第6章彎曲變形

11廣州塔山西應(yīng)縣木塔趙州橋北京理工大學(xué)研制材料力學(xué)2

作業(yè)習(xí)題：P1916-2(d),3(c)思考：P1866-5,6,7,8復(fù)習(xí)：第六章w向上為正逆時(shí)針為正截面形心在力方向上有位移，垂直于x方向上有縱向線位移截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度橫截面，在力的作用下，發(fā)生了縱向位移的同時(shí)產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角撓曲線撓度轉(zhuǎn)角彎曲變形的力學(xué)描述上次課內(nèi)容撓曲線微分方程：彎曲變形的數(shù)學(xué)意義撓曲線近似微分方程：適用范圍：線彈性、小變形積分一次轉(zhuǎn)角方程：積分二次撓曲線方程：積分常數(shù)，由梁的約束條件決定上次課內(nèi)容抗彎剛度懸臂梁：xw2、梁的邊界條件——約束L§6-3

用積分法求梁的變形不能產(chǎn)生線位移不能產(chǎn)生角位移固定端不能動(dòng)簡(jiǎn)支梁：xwL2、梁的邊界條件§6-3

用積分法求梁的變形固定鉸和可動(dòng)鉸都可動(dòng)都限制線位移，不限制角位移轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角水平方向微小位移，鉛垂不許位移水平、鉛垂方向均不許位移3、連續(xù)性條件CPABaLxw邊界條件；光滑、連續(xù)性條件：撓曲線的連續(xù)性光滑性§6-3

用積分法求梁的變形例：簡(jiǎn)支梁上作用有集中力控制界面：3個(gè)；梁分成：2段；彎矩方程：2個(gè)；撓曲線：2個(gè)ABLaCMxw特別強(qiáng)調(diào)：中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，撓度是唯一的連續(xù)不光滑§6-3

用積分法求梁的變形邊界條件：連續(xù)性條件：4、靜定多跨梁中間鉸處連續(xù)、不光滑例：寫(xiě)出梁的邊界條件、連續(xù)性條件。xwkCPABaL邊界條件：光滑連續(xù)性條件：§6-3

用積分法求梁的變形例：寫(xiě)出梁的邊界條件、連續(xù)性條件。hEACPABaL邊界條件：光滑連續(xù)性條件：§6-3

用積分法求梁的變形討論：撓曲線分段（1）凡彎矩方程分段處，應(yīng)作為分段點(diǎn)（2）凡截面有變化處，或材料有變化處，應(yīng)作為分段點(diǎn)（3）中間鉸視為兩個(gè)梁段間的聯(lián)系，此種聯(lián)系為兩部分間的相互作用力，故應(yīng)作為分段點(diǎn)§6-3

用積分法求梁的變形（4）凡分段點(diǎn)處應(yīng)列出連續(xù)條件根據(jù)梁變形的連續(xù)性，對(duì)同一截面只可能有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角；在中間鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角不同，但撓度是唯一的。例：懸臂梁受力如圖所示。求wA和A。xwx解：建坐標(biāo)系1、列寫(xiě)彎矩方程2、代入撓曲線近似微分方程中積分一次：積分二次：轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程AqBL§6-3

用積分法求梁的變形3、確定常數(shù)C、D邊界條件：AqBL§6-3

用積分法求梁的變形4、計(jì)算A截面的撓度和轉(zhuǎn)角小結(jié)：積分法描述了梁內(nèi)各個(gè)截面的變化規(guī)律，是基本方法，但是繁雜。CFABaLxw例：一簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。試求(x),w(x)

和A,wmax。1、求支座反力2、分段列出梁的彎矩方程bBC段AC段xx§6-3

用積分法求梁的變形3、代入各自的撓曲線近似微分方程中4、各自積分§6-3

用積分法求梁的變形5、確定積分常數(shù)邊界條件：連續(xù)條件：§6-3

用積分法求梁的變形FaLxwCABBC段AC段7、求轉(zhuǎn)角6、撓曲線方程§6-3

用積分法求梁的變形8、求wmax

求wmax的位置值x§6-3

用積分法求梁的變形FaLxwCAB代入得：若則：在簡(jiǎn)支梁情況下，不管F作用在何處（支承除外），wmax可用中間撓度代替，其誤差不大，不超過(guò)3%?！?-3

用積分法求梁的變形

一、疊加原理在小變形，材料服從胡克定律的情況下，撓曲線的近似微分方程是線性的彎矩M(x)與載荷之間的關(guān)系是線性的，對(duì)應(yīng)于幾種不同的載荷，彎矩可以疊加，近似微分方程的解也可以疊加計(jì)算彎矩時(shí)，使用變形前的位置——原始尺寸原理§6-4用疊加法求梁的變形設(shè)彎矩

