有限元分析及應(yīng)用第一講

4/3/2004有限元分析及應(yīng)用

FiniteElementAnalysisandApplication

4/3/2004緒論

一般問題的數(shù)學(xué)描述數(shù)值方法的求解分類有限元法的基本思想有限元計算的主要步驟有限元法的應(yīng)用有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)

材料力學(xué)與彈性力學(xué)的比較彈性力學(xué)的基本方程虛功原理及最小勢能原理連續(xù)彈性體的有限元法

平面問題的有限元法空間問題的有限元法軸對稱問題的有限元法薄板彎曲問題的有限元法離散結(jié)構(gòu)的有限元法

桿梁結(jié)構(gòu)的有限元法等參單元與數(shù)值積分結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題的有限元法溫度場的有限元法有限元建模的若干問題

有限元建模的一般步驟有限元建模的基本原則幾何模型的簡化處理物理問題的等效處理單元類型選擇與常見單元網(wǎng)格布局與劃分模型檢查與處理有限元結(jié)果分析及可視化

有限元計算結(jié)果分類有限元結(jié)果分析有限元結(jié)果的可視化常用有限元分析系統(tǒng)簡介

有限元分析系統(tǒng)的基本組成有限元分析系統(tǒng)的基本功能常見商業(yè)化有限元分析系統(tǒng)有限元分析及應(yīng)用4/3/2004本章內(nèi)容1-1工程和科學(xué)中典型問題1-2場問題的一般描述1-3場問題的求解策略及求解方法比較1-4有限元法基本思想1-5有限元法的基本步驟1-6有限單元法的發(fā)展1-7有限單元法的基本內(nèi)容1-8有限單元法的應(yīng)用1-9有限元法的幾個熱點問題4/3/20041-1工程和科學(xué)中典型問題

在工程技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，經(jīng)常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結(jié)為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。把這類問題稱為離散系統(tǒng)。如左圖所示平面桁架結(jié)構(gòu)，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成。盡管離散系統(tǒng)是可解的，但是求解右圖這類復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計算機(jī)技術(shù)。

中華和鐘4/3/20041-1工程和科學(xué)中典型問題

第二類問題，通常可以建立它們應(yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場問題。

盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡單問題的精確解答。對于許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個困難，工程師們和數(shù)學(xué)家們提出了許多近似方法。4/3/20041-2場問題的一般描述

---微分方程+邊界條件1)應(yīng)力場----彈性力學(xué)2)溫度場----熱傳導(dǎo)3)電磁場----電磁學(xué)4)流速場----流體力學(xué)A、B----微分算子（如對坐標(biāo)或時間的微分）u----未知場函數(shù)，可為標(biāo)量場（如溫度），也可為矢量場（如位移、應(yīng)變、應(yīng)力等）

嚴(yán)格講，都屬張量場；4/3/2004基本方程：邊界條件：實例：二維熱傳導(dǎo)（穩(wěn)態(tài)）問題原理：從兩個方向傳入微元體的熱量與微元體內(nèi)熱源產(chǎn)生的熱量Q平衡4/3/20041-3場問題的求解策略及方法一、求解策略：1、直接法：求解基本方程和相應(yīng)定解條件的解；2、間接法：基于變分原理，構(gòu)造基本方程及相應(yīng)定解條件的泛函形式，通過求解泛函的極值來獲得原問題的近似解。即將微分形式轉(zhuǎn)化與其等價的泛函變分的積分形式；二、求解方法：1、解析或半解析法：2、數(shù)值法：

