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文檔簡介
§3.1引出導(dǎo)數(shù)概念的例題§3.2導(dǎo)數(shù)的概念§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分§3.4高階導(dǎo)數(shù)或二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù).相應(yīng)地,把的導(dǎo)數(shù)叫做它的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),記作如果導(dǎo)函數(shù)仍是的可導(dǎo)函數(shù),則稱數(shù),記作類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù),一般地函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的階導(dǎo)解:例1
求函數(shù)的二階及三階導(dǎo)數(shù).解:因為所以例2求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù).解之得解:方程求導(dǎo)數(shù),的兩邊同時對的二階導(dǎo)數(shù).例3求由方程所確定的隱函數(shù)得§3.1引出導(dǎo)數(shù)概念的例題§3.2導(dǎo)數(shù)的概念§3.3導(dǎo)數(shù)的基本公式與運算法則§3.4高階導(dǎo)數(shù)§3.5函數(shù)的微分第三章導(dǎo)數(shù)與微分一、微分的概念二、微分的幾何意義三、微分的基本公式與運算法則四、微分的形式不變性五、微分在近似計算上的應(yīng)用§3.5函數(shù)的微分
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)關(guān)于自變量變化的快慢程度(變化率).但在許多情況下,需要考察或者估算函數(shù)改變量的大小,特別是當(dāng)自變量發(fā)生微小變化時函數(shù)改變量的大?。@就需要引進微分的概念.一、微分的概念引例已知正方形的面積其邊長由變化到是邊長的函數(shù)若正方形的面積改變的近似面積相應(yīng)的改變量為:如圖中藍色部分區(qū)域即表示很微小時,當(dāng)問正方形的面積改變了多少?值是多少?當(dāng)邊長由變化到可以把分成兩部分:近似地表示即因此,當(dāng)很少時,第二部分:(圖中深的線性函數(shù)(圖中天藍部分),第一部分:是時,當(dāng)藍部分),是比較高階的無窮小量,可用
設(shè)函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義
x0及x0Dx在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示為DyADxo(Dx)
其中A是不依賴于Dx的常數(shù)o(Dx)是比Dx高階的無窮小那么稱函數(shù)yf(x)在點x0是可微的而ADx叫做函數(shù)yf(x)在點x0相應(yīng)于自變量增量Dx的微分記作dy即dyADx
微分的定義
函數(shù)f(x)在點x0可微函數(shù)f(x)在點x0可導(dǎo)
函數(shù)在點x0的微分一定是dyf
(x0)Dx
可微與可導(dǎo)的關(guān)系:yf(x)在點x0可微DyADxo(Dx)
dy=ADx
這是因為一方面
另一方面其中a0(當(dāng)Dx0)且A=f(x0)是常數(shù)
aDx
o(Dx)
,
函數(shù)yf(x)在任意點x的微分稱為函數(shù)的微分記作dy或df(x)即dyf
(x)Dx
例如
dcosx(cosx)Dxsinx
Dx
dex(e
x)DxexDx
自變量的微分
因為當(dāng)y=x時
dy=dx=(x)Dx=Dx
所以通常把自變量x的增量Dx稱為自變量的微分記作dx即dxDx
因此函數(shù)yf(x)的微分又可記作
dyf
(x)dx
例1求下列函數(shù)的微分解(1)因為所以可見,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即是函數(shù)的微分與自變量的微分的商,因此常常把導(dǎo)數(shù)也稱為微商.的關(guān)系.它反映了函數(shù)的微分與其導(dǎo)數(shù)之間到注:對兩邊同時除以得解:解之得故例2
已知求
及并把看作的函數(shù),得(2)
方程兩邊同時對求導(dǎo),二、微分的幾何意義當(dāng)x從x0變到x0+Dx時Dy是曲線上點M的縱坐所以dy是過點(x0f(x0))的切線上點的縱坐標(biāo)
當(dāng)|Dx|很小時|Dydy|比|Dx|小得多因此在點M的鄰近我們可以用切線段來近似代替曲線段
標(biāo)的增量;而的增量.同時有根據(jù)定義,函數(shù)微分就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量微分之積,所以由導(dǎo)數(shù)的基本公式和運算法則得到相應(yīng)的微分基本公式和運算法則.
(9)
三、微分的基本公式與運算法則d(x
)
x1dx
d(sinx)cosxdx
d(cosx)sinxdx
d(tanx)sec2xdx
d(cotx)csc2xdx
d(secx)secxtanxdx
d(cscx)cscxcotxdx
d(a
x)ax
lnadx
d(e
x)exdx
(x
)
x1
(sinx)cosx
(cosx)sinx(tanx)sec2
x
(cotx)csc2x
(secx)secxtanx
(cscx)cscxcotx
(a
x)ax
lna
(ex)ex微分公式:
導(dǎo)數(shù)公式:
1.基本初等函數(shù)的微分公式
三、微分的基本公式與運算法則微分公式:
導(dǎo)數(shù)公式:
2.函數(shù)和、差、積、商的微分法則公式(uv)uv(Cu)Cu
(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu
d(uv)vduudv求導(dǎo)法則
微分法則
所以d(uv)vduudv而udxdu
vdxdv因為d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdxd(uv)vduudv的證明
四、微分形式的不變性
由此可見,無論是自變量還是其它變量的函數(shù),其微分的形式均保持不變.這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性.其微分為:設(shè)函數(shù)可導(dǎo),當(dāng)是自變量時,代入上式得而函數(shù)的微分則為復(fù)合函數(shù),且若其微分為例3求解:解:對方程兩邊求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分.例4求由方程所確定的隱函數(shù)例5在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)慕?一般有函數(shù),使等式成立.
一般有五、微分在近似計算上的應(yīng)用可以用該式計算函數(shù)增量的近似值.
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