【教案】向量的數(shù)量積教學(xué)設(shè)計-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

9/9§6.2.4向量的數(shù)量積一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：向量的數(shù)量積．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第2節(jié)的第四課時內(nèi)容．教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積，與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣有明顯的幾何意義，用途廣泛，但與向量的線性運算不同的是，數(shù)量積的運算結(jié)果是數(shù)量而不是向量.會計算兩個向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過探究投影向量的表達(dá)式，進(jìn)而得到數(shù)量積的幾何意義，提升直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）通過物理中“功”等實例，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積．（2）通過幾何直觀，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義．（3）會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系．目標(biāo)解析：（1）能從物理中“功”的具體實例中，引出向量的數(shù)量積的概念，能依據(jù)數(shù)量積的概念計算平面向量的數(shù)量積，并能像了解實數(shù)的運算律一樣，通過具體實例了解向量數(shù)量積的性質(zhì)．（2）能從圖形中判斷向量投影與投影向量，知道向量投影是一種正交變換，并能表示投影向量與原向量之間的關(guān)系，能借助向量投影與投影向量體會向量數(shù)量積的幾何意義．（3）知道兩個平面向量的垂直等價于其數(shù)量積為零，并能用這一結(jié)論進(jìn)行向量運算．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點定為：平面向量數(shù)量積的定義，平面向量數(shù)量積的運算．三、教學(xué)問題診斷分析1．教學(xué)問題一：兩個向量夾角的定義是指同一點出發(fā)的兩個向量所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因此向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些常見的誤區(qū)．同時利用向量的數(shù)量積，可以解決兩向量垂直問題，要深刻理解兩向量垂直的充要條件，應(yīng)用的時候才能得心應(yīng)手．解決方案：數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生體驗夾角的概念，強調(diào)夾角一定是共起點的最小角.2．教學(xué)問題二：向量的數(shù)量積是一種新的向量運算，與向量的加法、減法、數(shù)乘運算一樣，它也有明顯的物理意義、幾何意義，用途廣泛．但與向量的線性運算不同的是，它的運算結(jié)果不是向量而是數(shù)量，正是這個不同點溝通了向量運算與數(shù)量之間的關(guān)系．解決方案：強調(diào)兩個非零向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它的值是兩個向量的長度與兩個向量夾角的余弦的乘積.3．教學(xué)問題三：對于向量的數(shù)量積運算，學(xué)生容易受實數(shù)乘法運算性質(zhì)的負(fù)遷移的影響，可能出現(xiàn)一些錯誤，教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生舉一些反例，糾正錯誤．解決方案：引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖、舉反例來澄清認(rèn)識，體會向量運算與實數(shù)運算的差異．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點定為：數(shù)量積的性質(zhì)及其應(yīng)用．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．?dāng)?shù)量積的概念既是本節(jié)課的重點，也是難點.為了突破這一難點，首先無論是在概念的引入還是應(yīng)用過程中，物理中“功”的實例都發(fā)揮了重要作用.其次，作為數(shù)量積概念延伸的性質(zhì)和運算律，不僅能夠使學(xué)生更加全面深刻地理解概念，同時也是進(jìn)行相關(guān)計算和判斷的理論依據(jù).最后，無論是數(shù)量積的性質(zhì)還是運算律，都希望學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上，通過主動探究來發(fā)現(xiàn)，因而對培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力和類比思想都無疑是很好的載體.在教學(xué)設(shè)計中，采取問題引導(dǎo)方式來組織課堂教學(xué)．問題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問題主線，通過自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點，突破教學(xué)難點．在教學(xué)過程中，重視數(shù)量積的概念和運算律，讓學(xué)生在類比的基礎(chǔ)上體會到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過程．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過程與設(shè)計 教學(xué)環(huán)節(jié)問題或任務(wù)師生活動設(shè)計意圖創(chuàng)設(shè)情境引入新知[問題1]我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結(jié)果是什么？[問題2]我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？[問題3]當(dāng)力F與運動方向成某一角度時，力F對物體所做的功等于多少呢？教師1：提出問題1．學(xué)生1：學(xué)生思考．教師2：提出問題2．學(xué)生2：學(xué)生思考．物理模型→概念→性質(zhì)→運算律→應(yīng)用.教師3：提出問題3．學(xué)生3：使學(xué)生在與向量加法類比的基礎(chǔ)上明了本節(jié)課的研究方法和順序，為教學(xué)活動指明方向.探尋規(guī)律，明確概念[問題4]向量的夾角該如何定義？它的范圍是什么？[問題5]你能用文字語言來表述功的計算公式嗎?如果我們將公式中的力與位移推廣到一般向量，其結(jié)果又該如何表述？[問題6]向量的數(shù)量積運算與線性運算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=，求ab．例2.設(shè)|a|=12，|b|=9，ab=，求a與b的夾角θ．[問題7]如圖，在平面內(nèi)任取一點O，作=a,=b,設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則等于什么？[問題8]數(shù)量積的幾何意義是什么？【練習(xí)】已知非零向量a與b的夾角為45°，|a|=2，與b方向相同的單位向量為e,向量a在向量b上的投影向量為c,則c=.[問題9]根據(jù)數(shù)量積的概念，數(shù)量積有哪些性質(zhì)？[問題10]類比數(shù)的乘法運算律，結(jié)合向量的線性運算的運算律，你能得到數(shù)量積運算的哪些運算律？能否證明一下？