計量經(jīng)濟學(xué)異方差性

3.3異方差性

引子：更為接近真實的結(jié)論是什么？

根據(jù)四川省2000年21個地市州醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)資料，分析醫(yī)療機構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系，建立衛(wèi)生醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型。對模型估計的結(jié)果如下：

式中表示衛(wèi)生醫(yī)療機構(gòu)數(shù)（個），表示人口數(shù)量（萬人）。模型顯示的結(jié)果和問題●人口數(shù)量對應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差較小；●t統(tǒng)計量遠大于臨界值，可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)結(jié)果較好，F(xiàn)檢驗結(jié)果明顯顯著；

表明該模型的估計效果不錯，可以認(rèn)為人口數(shù)量每增加1萬人，平均說來醫(yī)療機構(gòu)將增加5.3735個。然而，這里得出的結(jié)論可能是不可靠的，平均說來每增加1萬人口可能并不需要增加這樣多的醫(yī)療機構(gòu)，所得結(jié)論并不符合真實情況。有什么充分的理由說明這一回歸結(jié)果不可靠呢？更為接近真實的結(jié)論又是什么呢？

本章討論四個問題：●異方差的實質(zhì)和產(chǎn)生的原因●異方差產(chǎn)生的后果●異方差的檢測方法●異方差的補救3.2異方差性圖1：我國稅收和GDP圖2：1998年我國制造工業(yè)和利潤X-GDPY-稅收X－銷售收入Y－銷售利潤

兩個散點圖有共同的特征，隨著自變量增加，因變量也增加，但是圖2中，當(dāng)X比較小時，數(shù)據(jù)點相對集中，隨著X增大，數(shù)據(jù)點變得相對分散。而圖1中數(shù)據(jù)分布卻沒有出現(xiàn)這一特征。經(jīng)典線形回歸模型的一個重要假定是同方差性：PRF的干擾項是同方差的（homoscedastic）

異方差的性質(zhì)異方差性是指，的條件方差（=的條件方差）隨著X的變化而變化，用符號表示為：7模型函數(shù)形式存在設(shè)定誤差模型中遺漏了一些重要的解釋變量隨機因素本身的影響異方差較之同方差更為常見異方差產(chǎn)生的主要原因異方差的具體理由按照邊錯邊改學(xué)習(xí)模型（error—learningmodels)，人們的行為誤差隨時間而減少。隨著收入的增長，人們在支出和儲蓄中有更大的靈活性。在做儲蓄對收入的回歸中，與收入俱增隨著數(shù)據(jù)采集技術(shù)的改進，可能減小異常值（outliers）的出現(xiàn)可能導(dǎo)致異方差性回歸模型的設(shè)定偏誤：比如忽略了重要的解釋變量做商品的需求量對價格的回歸時，沒有將互補品或替代品的價格包括近來，會引起異方差問題

比如我們在研究居民儲蓄問題時:

對于低收入家庭，他們滿足基本消費以后，所剩無幾，因此各個家庭之間的儲蓄不會有很大差異；

而對于高收入家庭，他們滿足基本消費后，收入剩余較多，由于各個家庭在消費習(xí)慣、消費心理、家庭成員構(gòu)成不同，有的家庭可能儲蓄較多，有的家庭可能儲蓄少，各個家庭之間的儲蓄就會出現(xiàn)較大差異。此時用線性模型來居民儲蓄問題時就有可能會出現(xiàn)異方差問題10研究居民家庭儲蓄行為如政策的變動，自然災(zāi)害的發(fā)生、金融危機的爆發(fā)等。這些偶然因素本身均會造成隨機誤差項的異方差性。11研究居民家庭儲蓄行為第i個家庭的儲蓄額第i個家庭的可支配收入×12時間年利率每萬元年收益比重年收益額同年人均可支配收入1993.72002.22007.122008.121.98%4.14%2.25%儲蓄熱情極高10.98%1098元198元414元225元42.6%2.57%3.00%1.43%儲蓄熱情極低尋求其他投資

第二節(jié)異方差性的后果

本節(jié)基本內(nèi)容：

●對參數(shù)估計統(tǒng)計特性的影響●對參數(shù)顯著性檢驗的影響●對預(yù)測的影響

14OLS估計量線性性異方差對OLS估計量的主要影響存在異方差滿足同方差假定無偏性最具有效性線性性無偏性最具有效性

1.最小二乘估計量仍舊是線性無偏的因為此時隨機誤差項仍舊滿足零均值假定可以證明線性：無偏性2.普通最小二乘估計量不再是有效的前面推導(dǎo)斜率參數(shù)的方差時，我們得到下面的公式當(dāng)模型滿足同方差假定時但當(dāng)模型中出現(xiàn)異方差時17

