BJ1111-Chapter6二維單元及二維問題分析

第六章二維單元及二維問題分析孫會本章內容一、二維單元（重點、掌握）二、等參單元（重點、掌握）三、平面應力問題（重點，熟悉）四、軸對稱問題（了解）五、ANSYS中的二維單元（重點，掌握）六、ANSYS應用（重點，掌握）七、結果驗證（重點，熟悉）一、二維單元1、矩形單元2、二次四邊形單元3、線性三角形單元4、二次三角形單元5、軸對稱單元1、矩形單元以直散熱片為例當溫度沿X方向和Y方向均發(fā)生變化時，此時需采用二維單元描述散熱片的溫度分布情況。圖

使用矩形單元描述二維溫度分布的例子1、矩形單元（局部坐標）對任意矩形單元：圖

典型的矩形單元

得到各個形函數(shù)1、矩形單元（局部坐標）進一步可推廣到任一變量：1、矩形單元（自然坐標）自然坐標：無量綱，且局部坐標系x，y的原點與自然坐標點=－1，＝－1一致。圖

自然坐標下的四邊形單元

1、矩形單元二維矩形單元形函數(shù)的性質：形函數(shù)在相應節(jié)點處的值為1，而在其它節(jié)點處的值為0；形函數(shù)的和為1。2、二次四邊形單元8節(jié)點二次四邊形單元：4節(jié)點四邊形單元的高階單元，適合對曲線形邊界問題建模。與線性單元相比，對于同樣數(shù)目的單元，二次單元要提供的結果更精確。圖8節(jié)點的二次四邊形單元

2、二次四邊形單元8節(jié)點二次單元的一般形式：形函數(shù)的推導：利用節(jié)點值，求解方程組2、二次四邊形單元各角節(jié)點的形函數(shù)：中間節(jié)點的形函數(shù)：3、線性三角形單元雙線性矩形單元最主要的缺點：不能很好地滿足彎曲邊界的要求。相比之下，描述二維溫度分布的三角形單元就能較好地描述彎曲邊界。圖

使用三角形單元描述二維溫度分布

3、線性三角形單元三角形區(qū)域內的獨立變量，如溫度的變化：圖

三角形單元

為求解未知系數(shù)，需利用節(jié)點值：3、線性三角形單元A是三角形單元的面積：3、線性三角形單元（整體坐標）3、線性三角形單元三角形形函數(shù)的基本性質：形函數(shù)在相應節(jié)點處的值為1，而在其它節(jié)點處的值為0；形函數(shù)的和為1。3、線性三角形單元（自然/面積坐標）設三角形區(qū)域內有一坐標為（X，Y）的點P，將點P和節(jié)點i、j、k相連，則這個三角形的面積就分為3個更小的面積A1、A2、A3。圖

三角形單元的自然（面積）坐標

3、線性三角形單元（自然/面積坐標）一般而言，三角形單元的自然(面積)坐標、、定義：注意只有兩個自然坐標是獨立的。因為三角形自然（面積）坐標與形函數(shù)Si、Sj、Sk完全相同：4、二次三角形單元相對于線性三角形單元，二次三角形單元可以提供更為準確的結果。由自然坐標表示的二次三角形單元的形函數(shù)：圖

二次三角形單元

5、軸對稱單元實際工程應用中存在一類特殊的三維問題，其幾何形狀和載荷都關于軸對稱，這類問題可應用二維軸對稱單元來分析。圖

軸對稱單元模型

5、軸對稱單元（三角形單元）對于三角形線性單元，其上任一未知量：以r和z坐標的形式重新表達上面的形函數(shù)，這種坐標常用于軸對稱三角形單元中。5、軸對稱單元（三角形單元）典型軸對稱三角形單元及其坐標如圖所示。用r和z替換X和Y得到如下形函數(shù)：圖

軸對稱三角形單元

5、軸對稱單元（矩形單元）矩形單元形函數(shù)：用r代替x，用z代替y，并利用如下關系：圖

軸對稱矩形單元

5、軸對稱單元（矩形單元）軸對稱矩形單元的形函數(shù)：二、等參單元一維問題中的等參公式和等參單元： 使用單一一組參數(shù)（如形函數(shù)）定義u，v，T等未知變量，并使用同樣的參數(shù)（同一形函數(shù)）表示幾何關系對于二維單元也存在相似情況。二、等參單元以固體力學問題為例：單元內任意一點的位移:單元內任意一點的位置:圖平面應力問題中的四邊形單元

三、平面應力問題1、基本概念與相關公式2、單元剛度矩陣（針對三角形等參單元）3、單元載荷矩陣（針對三角形等參單元）4、單元剛度矩陣（針對四邊形等參單元）1、基本概念與相關公式微元法材料體內任一點圖

任一點上的應力分量外力作用產(chǎn)生內力產(chǎn)生應力、應變如何描述材料體內任一點的應力、應變狀態(tài)？1、基本概念與相關公式(1)任一點的應力狀態(tài)

