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主講人:朱志雄小組成員:何孝金,朱志雄,王維斌直接法和間接法的改進13.3直接法和間接法的質(zhì)量直接法和間接法的關(guān)系:截短(乘矩形窗d0(n))求線性相關(guān)函數(shù)DFTIDFTM=N-1時的估計質(zhì)量此時,直接法和間接法估計出的結(jié)果是相同的,且有令W(ω)
是三角窗w(m)的傅立葉變換,由卷積定理,有式中r(m),P(ω)分別是隨機信號x(n)的真實自相關(guān)函數(shù)和功率譜。上式可寫成則估計的偏差為:當(dāng)時,矩形窗d0(n)趨于無限寬,D0(ω)和W0(ω)都趨于δ函數(shù),此時因此,對于固定的數(shù)據(jù)長度N,周期圖是個有偏估計,偏差由(*)式給出。當(dāng)時,它的期望值等于真值P(ω)
,所以它又是漸進無偏的。
M<N-1時的估計質(zhì)量當(dāng)時,不等于,而是對的平滑。(1)均值:由前述知識知,所以由于,所以W(ω)的主瓣寬度遠小于V(ω)主瓣的寬度。當(dāng)時,W(ω)趨近于δ函數(shù),此時如果P(ω)是一個慢變的譜,使得在V(ω)的主瓣內(nèi)接近為一常數(shù),則上式可寫為若能保證
則有(2)方差假定x(n)是零均值、方差為σ2的高斯白噪聲,則有又,令Kr<1,說明小結(jié):1)由于在上施加了一個較短的窗口v(m),使得間接法估計的偏差大于直接法,而方差小于直接法。2)譜的平滑(也即方差的減?。┦且誀奚直媛蕿榇鷥r的。13.4直接法估計的改進直接法的缺點:數(shù)據(jù)長度N太大時,譜曲線起伏加劇,N太小時,譜的分辨率不好改進方向:主要是改進其方差特性方法一:間接法(又稱自相關(guān)法、BT法)方法二:平均法解:μ=E(X)=E[(X1+X2+…+XL)/L]=E(X1+X2+…+XL
)=[E(X1)+E(X2)+…E(XL)]=μVar[X]=var[(X1+X2+…+XL)/L]=
Eg1.對L個具有相同均值μ和方差δ
2的獨立隨機變量X1,X2,…XL。求隨機變量X=(X1+X2+…+XL)/L的均值及方差。啟示:將一長度為N的數(shù)據(jù)xN(n)分成L段,分別求每一段的功率譜,然后加以平均,以達到所希望的目的。由此,便有了改善
PER(ω)方差特性的一個方法,即Bartlett法。Bartlett法:將采樣數(shù)據(jù)xN(n)分成L段,每段的長度均為M,即N=LM,則第i段數(shù)據(jù)加矩形窗后,變?yōu)閤iN(n)=xN[n+(i-1)M]d1[n+(i-1)M],0?n?M-1,1?i?L每一段的功率譜:
iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2,1?i?L
PER(ω)的均值為:E{PER(ω)}=E{iPER(ω)}=E{iPER(ω)}
=P(ω)*|D1(ω)|2=P(ω)*W1(ω)
把PER(ω)對應(yīng)相加,再取平均,得到平均周期圖PER,即
PER(ω)=iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2
對比可知,不取平均值的周期和取平均后的相同點:都是有偏估計,且當(dāng)
時,二者都是漸進無偏的。區(qū)別:因為W1(ω)主瓣的寬度遠大于W(ω),所以取平均后,偏差加大,分辨率下降。Eg2.若x(n)為一白噪聲序列,由前面知識可知
分的段數(shù)越多,方差越小。若L能趨于,則是P(ω)的一致估計。法二:Welch法Welch法是對Bartlett法的改進。Case1:在對xN(n)分段時,允許每一段的數(shù)據(jù)有重疊。例如,每一段數(shù)據(jù)重合一半,這時的段數(shù)M是每一段的長度。Case2.選擇適當(dāng)?shù)拇翱谧鳛槊恳欢蔚臄?shù)據(jù)窗口。例如,使用漢寧窗或漢明窗,記之為d2(n)。如此,可以改善由于矩形窗邊瓣較大所產(chǎn)生的譜失真。記每一段的功率譜式中是歸一化因子(?)。Eg3.若上式中d2(n)是一個矩形窗口,計算平均后的功率譜及均值。解:1)平均后的功率譜2)均值D2(ω)是d2(n)的頻譜,
即
記則有:如果有則有為漸近無偏譜。法三:Nuttall法步驟1、2:同Bartlett,即對xN(n)自然分段(加矩形窗),且不交疊,得到平均后的功率譜;步驟3:由做反變換,得到該平均功率譜對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù),記為,其最大寬度是2M-1,M=N/L;步驟4:對加延遲窗w2(m),w2(m)最大單邊寬度為M1,得到,即步驟5:由做正交變換,得到對x(n)功率譜估計,記作
三種方法的關(guān)系截短(乘矩形窗d0(n))不交疊分段,(d1(n)為矩形窗)求平均功率譜作逆變換對每一段加權(quán),d2(n)可以不是矩形窗交疊分段正變換加權(quán)W2(m)平均x(n)13.5經(jīng)典譜估計算法性能的比較總結(jié):(1)經(jīng)典譜估計,不論是直接法還是間接法,都可以用FFT快速計算,且物理概念明確,因而仍是目前較常用的譜估計方法。(2)譜的分辨率較低,它正比于2π/N,N是所使用的數(shù)據(jù)長度。(3)由于不可避免的窗函數(shù)的影響,使得真正譜P(ω)在窗口主瓣內(nèi)的功率向邊瓣部分“泄露”,降低了分辨率。較大的邊瓣有可能掩蓋P(ω)中較弱的成分,或是產(chǎn)生假的峰值。當(dāng)分析的數(shù)據(jù)較短時,這些影響更為突出。(4)方差性能不好,不是P(ω)的一致估計,且N增大時譜曲線起伏加劇。(5)周期圖的平滑和平均是窗函數(shù)的使用緊緊相關(guān)聯(lián)的。平滑和平均主要是用來改善周期的方差性能,但往往又減少了分辨率和增大了偏差。沒有一個窗函數(shù)能使估計的譜在方差、偏差和分辨率各個方面都得到改善。因此使用窗函數(shù)只是改進估計質(zhì)量的一個技巧問題。13.6短時傅立葉變換平穩(wěn)信號:主要特點是信號的均值、方差及均方都不隨時間變換,其自相關(guān)函數(shù)僅和兩個觀察時間的差有關(guān),而和觀察的具體位置無關(guān)。非平穩(wěn)信號:這類信號的均值及方差都在隨時間變化,其自相關(guān)函數(shù)也和觀察的具體時間位置有關(guān),而且信號的頻率也會隨時間而變化。傅立葉變換的不足:缺乏時頻定位能力。信號聯(lián)合時頻分布雙線性時頻分布表達式:
(1)x(t)出現(xiàn)了兩次,且是相乘的形式,故稱為雙線性。若,則(1)式可簡化為
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