由此可見模型中出現(xiàn)異方差時，斜率系數(shù)方差公式中多出了一個因子

此時如果仍采用計算斜率參數(shù)的方差，將會產(chǎn)生估計偏誤，偏誤的大小取決與因子值的大小。183.t檢驗的可靠性降低由于異方差的存在，無法正確估計參數(shù)的方差和標(biāo)志誤差，因此也影響到t檢驗的效果4.模型的預(yù)測誤差增大模型的預(yù)測區(qū)間和隨機誤差項的方差有著緊密聯(lián)系，隨著隨機誤差項方差的增大，模型的預(yù)測區(qū)間也隨之增大，模型的預(yù)測誤差也會相應(yīng)增加。19此時采用普通最小二乘法估計模型所得到的結(jié)果，其準(zhǔn)確性難以保證！！簡而言之：20估計模型的數(shù)學(xué)方法普通最小二乘法（OLS法）

OLS法

WLS法

GLS法……估計模型的數(shù)學(xué)方法加權(quán)最小二乘法（WLS法）估計模型的數(shù)學(xué)方法廣義最小二乘法（GLS法）估計模型的數(shù)學(xué)方法廣義最小二乘法（GLS）GLS(generalizedleastsquares)比OLS更多地利用了樣本數(shù)據(jù)所提供的信息即，轉(zhuǎn)換后模型的干擾項滿足同方差性假定，再用OLS方法，就可以得到BLUE估計量——這就是GLS方法，得到的是GLS估計量OLS和GLS的區(qū)別

因此，這里的GLS也被稱為WLS（weightedleastsquares）。其實，GLS是更一般的方法，包括工具變量法等。OLS的精神實質(zhì)是最小化:GLS的精神實質(zhì)是最小化:異方差性的判斷非正式方法問題的性質(zhì)在涉及不均勻（heterogeneous）單元（國家、省份、企業(yè)、家庭）的橫截面數(shù)據(jù)中，異方差性可能是一種常規(guī)，而不是例外圖解法在缺乏先驗信息或經(jīng)驗的情況下，可對做檢驗，看看是否存在系統(tǒng)模式Eviews提供了查看殘差判斷是否存在異方差性的功能27圖示法(1)繪制Y-X散點圖由于因變量和隨機誤差項的方差相同，因此通過觀察因變量和自變量的散點圖，可以分析因變量的分散程度與自變量之間是否存在關(guān)系，如果因變量的分散程度隨著自變量的增加呈現(xiàn)增大(減小)的趨勢，那么就說明模型中出現(xiàn)了遞增(遞減)型的異方差現(xiàn)象。(2)繪制殘差分布圖e-x

建立線性回歸模型后，以殘差平方作為縱坐標(biāo)，自變量X作為橫坐標(biāo)，繪制殘差分布圖，如果殘差平方隨著自變量的變化而出現(xiàn)系統(tǒng)變化趨勢，也可以判斷模型中存在異方差問題。28

從Y-X散點圖可以看出，隨著自變量的增加，因變量隨著增加，但是其分散程度也逐漸增大；同樣，從殘差分布圖中也可以發(fā)現(xiàn)殘差的分散程度也隨著自變量的增加而加大。

★需要指出的是，圖示檢驗法是判斷異方差是否存在比較粗略的一種方法，要精確地檢驗?zāi)Ｐ椭惺欠翊嬖诋惙讲?，還要采用其他一些方法?！?92.戈德菲爾德－匡特檢驗法

基本原理：這種方法又稱G-Q檢驗法，它首先將樣本按照升序排列，然后將樣本分成兩個部分，再對這兩個子樣本分別建立回歸模型，并求出各自的殘差平方和RSS1和RSS2。如果這兩個部分隨機誤差項的分散程度相同，那么RSS1和RSS2應(yīng)該相差不大；如果RSS1和RSS2相差較大，在表明兩個部分隨機誤差項的分散程度存在較大差異，模型中存在異方差。樣本1樣本2C個數(shù)據(jù)樣本1樣本2C個數(shù)據(jù)XYXY同方差異方差(2)將序列中間觀測值剔除，剩下的兩個子樣本容量為30具體步驟：

(1)將n對樣本觀測值按照自變量的大小進行升序排列；

(3)對這兩個子樣本分別作回歸，并求出各自的殘差平方和設(shè):對應(yīng)自變量較小值的子樣本的殘差平方和對應(yīng)自變量較大值的子樣本的殘差平方和31(4)提出假設(shè)(5)構(gòu)造統(tǒng)計量(6)給定顯著性水平α，查F分布表，得臨界值323.帕克(Park)檢驗和格里奇(Gleiser)檢驗