采用6個獨立的應力分量表示，其中XX、YY、ZZ正應力，XY、YZ、XZ剪應力。

三維問題變?yōu)槠矫鎽栴}：Z方向沒有施加力備注：在應力分量的表示中，第一個下角標對應應力所在面的法向方向，第二個下角標對應應力的方向。1、基本概念與相關公式圖

平面應力狀態(tài)1、基本概念與相關公式(2)任一點的應變狀態(tài)

采用6個獨立的應力分量表示，其中

XX、

YY、

ZZ正應變，

XY、

YZ、

XZ剪應變。

Z方向沒有位移w=0三維問題變?yōu)槠矫鎽儐栴}1、基本概念與相關公式(3)應力和應變的關系---虎克定律

E彈性模量；泊松比；G彈性剪切模量。1、基本概念與相關公式對于平面應力問題，虎克定律變?yōu)椋簯兒臀灰频年P系：2、單元剛度矩陣采用最小總勢能法： 對于由n個單元m個節(jié)點構成的穩(wěn)定系統(tǒng)，平衡位置上產(chǎn)生的位移總會使系統(tǒng)的總勢能最?。簩獑卧獎偠染仃噷獑卧d荷矩陣2、單元剛度矩陣對于平面應力問題，應變能：關鍵：構造應變矩陣的表達形式2、單元剛度矩陣（三角形單元）以線性三角形單元為例：等參公式2、單元剛度矩陣（三角形單元）求關于節(jié)點位移的微分：

得到單元剛度矩陣K(e)：V是單元的體積3、單元載荷矩陣（三角形單元）對于最小總勢能法： 對于由n個單元m個節(jié)點構成的穩(wěn)定系統(tǒng)，平衡位置上產(chǎn)生的位移總會使系統(tǒng)的總勢能最?。簩獑卧獎偠染仃噷獑卧d荷矩陣關鍵：獲得功的表達形式3、單元載荷矩陣（三角形單元）集中載荷Q：

3、單元載荷矩陣（三角形單元）分量為px和py的分布載荷所做的功：如使用三角形單元 表示位移，則分布載荷所做的功：u和v：x和y方向的位移；A：分布載荷作用范圍的面積，其大小為單元厚度t和分布載荷作用邊長的乘積。3、單元載荷矩陣----推導過程推導過程：3、單元載荷矩陣----推導過程3、單元載荷矩陣----推導過程3、單元載荷矩陣沿k－i邊：沿i－j邊：沿j－k邊：4、四邊形等參單元上面針對平面應力問題，采用最小總勢能法，以線性三角形單元為例，推導獲得了單元剛度矩陣和單元載荷矩陣。實際上，對于四邊形等參單元，其方法類似，只不過過程更加繁瑣，這里給出最終結果。4、單元剛度矩陣（四邊形單元）四邊形等參單元的單元剛度矩陣：te

單元厚度；四、軸對稱問題軸對稱問題：幾何形狀和載荷關于某個軸對稱，可用二維軸對稱單元進行分析。軸對稱單元剛度矩陣的推導步驟與平面應力問題類似。差別在于，平面應力問題采用直角坐標系；而軸對稱問題使用柱坐標系。軸對稱三角形單元的剛度矩陣：七、ANSYS中的二維單元ANSYS提供了許多二維單元，這些單元大多數(shù)是基于線性、二次四邊形和三角形形函數(shù)的。下面舉例說明一些二維結構力學單元。五、ANSYS中的二維單元PLANE2：二維6節(jié)點三角形單元每個節(jié)點有2個自由度，即在節(jié)點的x和y方向都能平移。圖ANSYS中的二維單元

五、ANSYS中的二維單元PLANE42：二維4節(jié)點四邊形單元，常用于固體力學問題建模。每個節(jié)點有2個自由度，即每個節(jié)點都能在x和y方向平移。圖ANSYS中的二維單元

五、ANSYS中的二維單元PLANE82：二維8節(jié)點四邊形單元，常用于二維結構問題的建模。PLANE42的高階形式，可用于對含曲線邊界的問題建模，且計算精度更高。每個節(jié)點有2個自由度，即能在x和y方向平移。圖ANSYS中的二維單元

五、ANSYS中的二維單元使用高階單元：可獲得更好的結果和更高的精度；計算時間通常會更長，這是因為它涉及到的單元矩陣數(shù)值積分也更多。六、ANSYS應用設有一支撐書架的鋼托架，E＝29106lb/in2，＝0.3。該托架上表面承受均布載荷，左端固定。試在給定的載荷和約束下，繪制托架變形后的形狀，并確定托架的主應力和vonMises應力。六、ANSYS應用圖

鋼托架示意圖六、ANSYS應用具體過程軟件演示。七、結果驗證基本原理基于靜力平衡條件。具體操作可取