直接法估計(jì)的改進(jìn)

主講人：朱志雄小組成員：何孝金，朱志雄，王維斌直接法和間接法的改進(jìn)13.3直接法和間接法的質(zhì)量直接法和間接法的關(guān)系：截短（乘矩形窗d0(n)）求線性相關(guān)函數(shù)DFTIDFTM=N-1時(shí)的估計(jì)質(zhì)量此時(shí)，直接法和間接法估計(jì)出的結(jié)果是相同的，且有令W(ω)

是三角窗w(m)的傅立葉變換，由卷積定理，有式中r(m),P(ω)分別是隨機(jī)信號(hào)x(n)的真實(shí)自相關(guān)函數(shù)和功率譜。上式可寫(xiě)成則估計(jì)的偏差為：當(dāng)時(shí)，矩形窗d0(n)趨于無(wú)限寬，D0(ω)和W0(ω)都趨于δ函數(shù)，此時(shí)因此，對(duì)于固定的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N，周期圖是個(gè)有偏估計(jì)，偏差由（*）式給出。當(dāng)時(shí)，它的期望值等于真值P(ω)

,所以它又是漸進(jìn)無(wú)偏的。

M<N-1時(shí)的估計(jì)質(zhì)量當(dāng)時(shí)，不等于,而是對(duì)的平滑。（1）均值：由前述知識(shí)知，所以由于，所以W(ω)的主瓣寬度遠(yuǎn)小于V(ω)主瓣的寬度。當(dāng)時(shí)，W(ω)趨近于δ函數(shù)，此時(shí)如果P(ω)是一個(gè)慢變的譜，使得在V(ω)的主瓣內(nèi)接近為一常數(shù)，則上式可寫(xiě)為若能保證

則有（2）方差假定x(n)是零均值、方差為σ2的高斯白噪聲，則有又,令Kr<1，說(shuō)明小結(jié)：1）由于在上施加了一個(gè)較短的窗口v(m)，使得間接法估計(jì)的偏差大于直接法，而方差小于直接法。2）譜的平滑（也即方差的減?。┦且誀奚直媛蕿榇鷥r(jià)的。13.4直接法估計(jì)的改進(jìn)直接法的缺點(diǎn)：數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜曲線起伏加劇，N太小時(shí)，譜的分辨率不好改進(jìn)方向：主要是改進(jìn)其方差特性方法一：間接法（又稱(chēng)自相關(guān)法、BT法）方法二：平均法解：μ=E（X）=E[（X1+X2+…+XL）/L]=E（X1+X2+…+XL

）=[E(X1)+E(X2)+…E(XL)]=μVar[X]=var[（X1+X2+…+XL）/L]=

Eg1.對(duì)L個(gè)具有相同均值μ和方差δ

2的獨(dú)立隨機(jī)變量X1，X2，…XL。求隨機(jī)變量X=（X1+X2+…+XL）/L的均值及方差。啟示：將一長(zhǎng)度為N的數(shù)據(jù)xN（n）分成L段，分別求每一段的功率譜，然后加以平均，以達(dá)到所希望的目的。由此，便有了改善

PER（ω）方差特性的一個(gè)方法，即Bartlett法。Bartlett法：將采樣數(shù)據(jù)xN（n）分成L段，每段的長(zhǎng)度均為M，即N=LM，則第i段數(shù)據(jù)加矩形窗后，變?yōu)閤iN（n）=xN[n+(i-1)M]d1[n+(i-1)M],0?n?M-1,1?i?L每一段的功率譜:

iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2,1?i?L

PER(ω)的均值為:E{PER(ω)}=E{iPER(ω)}=E{iPER(ω)}

=P(ω)*|D1(ω)|2=P(ω)*W1(ω)

把PER(ω)對(duì)應(yīng)相加，再取平均，得到平均周期圖PER，即

PER(ω)=iPER(ω)=|xiN(n)e-jωn|2

對(duì)比可知,不取平均值的周期和取平均后的相同點(diǎn)：都是有偏估計(jì)，且當(dāng)

時(shí)，二者都是漸進(jìn)無(wú)偏的。區(qū)別：因?yàn)閃1(ω)主瓣的寬度遠(yuǎn)大于W(ω)，所以取平均后，偏差加大，分辨率下降。Eg2.若x(n)為一白噪聲序列，由前面知識(shí)可知

