【教案】余弦定理、正弦定理第1課時教學設計-2022-2023學年高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

7/7§6.4.3余弦定理、正弦定理(第1課時）一、內容和內容解析內容：余弦定理．內容解析：本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第一章第4節(jié)的內容．本節(jié)課在證明了余弦定理及其推論以后,教科書從余弦定理與勾股定理的比較中,提出了一個考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系,余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系,如何看這兩個定理之間的關系?”并進而指出,“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質可知,如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方,那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方那么第三邊所對的角是銳角.由上可知,余弦定理是勾股定理的推廣”,還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式并總結余弦定理的適用題型的特點，在解題時正確選用余弦定理達到求解，求證目的啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產生聯(lián)系，在應用向量知識的同時注意使學生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系，教學中應當引起充分重視．二、目標和目標解析目標：（1）掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)．（2）會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．（3）借助于向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，體會邏輯推理及數(shù)學運算素養(yǎng)．目標解析：（1）用向量的數(shù)量積證明余弦定理，充分體現(xiàn)了向量的優(yōu)勢．（2）結合余弦定理的結構特點可以發(fā)現(xiàn)余弦定理具有輪換性，因此公式的選擇既分散又統(tǒng)一，這也為利用余弦定理解決問題增加了難度．（3）數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學教學的重要目標，但數(shù)學核心素養(yǎng)需要在每一堂課中尋找機會去落實．在余弦定理的教學中，從特殊的三角形的邊角特點即勾股定理歸納概括一般三角形的特點是進行數(shù)學抽象教學的很好機會．基于上述分析，本節(jié)課的教學重點定為：掌握余弦定理及其推論．三、教學問題診斷分析1．教學問題一：怎樣證明余弦定理是本節(jié)課的第一個教學問題．是本節(jié)課的重點．解決方案：將用三角形的兩邊及夾角表示第三邊問題用向量表示出來，利用數(shù)量積運算得到余弦定理的內容．2．教學問題二：利用余弦定理解決解三角形的問題是本節(jié)的第二個教學問題．是本節(jié)的難點．解決方案：抓住余弦定理的邊角特點，從方程的角度解決問題．基于上述情況，本節(jié)課的教學難點定為：掌握余弦定理的綜合應用．四、教學策略分析本節(jié)課的教學目標與教學問題為我們選擇教學策略提供了啟示．為了讓學生通過觀察、歸納得到余弦定理，應該為學生創(chuàng)造積極探究的平臺．因此，在教學過程中通過學生分組探究，合作交流的教學方式，可以讓學生從被動學習狀態(tài)轉到主動學習狀態(tài)中來．在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點．在教學過程中，重視余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學生體會到從特殊到一般是數(shù)學抽象的基本過程，同時，定理的證明與定理的應用其實就是數(shù)學模型的建立與應用的典范．因此，本節(jié)課的教學是實施數(shù)學具體內容的教學與核心素養(yǎng)教學有機結合的嘗試．五、教學過程與設計教學環(huán)節(jié)問題或任務師生活動設計意圖創(chuàng)設情境生成問題如圖，某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道的長度.工程技術人員先在地面上選一適當?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，其中AB＝eq\r(3)km，AC＝1km，再利用經緯儀測出A對山腳BC(即線段BC)的張角∠BAC＝150°.如何計算山腳BC的長度？ 通過實際問題，激發(fā)學生的研究興趣探索交流獲得結論[問題1]已知一個三角形的兩條邊及其它們的夾角，這個三角形的大小、形狀能完全確定嗎？[問題2]在△ABC中，如果已知邊a，b和角C，那么從向量的角度考慮，邊c的長度可視為什么？向量eq\o(AB,\s\up6(→))如何用已知邊所對應的向量表示？如何求出|eq\o(AB,\s\up6(→))|？[問題3]在△ABC中，已知三條邊，如何求出其三個內角？教師1：提出問題1．學生1：根據(jù)三角形全等的判斷方法可知，這個三角形的大小、形狀是完全確定的．教師2：提出問題2．學生2：，所以.同理可證：教師3：總結余弦定理：文字語言：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.符號語言：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.教師4：提出問題3．學生3：可將余弦定理中的三個公式變形為cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教師5：總結余弦定理推論：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).教師6：解三角形定義：一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.通過探究，由向量證明余弦定理，提高學生分析問題、概括能力.通過思考，推導余弦定理的推論，提高學生解決問題的能力.典例分析鞏固落實1.已知兩邊及一角解三角形例1.在△ABC中，a＝3eq\r(3)，b＝3，B＝30°，解這個三角形.2.已知三邊解三角形例2.在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，求其最大內角.3.判斷三角形形狀例3.已知△ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.(1)求角A的大小；(2)若b＋c＝2a＝2eq\r(3)，試判斷△ABC的形狀.[課堂練習]1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝5，b＝3，cosC是方程5x2＋7x－6＝0的根，求c.2.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A等于()A．90°B．60°C．120°D．150°教師7：完成例1．學生4：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacosB，即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.當c＝3時，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°；當c＝6時，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，∵0°<A<180°，∴A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°.綜上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3.教師8：完成例2．學生5：由于a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨設a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0).因此c是最大邊，其所對角C為最大內角.由余弦定理推論得：cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(9k2＋25k2－49k2,2·3k·5k)＝－eq\f(1,2)，∵0°<C<180°，∴C＝120°，即最大內角為120°.教師9：完成例3．學生6：(1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，∴a2＝b2＋c2－bc，而a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2cosA＝1，∴cosA＝eq\f(1,2).∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3).(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，且a＝eq\r(3)，∴(eq\r(3))2＝b2＋c2－2bc·eq\f(1,2)＝b2＋c2－bc.①又∵b＋c＝2eq\r(3)，與①聯(lián)立，解得bc＝3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＋c＝2\r(3)，,bc＝3，))∴b＝c＝eq\r(3)，于是a＝b＝c＝eq\r(3)，即△ABC為等邊三角形.教師10：布置課堂練習1、2．學生7：完成課堂練習，并核對答案．通過例題的講解，讓學生進一步理解余弦定理，提高學生解決與分析問題的能力.課堂小結升華認知[問題4]通過這節(jié)課，你學到了什么知識？在解決問題時，用到了哪些數(shù)學思想？[課后練習]1．在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°3．在△ABC中，若a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．4．在△ABC中，內角A