【教案】余弦定理、正弦定理第1課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

7/7§6.4.3余弦定理、正弦定理(第1課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：余弦定理．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第一章第4節(jié)的內(nèi)容．本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個(gè)考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系,如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系?”并進(jìn)而指出,“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知,如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”,還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn)，在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解，求證目的啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí)注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引起充分重視．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．（2）會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．（3）借助于向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系，體會(huì)邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．目標(biāo)解析：（1）用向量的數(shù)量積證明余弦定理，充分體現(xiàn)了向量的優(yōu)勢(shì)．（2）結(jié)合余弦定理的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)余弦定理具有輪換性，因此公式的選擇既分散又統(tǒng)一，這也為利用余弦定理解決問(wèn)題增加了難度．（3）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，但數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機(jī)會(huì)去落實(shí)．在余弦定理的教學(xué)中，從特殊的三角形的邊角特點(diǎn)即勾股定理歸納概括一般三角形的特點(diǎn)是進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象教學(xué)的很好機(jī)會(huì)．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：掌握余弦定理及其推論．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1．教學(xué)問(wèn)題一：怎樣證明余弦定理是本節(jié)課的第一個(gè)教學(xué)問(wèn)題．是本節(jié)課的重點(diǎn)．解決方案：將用三角形的兩邊及夾角表示第三邊問(wèn)題用向量表示出來(lái)，利用數(shù)量積運(yùn)算得到余弦定理的內(nèi)容．2．教學(xué)問(wèn)題二：利用余弦定理解決解三角形的問(wèn)題是本節(jié)的第二個(gè)教學(xué)問(wèn)題．是本節(jié)的難點(diǎn)．解決方案：抓住余弦定理的邊角特點(diǎn)，從方程的角度解決問(wèn)題．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：掌握余弦定理的綜合應(yīng)用．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問(wèn)題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納得到余弦定理，應(yīng)該為學(xué)生創(chuàng)造積極探究的平臺(tái)．因此，在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)學(xué)生分組探究，合作交流的教學(xué)方式，可以讓學(xué)生從被動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)轉(zhuǎn)到主動(dòng)學(xué)習(xí)狀態(tài)中來(lái)．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線(xiàn)，通過(guò)自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過(guò)程中，重視余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過(guò)程，同時(shí)，定理的證明與定理的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境生成問(wèn)題如圖，某隧道施工隊(duì)為了開(kāi)鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道的長(zhǎng)度.工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，再利用經(jīng)緯儀測(cè)出A對(duì)山腳BC(即線(xiàn)段BC)的張角∠BAC＝150°.如何計(jì)算山腳BC的長(zhǎng)度？ 通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的研究興趣探索交流獲得結(jié)論[問(wèn)題1]已知一個(gè)三角形的兩條邊及其它們的夾角，這個(gè)三角形的大小、形狀能完全確定嗎？[問(wèn)題2]在△ABC中，如果已知邊a，b和角C，那么從向量的角度考慮，邊c的長(zhǎng)度可視為什么？向量eq\o(AB,\s\up6(→))如何用已知邊所對(duì)應(yīng)的向量表示？如何求出|eq\o(AB,\s\up6(→))|？[問(wèn)題3]在△ABC中，已知三條邊，如何求出其三個(gè)內(nèi)角？教師1：提出問(wèn)題1．學(xué)生1：根據(jù)三角形全等的判斷方法可知，這個(gè)三角形的大小、形狀是完全確定的．教師2：提出問(wèn)題2．學(xué)生2：，所以.同理可證：教師3：總結(jié)余弦定理：文字語(yǔ)言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號(hào)語(yǔ)言：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.教師4：提出問(wèn)題3．學(xué)生3：可將余弦定理中的三個(gè)公式變形為cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教師5：總結(jié)余弦定理推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教師6：解三角形定義：一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.通過(guò)探究，由向量證明余弦定理，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力.通過(guò)思考，推導(dǎo)余弦定理的推論，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.典例分析鞏固落實(shí)1.已知兩邊及一角解三角形例1.在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解這個(gè)三角形.2.已知三邊解三角形例2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大內(nèi)角.3.判斷三角形形狀例3.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大?。?2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，試判斷△ABC的形狀.[課堂練習(xí)]1.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.2.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于()A．90°B．60°C．120°D．150°教師7：完成例1．學(xué)生4：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.當(dāng)c＝3時(shí)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；當(dāng)c＝6時(shí)，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.綜上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.教師8：完成例2．學(xué)生5：由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大邊，其所對(duì)角C為最大內(nèi)角.由余弦定理推論得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大內(nèi)角為120°.教師9：完成例3．學(xué)生6：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，與①聯(lián)立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC為等邊三角形.教師10：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生7：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．通過(guò)例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解余弦定理，提高學(xué)生解決與分析問(wèn)題的能力.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問(wèn)題4]通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為_(kāi)_______．4．在△ABC中，內(nèi)角A