基本原理：這兩種檢驗方法的都是通過建立殘差對自變量的回歸模型，判斷隨機誤差項的方差和自變量之間是否存在著較強的相關(guān)關(guān)系。帕克檢驗的模型形式為：格里奇檢驗的模型形式為：常用的是其對數(shù)形式33

如果經(jīng)過檢驗，模型的斜率參數(shù)通過顯著性檢驗，則表明隨機誤差項的方差(用殘差平方和或殘差絕對值來近似估計)隨著自變量的取值不同而發(fā)生變化，模型中存在著異方差?！锾攸c：這兩種方法不僅能檢驗出異方差，而且可以探測異方差的具體形式，有助于進一步研究如何消除異方差（1）Park檢驗具體方法

如果顯著，則有異方差性；如果它不顯著，則接受同方差性假設(shè)35(2)格里奇檢驗的具體步驟1)對原模型作最小二乘估計，得殘差3)如果斜率參數(shù)通過顯著性檢驗，同樣也表明隨機誤差項的方差和自變量之間也存在函數(shù)關(guān)系，原模型中存在異方差；反之原模型中不存在異方差問題2)用殘差絕對值對作回歸如Glejser檢驗

Glejser建議，從OLS回歸得到殘差之后，用的絕對值對被認(rèn)為與密切相關(guān)的X變量做回歸：Glejser檢驗可能存在下述問題：非零的期望值序列相關(guān)異方差性Glejser本人發(fā)現(xiàn)：前四個模型，在大樣本條件下，一般能夠給出滿意的結(jié)果在小樣本情形下，Glejser檢驗只能作為一種摸索異方差性的定性的技巧383.懷特(White)檢驗

基本原理：利用殘差平方和，建立殘差平方和與自變量的輔助方程來判斷模型中是否存在異方差

具體步驟：(1)對原模型作最小二乘估計，得殘差平方；(2)估計輔助回歸方程39輔助回歸方程就是將殘差平方和對所有自變量的一次項、二次項和交叉乘積項進行回歸；當(dāng)然一元線性回歸模型對應(yīng)的輔助回歸方程沒有交叉乘積項，多元回歸模型的輔助回歸方程可以選擇是否包含交叉乘積項。403)計算輔助回歸方程的擬合系數(shù)，可以證明，在同方差假定下，漸近地有，其中，自由度q為輔助回歸模型中的自變量個數(shù)4)在給定的顯著性水平下，查開方分布表，得臨界值41異方差的修正如果模型經(jīng)過檢驗存在異方差問題，首先應(yīng)該分析模型中是否遺漏了一些重要的自變量，或者考慮模型的函數(shù)形式設(shè)置的是否適當(dāng)，然后可以采取一些措施來消除異方差所帶來的不利影響。

在實際的處理過程中，主要有加權(quán)最小二乘法和模型轉(zhuǎn)換法421.加權(quán)最小二乘法(WeightedLeastSquare)加權(quán)最小二乘法的前提條件：隨機誤差項的方差已知以一元線性回歸模型為例為了分析方便，將其寫成43

因此模型轉(zhuǎn)換為同方差模型，可以使用最小二乘法估計模型，并且得到最優(yōu)線性無偏估計量44根據(jù)最小二乘法估計轉(zhuǎn)換后的模型時，應(yīng)該有

從上面的分析過程中可以看出，在極小化的過程中，在通常的殘差平方和加上了權(quán)數(shù)，因此這種方法就稱作加權(quán)最小二乘法，對于異方差模型，加權(quán)最小二乘估計量才是最佳估計量。452.模型轉(zhuǎn)換法前提條件：總體隨機誤差項方差未知，但是可以判斷出異方差的具體形式，這是通過對具體問題的經(jīng)驗分析，或者用帕克檢驗和格里奇檢驗提供的信息來確定。仍以一元線性回歸模型為例，

此時模型轉(zhuǎn)換為同方差模型，可以用最小二乘法估計參數(shù)46此時模型也轉(zhuǎn)換為同方差模型，可以用最小二乘法估計參數(shù)47此時模型也轉(zhuǎn)換為同方差模型，可以用最小二乘法估計參數(shù)總結(jié)：補救措施本章練習(xí)題使用戈德菲爾德—匡特檢驗法檢驗該模型是否存在異方差,已知樣本數(shù)據(jù)為20,去除6個樣本數(shù)據(jù)后,將原樣本分為兩個容量相等的子樣本,對這兩個子樣本分別做回歸,自變量較小的子樣本回歸方程的殘差平方和為0.3,自變量較大的子樣本回歸方程的殘差平方和為2.204,給定顯著性水平為0.05,試判斷該模型中是否存在異方差.54