分的段數(shù)越多，方差越小。若L能趨于，則是P(ω)的一致估計(jì)。法二：Welch法Welch法是對(duì)Bartlett法的改進(jìn)。Case1:在對(duì)xN(n)分段時(shí)，允許每一段的數(shù)據(jù)有重疊。例如，每一段數(shù)據(jù)重合一半，這時(shí)的段數(shù)M是每一段的長(zhǎng)度。Case2.選擇適當(dāng)?shù)拇翱谧鳛槊恳欢蔚臄?shù)據(jù)窗口。例如，使用漢寧窗或漢明窗，記之為d2(n)。如此，可以改善由于矩形窗邊瓣較大所產(chǎn)生的譜失真。記每一段的功率譜式中是歸一化因子（？）。Eg3.若上式中d2(n)是一個(gè)矩形窗口，計(jì)算平均后的功率譜及均值。解：1）平均后的功率譜2）均值D2(ω)是d2(n)的頻譜，

即

記則有：如果有則有為漸近無(wú)偏譜。法三：Nuttall法步驟1、2：同Bartlett，即對(duì)xN(n)自然分段（加矩形窗），且不交疊，得到平均后的功率譜;步驟3：由做反變換，得到該平均功率譜對(duì)應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，記為，其最大寬度是2M-1，M=N/L；步驟4:對(duì)加延遲窗w2(m)，w2(m)最大單邊寬度為M1,得到，即步驟5：由做正交變換，得到對(duì)x(n)功率譜估計(jì)，記作

三種方法的關(guān)系截短（乘矩形窗d0(n)）不交疊分段，（d1(n)為矩形窗）求平均功率譜作逆變換對(duì)每一段加權(quán)，d2(n)可以不是矩形窗交疊分段正變換加權(quán)W2(m)平均x(n)13.5經(jīng)典譜估計(jì)算法性能的比較總結(jié)：（1）經(jīng)典譜估計(jì)，不論是直接法還是間接法，都可以用FFT快速計(jì)算，且物理概念明確，因而仍是目前較常用的譜估計(jì)方法。（2）譜的分辨率較低，它正比于2π/N，N是所使用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。（3）由于不可避免的窗函數(shù)的影響，使得真正譜P(ω)在窗口主瓣內(nèi)的功率向邊瓣部分“泄露”，降低了分辨率。較大的邊瓣有可能掩蓋P(ω)中較弱的成分，或是產(chǎn)生假的峰值。當(dāng)分析的數(shù)據(jù)較短時(shí)，這些影響更為突出。（4）方差性能不好，不是P(ω)的一致估計(jì)，且N增大時(shí)譜曲線起伏加劇。（5）周期圖的平滑和平均是窗函數(shù)的使用緊緊相關(guān)聯(lián)的。平滑和平均主要是用來(lái)改善周期的方差性能，但往往又減少了分辨率和增大了偏差。沒(méi)有一個(gè)窗函數(shù)能使估計(jì)的譜在方差、偏差和分辨率各個(gè)方面都得到改善。因此使用窗函數(shù)只是改進(jìn)估計(jì)質(zhì)量的一個(gè)技巧問(wèn)題。13.6短時(shí)傅立葉變換平穩(wěn)信號(hào)：主要特點(diǎn)是信號(hào)的均值、方差及均方都不隨時(shí)間變換，其自相關(guān)函數(shù)僅和兩個(gè)觀察時(shí)間的差有關(guān)，而和觀察的具體位置無(wú)關(guān)。非平穩(wěn)信號(hào):這類(lèi)信號(hào)的均值及方差都在隨時(shí)間變化，其自相關(guān)函數(shù)也和觀察的具體時(shí)間位置有關(guān)，而且信號(hào)的頻率也會(huì)隨時(shí)間而變化。傅立葉變換的不足：缺乏時(shí)頻定位能力。信號(hào)聯(lián)合時(shí)頻分布雙線性時(shí)頻分布表達(dá)式：

（1）x(t)出現(xiàn)了兩次，且是相乘的形式，故稱(chēng)為雙線性。若，則（1）式可簡(jiǎn)化為