A）基于直接法的數(shù)值法，如差分法；

B）基于間接法的數(shù)值法，如等效積分法（如里茲法）、有限元法等

4/3/2004數(shù)值計算方法分類特點優(yōu)缺點差分法均勻離散求解域；差分代替微分；解代數(shù)方程組要求規(guī)則邊界，幾何形狀復(fù)雜時精度低等效積分法（加權(quán)余量法或泛函變分法）整體場函數(shù)用近似函數(shù)代替；（近似函數(shù)常為含n個待定系數(shù)的多項式，）微分方程及定解條件的等效積分轉(zhuǎn)化為某個泛函的變分，--求極值問題，（利用極值條件建立n個代數(shù)方程），解代數(shù)方程組適合簡單問題，復(fù)雜問題很難解決有限元法可非均勻離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似整體未知場函數(shù)；解線性方程組。有限元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)仍是變分法（同上）。節(jié)點可任意配置，邊界適應(yīng)性好；適應(yīng)任意支撐條件和載荷；計算精度與網(wǎng)格疏密和單元形態(tài)有關(guān)，精度可控。對裂縫和無限域的分析存在不足4/3/20041-4有限元法基本思想先將求解域離散為有限個單元，單元與單元只在節(jié)點相互連接；----即原始連續(xù)求解域用有限個單元的集合近似代替對每個單元選擇一個簡單的場函數(shù)近似表示真實場函數(shù)在其上的分布規(guī)律，該簡單函數(shù)可由單元節(jié)點上物理量來表示----通常稱為插值函數(shù)或位移函數(shù)基于問題的基本方程，建立單元節(jié)點的平衡方程（即單元剛度方程）借助于矩陣表示，把所有單元的剛度方程組合成整體的剛度方程，這是一組以節(jié)點物理量為未知量的線形方程組，引入邊界條件求解該方程組即可。4/3/20041-4有限元法基本思想整體平衡分片近似單元平衡結(jié)構(gòu)離散方程求解問題分析力學(xué)模型節(jié)點單元位移函數(shù)單剛方程總剛方程節(jié)點位移4/3/2004實例1(離散系統(tǒng))結(jié)構(gòu)離散節(jié)點位移向量表示：節(jié)點力向量表示：節(jié)點1沿x方向的位移、其余節(jié)點位移全為0時軸向壓力為：

4/3/2004實例1（單元分析）節(jié)點1作用于單元1上的力，在x和y方向的分量分別為：

同理，節(jié)點2作用于單元1上的力，其大小與之相等，方向相反，x和y方向的分量分別記為：注：表示第e個單元的第j個自由度產(chǎn)生單位位移，而其它自由度上的位移為零時，第i個自由度上所受的力。常稱其為單元的剛度系數(shù)。

4/3/2004實例1（單元分析）同理可求分別作單位位移時相應(yīng)的剛度系數(shù)，考慮到節(jié)點的實際受力為和實際位移為，則據(jù)各個節(jié)點節(jié)點力平衡得：單元1節(jié)點力平衡方程單元2節(jié)點力平衡方程4/3/2004實例1（整體分析）整體分析：作用于每個節(jié)點上的節(jié)點力平衡，即結(jié)合前式推導(dǎo)得：4/3/2004實例1（引入約束求解）整體矩陣記為：將代入可得整體方程4/3/2004實例2（連續(xù)問題）通過材料力學(xué)求解和有限元求解進(jìn)行比較 例：等截面直桿在自重作用下的拉伸圖(a)單位桿長重量為q，桿長為L，截面面積為A，彈性模數(shù)為E

4/3/2004實例2材料力學(xué)方法求解直桿拉伸：圖(b)---位移法

考慮微段dx，內(nèi)力N=q(L-x)dx的伸長為

x截面上的位移：根據(jù)幾何方程求應(yīng)變，物理方程求應(yīng)力。這里應(yīng)變

應(yīng)力4/3/2004實例2（結(jié)構(gòu)離散）有限單元法求解直桿拉伸：

1、離散化

2、外載荷集中到結(jié)點上，即把投影部分的重量作用在結(jié)點i上

4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

3、假設(shè)線單元上的位移為線性函數(shù)

4/3/2004實例2（單元分析）有限單元法求解直桿拉伸：

4、以i結(jié)點為對象，列力的平衡方程令將位移和內(nèi)力的關(guān)系代入得

用結(jié)點位移表示的平衡方程，其中i=1，2，…n有n個方程未知數(shù)也有n個，解方程組，得出結(jié)點位移，進(jìn)而計算應(yīng)力

4/3/2004實例2（整體分析與求解）有限單元法求解直桿拉伸：

假設(shè)線單元數(shù)為3個的情況，平衡方程有3個：i=1時，i=2時,i=3時，聯(lián)立解得

與材料力學(xué)的精確解答在結(jié)點處完全相同4/3/20041-5有限元法的基本步驟所研究問題的數(shù)學(xué)建模(問題分析)結(jié)構(gòu)離散單元分析