解:利用G-Q檢驗原理

所以模型中存在異方差。5556轉(zhuǎn)換后，模型的隨機誤差項方差為：為常數(shù)，所以經(jīng)此處理已消除了異方差573.根據(jù)我國1976-2001城鎮(zhèn)居民人均可支配收入X和人均消費支出Y的資料,按照凱恩斯絕對收入假說建立的消費函數(shù)線性模型為:且線性回歸模型殘差平方和與自變量之間存在如下關(guān)系:(1)試解釋模型中137.422和0.722的意義.(2)試判斷該模型是否存在異方差性.(3)若模型中存在異方差,試寫出消除異方差的方法和步驟.58(2)由題，前的系數(shù)的顯著性檢驗統(tǒng)計量通過參數(shù)顯著性檢驗，可以看出殘差和自變量之間存在明顯的函數(shù)關(guān)系，因此原模型存在異方差；59(3)由帕克檢驗可知，隨機誤差項的方差，將原模型兩邊同除則原模型轉(zhuǎn)變?yōu)樾履Ｐ碗S機誤差項的方差已消除了原模型中的異方差第五節(jié)案例分析一、問題的提出和模型設(shè)定為了給制定醫(yī)療機構(gòu)的規(guī)劃提供依據(jù)，分析比較醫(yī)療機構(gòu)與人口數(shù)量的關(guān)系，建立衛(wèi)生醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)的回歸模型。假定醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)之間滿足線性約束，則理論模型設(shè)定為：其中表示衛(wèi)生醫(yī)療機構(gòu)數(shù)，表示人口數(shù)。

四川省2000年各地區(qū)醫(yī)療機構(gòu)數(shù)與人口數(shù)

地區(qū)人口數(shù)（萬人）醫(yī)療機構(gòu)數(shù)（個）地區(qū)人口數(shù)（萬人）醫(yī)療機構(gòu)數(shù)（個）

成都1013.36304眉山339.9827自貢315911宜賓508.51530攀枝花103934廣安438.61589瀘州463.71297達州620.12403德陽379.31085雅安149.8866綿陽518.41616巴中346.71223廣元302.61021資陽488.41361遂寧3711375阿壩82.9536內(nèi)江419.91212甘孜88.9594樂山345.91132涼山402.41471南充709.24064

二、參數(shù)估計

估計結(jié)果為:三、檢驗?zāi)Ｐ偷漠惙讲睿ㄒ唬﹫D形法

1.EViews軟件操作

由路徑：Quick/QstimateEquation，進入EquationSpecification窗口，鍵入，點“ok”，得樣本回歸估計結(jié)果。

（1）生成殘差平方序列。在得到估計結(jié)果后，用生成命令生成序列，記為。生成過程如下，先按路徑：Procs/GenerateSeries，進入GenerateSeriesbyEquation對話框，鍵入下式并點“OK”即可：生成序列圖示（2）繪制對的散點圖。選擇變量名與。（注意選擇變量的順序，先選的變量將在圖形中表示橫軸，后選的變量表示縱軸），進入數(shù)據(jù)列表，再按路徑view/graph/scatter，可得散點圖，見右圖：2.判斷由圖可以看出，殘差平方對解釋變量的散點圖主要分布在圖形中的下三角部分，大致看出殘差平方隨的變動呈增大的趨勢，因此，模型很可能存在異方差。但是否確實存在異方差還應(yīng)通過更進一步的檢驗。（二）Goldfeld-Quanadt檢驗1.EViews軟件操作（1）對變量取值排序（按遞增或遞減）。在Procs菜單里選SortCurrentPage/SortWorkfileSeries命令，出現(xiàn)排序?qū)υ捒?，鍵入，如果以遞增型排序，選“Ascenging”，如果以遞減型排序，則應(yīng)選“Descending”，點ok。本例選遞增型排序，這時變量與將以按遞增型排序。（2）構(gòu)造子樣本區(qū)間，建立回歸模型。在本例中，樣本容量，刪除中間1/4的觀測值，即大約5個觀測值，余下部分平分得兩個樣本區(qū)間：1—8和14—21，它們的樣本個數(shù)均是8個，即

在Sample菜單里，將區(qū)間定義為1—8，然后用OLS方法求得如下結(jié)果(表1)在Sample菜單里,將區(qū)間定義為14—21，再用OLS方法求得如下結(jié)果(表2)（3）求F統(tǒng)計量值。基于表1和表2中殘差平方和的數(shù)據(jù)，即Sumsquaredresid的值。由表1計算得到的殘差平方和為，由表2計算得到的殘差平方和為。根據(jù)Goldfeld-Quanadt檢驗，F(xiàn)統(tǒng)計量為

（4）判斷在下，式中分子、分母的自由度均為6，查F分布表得臨界值為：因為，所以拒絕原假設(shè)，表明模型確實存在異方差。（三）Wh