晶體的對(duì)稱性

第四節(jié)晶體的對(duì)稱性對(duì)晶體施加某種幾何操作后，晶體可以完全復(fù)原的性質(zhì)，稱為晶體的對(duì)稱性，這種幾何操作為對(duì)稱操作。在晶體對(duì)稱操作過程中，若至少有一點(diǎn)保持不變，這種對(duì)稱操作稱為點(diǎn)對(duì)稱操作，晶體的這種對(duì)稱性稱為點(diǎn)對(duì)稱性或宏觀對(duì)稱性。本節(jié)主要內(nèi)容:一、群的基本概念二、對(duì)稱性與對(duì)稱操作三、晶系和布拉菲原胞一、群的基本概念群是一組元素的集合，即這些元素必須滿足如下條件：(1)群的封閉性：集合中任意兩個(gè)元素的“乘積”仍為集合內(nèi)的元素，即：(2)存在單位元素E，使得所有元素滿足：(3)對(duì)于任意元素A，存在逆元素A-1,有(4)元素間的“乘法運(yùn)算”滿足結(jié)合律，即二、對(duì)稱性與對(duì)稱操作對(duì)稱性：經(jīng)過某種動(dòng)作后，晶體能夠自身重合的特性。對(duì)稱操作：使晶體自身重合的動(dòng)作。對(duì)稱素：對(duì)稱操作所依賴的幾何要素。1.對(duì)稱操作與線性變換經(jīng)過某一對(duì)稱操作，把晶體中任一點(diǎn)變?yōu)榭梢杂镁€性變換來(lái)表示。Ox1x3x2操作前后，晶體兩點(diǎn)間的距離保持不變，O點(diǎn)和X點(diǎn)間距與O點(diǎn)和點(diǎn)間距相等。I為單位矩陣，即：或者說A為正交矩陣，即

，其矩陣行列式。2.簡(jiǎn)單對(duì)稱操作(旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、中心反映、鏡象、旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱)(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(Cn,對(duì)稱素為線)若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。下面我們計(jì)算與轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的變換矩陣。當(dāng)OX繞Ox1轉(zhuǎn)動(dòng)角度時(shí)，圖中若OX在Ox2x3平面上投影的長(zhǎng)度為R，則Ox1x3x2藍(lán)色線表示OX在Ox2x3面上的投影晶體中允許有幾度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸呢?設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶面（紙面）上的一個(gè)晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。A1ABB1若晶體繞通過格點(diǎn)A并垂直于紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)角后能自身重合，則也應(yīng)為格點(diǎn)。A1ABB1

由于晶體的周期性，通過格點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸u，繞此軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)角后也能自身重合，則也應(yīng)為格點(diǎn)。是的整數(shù)倍，由于cos只能在－1到1之間取值，則m只能?。?、0、1、2、3，只能?。壕C合上述證明得：晶體中允許的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。12346正五邊形沿其垂直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個(gè)平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸。(2)中心反演(i，對(duì)稱素為點(diǎn))取中心為原點(diǎn)，經(jīng)過中心反演后，圖形中任一點(diǎn)變?yōu)?3)鏡象(m，對(duì)稱素為面)如以x3=0面作為對(duì)稱面，鏡象是將圖形的任何一點(diǎn)變?yōu)?4)旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸。

旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸用表示。旋轉(zhuǎn)--反演對(duì)稱軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱素。如：1212123456動(dòng)畫1234566'1234ABDCEFGH正四面體無(wú)四度軸，但有四度-反演軸。動(dòng)畫動(dòng)畫6=3+m點(diǎn)對(duì)稱操作：(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作：1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱操作。

C1，C2，C3，C4，C6

（熊夫利符號(hào)）1，2，3，4，6（國(guó)際符號(hào)）(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作：1，2，3，4，6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱操作。S1，S2，S3，S4，S6（熊夫利符號(hào)）（國(guó)際符號(hào)）(3)中心反映：i。(4)鏡象反映：m。

獨(dú)立的對(duì)稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，。或C1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。立方體對(duì)稱性(1)立方軸C4：3個(gè)立方軸；(2)體對(duì)角線C3：4個(gè)3度軸；(3)面對(duì)角線C2：6個(gè)2度軸；與4度軸正交的對(duì)稱面與2度軸正交的對(duì)稱面所有點(diǎn)對(duì)稱操作都可由這8種操作或它們的組合來(lái)完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)--反演點(diǎn)對(duì)稱操作構(gòu)成的群，稱作點(diǎn)群。理論證明，所有晶體只有32種點(diǎn)群，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)稱操作類型。這種對(duì)稱性在宏觀上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱性。所以又稱宏觀對(duì)稱性。晶體的32種對(duì)稱類型（32種點(diǎn)群）符號(hào)符號(hào)的意義對(duì)稱類型數(shù)目Cnn度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸C1、C2、C3、C4、C65Ci對(duì)稱心(i)Ci(=S2)1Cs對(duì)稱面(m)Cs1Cnhn度軸＋與軸垂直的水平對(duì)稱面C2h、C3h、C4h、C6h4CnVn度軸＋通過該軸的鉛垂對(duì)稱面C2V、C3V、C4V、C6V4Dnn度軸＋n個(gè)與之垂直的2度軸D2、D3、D4、D64符號(hào)符號(hào)的意義對(duì)稱類型數(shù)目DnhDn＋與軸垂直的水平對(duì)稱面D2h、D3h、D4h、D6h4DndDn＋平分兩個(gè)2度軸間夾角的對(duì)稱面D2d、D4d2Sn經(jīng)n度旋轉(zhuǎn)后，經(jīng)垂直該軸的平面的鏡像C3i(=S6)、C4i(=S4)2T4個(gè)3度軸＋3個(gè)2度軸T1Thh與前面相同Th1Tdd與前面相同Td1符號(hào)符號(hào)的意義對(duì)稱類型數(shù)目O3個(gè)相互垂直的4度軸＋6個(gè)2度軸＋4個(gè)3度軸O1Ohh與前面相同Oh1總共32如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。（5）n度螺旋軸：若繞軸每旋轉(zhuǎn)2/n角以后，再沿該軸方向平移T/n的l倍，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期，l是小于n的整數(shù)。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若經(jīng)過某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。T4度螺旋軸T點(diǎn)對(duì)稱操作加上平移操作構(gòu)成空間群。全部晶體構(gòu)有230種空間群，即有230種對(duì)稱類型。二、晶系和布拉菲單胞根據(jù)不同的點(diǎn)對(duì)稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉菲晶格。為布拉菲單胞三個(gè)基矢，分別為取間的夾角。7大晶系的特征及布拉菲晶格如下所述：1.三斜晶系：簡(jiǎn)單三斜(1)2.單斜晶系：簡(jiǎn)單單斜(2)底心單斜(3)3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：簡(jiǎn)單正交(5