”實(shí)現(xiàn)了“數(shù)與直線的統(tǒng)一”。進(jìn)一步，利用笛卡爾的坐標(biāo)幾何的思想就可以實(shí)現(xiàn)“數(shù)與形的統(tǒng)一”。笛卡爾（Rene.Descartes,1596-1650），法國(guó)哲學(xué)家兼數(shù)學(xué)家，解析幾何的發(fā)明者。他試圖在一個(gè)毋庸置疑的基礎(chǔ)上重建知識(shí)體系，他選擇