(位移函數(shù)、單剛方程)整體分析與求解

(總剛方程與求解)結(jié)果分析及后處理力學(xué)模型(平面應(yīng)力問題)微分方程+邊界條件有限元模型代數(shù)方程組（基本變量節(jié)點位移）4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩種不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。

1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關(guān)系的單元剛度矩陣。

1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。

1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元（finiteelement）這一術(shù)語。4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling,R.J.Melosh,R.E.Jones,R.H.Gallaher,T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計算公式。

1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。

1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。4/3/20041-6有限單元法的發(fā)展

我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受到阻礙。有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計和優(yōu)化提供了有力的工具。

有限元法是一種數(shù)值計算方法?？蓮V泛應(yīng)用于各種微分方程描述的場問題的求解。4/3/20041-7有限元法的基本內(nèi)容有限元法的力學(xué)基礎(chǔ)是彈性力學(xué)（相對固體力學(xué)而言），而方程求解的原理是泛函極值原理，實現(xiàn)的方法是數(shù)值離散技術(shù)，最后的技術(shù)載體是有限元分析軟件。因此學(xué)習(xí)時，必須掌握的基本內(nèi)容應(yīng)包括：1、基本變量和力學(xué)方程（即彈性力學(xué)的基本概念）2、數(shù)學(xué)求解原理（即能量原理）3、離散結(jié)構(gòu)和連續(xù)結(jié)構(gòu)的有限元分析實現(xiàn)（即有限元法的基本步驟）4、有限元法的應(yīng)用（即有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域或工程問題研究）5、各種分析建模技巧及計算結(jié)果的評判6、典型分析軟件的使用注意：會使用有限元軟件不等于掌握了有限元分析工具4/3/20041-8有限元法的應(yīng)用在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計制造都離不開有限元分析計算，F(xiàn)EA在工程設(shè)計和分析中將得到越來越廣泛的重視。產(chǎn)品開發(fā)的基本流程CADCAECAM

設(shè)計修改或優(yōu)化運動性能力學(xué)性能可靠性數(shù)字樣件性能分析數(shù)字加工應(yīng)力變形固有頻率有限元分析4/3/2004制動器數(shù)字模型及FEA網(wǎng)格4/3/2004制動器性能分析4/3/2004東海大橋和杭州灣大橋用起重船亞洲第一，世界第二起重船高70米起重3000噸4/3/2004起重機(jī)和扁擔(dān)梁模型4/3/2004滾動軸承受力分布及游隙設(shè)計4/3/2004面板剛性增強設(shè)計面板剛度提高2.8倍,質(zhì)量減少35%,整體厚度下降CAD模型CAE分析結(jié)構(gòu)優(yōu)化工藝設(shè)計后的產(chǎn)品4/3/2004壓力容器增強剛度設(shè)計4/3/2004壓力容器增強剛度設(shè)計最大變形:7.54mm最大變形:10.8mm最大變形:13.9mm注意:只憑經(jīng)驗增加加強筋并不能提高剛度

FEA-------提高產(chǎn)品質(zhì)量的重要工具4/3/20041-9有限元法的基本概念結(jié)構(gòu)離散（有限元建模）內(nèi)容：1）網(wǎng)格劃分---即把結(jié)構(gòu)按一定規(guī)則分割成有限單元

2）邊界處理---即把作用于結(jié)構(gòu)邊界上約束和載荷處理為節(jié)點約束和節(jié)點載荷要求：1）離散結(jié)構(gòu)必須與原始結(jié)構(gòu)保形----單元的幾何特性

2）一個單元內(nèi)的物理特性必須相同----單元的物理特性4/3/2004單元與節(jié)點單元：即原始結(jié)構(gòu)離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的最小結(jié)構(gòu)域節(jié)點：單元與單元間的連接點。節(jié)點力：單元與單元間通過節(jié)點的相互作用力節(jié)點載荷：作用于節(jié)點上的外載。注意：1)節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結(jié)構(gòu)與實際結(jié)構(gòu)的重大差別；

2）節(jié)點力與節(jié)點載荷的差別節(jié)點載荷節(jié)點力4/3/2004典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元22梁單元23平面單元32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元