教師4：提出問題4．學(xué)生4：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作＝a，b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角.范圍是：教師5：我們可以用圖來表示：當(dāng)，a與b同向；當(dāng)，a與b反向；當(dāng)，a與b垂直教師6：提出問題5．學(xué)生5：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積.教師7：明確概念：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為，我們把數(shù)量︱a︱︱b︱cos叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：，即：=︱a︱︱b︱cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0.教師8：提出問題6．學(xué)生6：數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)，線性運算的結(jié)果是向量.學(xué)生7：影響因素有：模長和夾角.教師9：完成表格：角的范圍的符號學(xué)生8：學(xué)生思考，完成表格.教師10：追問：你能用數(shù)量積的概念解決以下問題嗎？學(xué)生9：學(xué)生思考，完成例題.教師11：引入投影向量：如圖，設(shè)a,b是兩個非零向量，＝a，＝b，作如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.教師12：提出問題7.學(xué)生10：=|a|cose.教師13：提出問題8.學(xué)生11：在上的投影向量.教師14：完成練習(xí)學(xué)生12：c=|a|cos45°e=2e=e.教師15：提出問題9：師生共同總結(jié)數(shù)量積的性質(zhì)：(1)ae=ea=|a|cos.(2)a⊥b?ab＝0.(3)當(dāng)a與b同向時，ab＝|a||b|；當(dāng)a與b反向時，ab＝－|a|b|.(4)a·a＝a2=|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2).(5)|ab|≤|a||b|.(6)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).學(xué)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己嘗試推證上述性質(zhì)，教師給予必要的補充和提示，學(xué)生在推導(dǎo)過程中理解并記憶這些性質(zhì).教師16：提出問題10：學(xué)生13：教師17：表格中的結(jié)論有沒有問題？學(xué)生14：數(shù)量積的結(jié)合律一般不成立，因為(a·b)·c是一個與c共線的向量，而(a·c)·b是一個與b共線的向量，兩者一般不同．教師18：向量數(shù)量積的運算律交換律a·b＝b·a對數(shù)乘的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c通過此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)量積的結(jié)果與線性運算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，而且認(rèn)識到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運算律做好鋪墊.通過例題鞏固數(shù)量積的概念．這樣做不僅讓學(xué)生從“形”的角度重新認(rèn)識數(shù)量積的概念，從中體會數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，同時也更符合知識的連貫性.結(jié)合數(shù)量積、投影的概念和幾何意義，讓學(xué)生自己嘗試得到數(shù)量積的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的能力．有了運算方法就有運算律，通過問題讓學(xué)生理解平面向量數(shù)量積運算律，并運用投影向量的性質(zhì)證明數(shù)量積的分配律．典例探究落實鞏固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e為單位向量，它們的夾角為eq\f(2π,3)，則向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用數(shù)量積解決向量的夾角和垂直問題例4.已知非零向量a，b滿足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，則a與b的夾角為()A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,2)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)3利用數(shù)量積求向量的模例5.已知|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|的值．[課堂練習(xí)1]設(shè)向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=，則a·b=（）．A．1

B．2

C．3D．5[課堂練習(xí)2]設(shè)向量a，b滿足|a|=|b|=1，a·b=,則|a+2b|=_____.教師19：完成例3學(xué)生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4coseq\f(2π,3)e=－2e.因為與向量a方向相同的單位向量為=，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθ=coseq\f(2π,3)=－a.教師20：完成例4學(xué)生16：由題意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－2a2,4a2)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝eq\f(2π,3)，故選C．教師21：完成例5學(xué)生17：因為a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝25，a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×coseq\f(π,3)＝eq\f(25,2)，所以|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋b2＋2a·b)＝eq\r(25＋25＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2＋b2－2a·b)＝eq\r(25＋25－25)＝5.教師18：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生16：完成課堂練習(xí)，并訂正答案．通過例題，讓學(xué)生熟悉向量數(shù)量積的運算．課堂練習(xí)1：考查學(xué)生對平面向量數(shù)量積運算的掌握情況課堂練習(xí)2：考查學(xué)生通過平面向量數(shù)量積運算求向量的模的能力．課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問題11]通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1.若|m|＝4，|n|＝6，m與n的夾角為135°，則m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－122.若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則a的模為()A．2B．4C．6D．123.已知|a|＝|b|＝1，a與b的夾角是90°，