撓曲線分別滿足各自的近似微分方程兩個(gè)微分方程疊加分別計(jì)算出每一載荷單獨(dú)引起的變形，將所得的變形疊加即為載荷共同作用下引起的變形——疊加原理總的近似微分方程：§6-4用疊加法求梁的變形二、疊加原理的限制條件疊加原理僅適用于線性函數(shù)，要求撓度、轉(zhuǎn)角是載荷的線性函數(shù)。(1)彎矩與載荷成線性關(guān)系，梁發(fā)生小變形，忽略各載荷引起梁的水平位移；(2)曲率1/與彎矩成線性關(guān)系，梁處于線彈性范圍內(nèi)，滿足虎克定律；

梁處于小變形條件下§6-4用疊加法求梁的變形(3)撓曲線二階導(dǎo)數(shù)w′′與1/成線性關(guān)系幾種載荷共同作用下某截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于每種載荷單獨(dú)作用下引起的同一截面撓度、轉(zhuǎn)角的向量和。三、疊加原理的特征§6-4用疊加法求梁的變形1、載荷疊加法：查表法——教材P172(1)載荷分解：均布載荷，集中力，集中外力偶(2)查表P172：求單獨(dú)載荷作用下梁的變形注意設(shè)正：w向上為正，逆時(shí)針為正應(yīng)用于多個(gè)載荷作用(3)變形疊加例：已知簡(jiǎn)支梁長(zhǎng)l，抗彎剛度EIz，受均布載荷q，集中力ql，集中外力偶ql2，求：yC

，B§6-4用疊加法求梁的變形z1、載荷疊加法wC

,B(1)載荷分解qlql2q§6-4用疊加法求梁的變形zqlql2q(2)查表P172：?jiǎn)为?dú)載荷作用下梁的變形§6-4用疊加法求梁的變形P174：9號(hào)P174：7號(hào)P174：5號(hào)3、變形疊加§6-4用疊加法求梁的變形z例：抗彎剛度EI為常量，用疊加法確定C和yC

。L/2L/2qCBA§6-4用疊加法求梁的變形qqq1、載荷分解qq§6-4用疊加法求梁的變形剛體剛性的角位移§6-4用疊加法求梁的變形wz

2、逐段剛化法(1)將梁的撓曲線分成幾段(2)除所研究的梁段發(fā)生變形外，其余各段均視為剛體(3)分別計(jì)算各段梁的變形在需求處引起的撓度和轉(zhuǎn)角(4)然后計(jì)算其總和（代數(shù)和或矢量和），即得需求的位移§6-4用疊加法求梁的變形例：用疊加法確定wCABalFC(1)考慮AB段變形引起的C截面的撓度(BC段看作剛體)外力向研究的AB段上簡(jiǎn)化ABalCFFaF：作用在支座上，不產(chǎn)

生變形Fa：使AB梁產(chǎn)生變形§6-4用疊加法求梁的變形ABalCFFaFa引起梁的變形形狀為AB段上凸§6-4用疊加法求梁的變形考慮AB段變形引起

的C截面的撓度

(BC段看作剛體)(2)考慮BC段變形引起C截面的撓度，AB段看作剛體ABalFCaFBCC截面的總撓度§6-4用疊加法求梁的變形B段簡(jiǎn)化為固定端例：圖示中懸臂梁，二段為同種材料制成。材料的彈性模量為E，求自由端C端的撓度。PIz1L1Iz2L2ABC§6-4用疊加法求梁的變形彎曲變形的剛度條件：[w]——許用撓度[]——許用轉(zhuǎn)角1、工程中,[w]常用梁的計(jì)算跨度l的若干分之一表示對(duì)于橋式起重機(jī)梁：對(duì)于一般用途的軸：2、在安裝齒輪或滑動(dòng)軸承處，許用轉(zhuǎn)角為：§6-4彎曲變形的剛度計(jì)算一、改善結(jié)構(gòu)、減小彎矩1、合理安排支座；2、合理安排受力；3、集中力分散；4、

w一般與跨度有關(guān)，l3成正比，故可減小跨度；5、增加約束，采用超靜定結(jié)構(gòu)§6-5提高梁剛度的措施尾頂針、跟刀架或加裝中間支架；較長(zhǎng)的傳動(dòng)軸采用三支撐；橋梁增加橋墩；5、增加約束：采用超靜定結(jié)構(gòu)§6-5提高梁剛度的措施超長(zhǎng)車(chē)輛增加車(chē)輪提高車(chē)身的抗彎剛度。改變支座形式§6-5提高梁剛度的措施F改變載荷類(lèi)型Fq=F/L二、選擇合理的截面形狀A(yù)幾乎不變，大部分分布在遠(yuǎn)離中性軸處的工字形、槽鋼等§6-5提高梁剛度的措施起重機(jī)大梁常采工字形或箱形截面§6-5提高梁剛度的措施四、不宜采用高強(qiáng)度鋼，各種鋼材E大致相同三、加強(qiáng)肋集裝箱§6-5提高梁剛度的措施1、y’’=M(x)/EI在

條件下成立？A：小變形；B：材料服從虎克定律；C：撓曲線在XOY面內(nèi)；D：同時(shí)滿足A、B、C。2、等直梁在彎曲變形時(shí)，撓曲線曲率在最大

處一定

最大。A：撓度；B：轉(zhuǎn)角；C：彎矩；P3、細(xì)長(zhǎng)工件，加