惠州市2023屆高三第一次調(diào)研考試(理數(shù))

惠州市2023屆高三第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理科）全卷滿分150分，時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)、學(xué)校、班級(jí)等考生信息填寫在答題卡上。2．作答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無(wú)效。3．非選擇題必須用黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.（1）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）(A) (B) (C) (D)（2）已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值集合為（）(A)(B)(C)(D)（3）函數(shù)的最小正周期為，則（） (A) (B) (C) (D)（4）下列有關(guān)命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）(A)若“”為假命題，則與均為假命題；(B)“”是“”的充分不必要條件；(C)若命題，則命題；(D)“”的必要不充分條件是“”.（5）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）(A)(B)(C)(D)（6）“牟合方蓋”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過(guò)程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體。它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）。其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線。當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是（）(A)(B) (C)(D)輸出S結(jié)束輸入i=1是開(kāi)始i=i+1S=0i≥8?否S輸出S結(jié)束輸入i=1是開(kāi)始i=i+1S=0i≥8?否S=S/8(A) (B) (C)(D)（8）對(duì)一個(gè)作直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程觀測(cè)了8次，得到如下表所示的數(shù)據(jù).觀測(cè)次數(shù)12345678觀測(cè)數(shù)據(jù)4041434344464748在上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析中，一部分計(jì)算見(jiàn)如圖所示的算法流程圖(其中是這8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))，則輸出的的值是（）(A)6(B)7(C)8(D)9（9）已知和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()(A) (B)(C) (D)（10）已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為，則這個(gè)四棱錐外接球的表面積為（）(A)(B)(C)(D)（11）已知函數(shù)，若且對(duì)任意恒成立，則的最大值為（）(A)3(B)4(C)5(D)6（12）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則（）(A) (B)4 (C)3(D)2二．填空題：本題共4小題，每小題5分。（13）若實(shí)數(shù)x，y滿足的約束條件，則函數(shù)的最大值是．（14）已知向量，且與共線，則的值為．（15）某公司招聘5名員工，分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中2名英語(yǔ)翻譯人員不能分給同一部門，另3名電腦編程人員不能都分給同一部門，則不同的分配方案種數(shù)是．（16）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，對(duì)任意大于2的正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為，把的各項(xiàng)擺成如圖所示的三角形數(shù)陣，則數(shù)陣中第17行由左向右數(shù)第10個(gè)數(shù)為_(kāi)__________．…………三．解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。（17）（本小題滿分12分）在中，銳角滿足.（1）求角的大??；（2）點(diǎn)在邊上，，，，求的面積。（18）（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱的底面是菱形，側(cè)面是正方形，，是棱的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的平面交棱于點(diǎn)，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．（19）（本小題滿分12分）如圖，橢圓E：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓E的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線與橢圓E交于不同兩點(diǎn)P，Q（均異于點(diǎn)A），證明：直線AP與AQ的斜率之和為定值．（20）（本小題滿分12分）甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪70元，每單抽成2元；乙公司無(wú)底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成4元，超出40單的部分每單抽成6元．假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其100天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)2040201010乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表送餐單數(shù)3839404142天數(shù)1020204010（1）現(xiàn)從甲公司記錄的這100天中隨機(jī)抽取兩天，求這兩天送餐單數(shù)都大于40的概率；（2）若將頻率視為概率，回答以下問(wèn)題：（?。┯浺夜舅筒蛦T日工資為(單位：元),求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請(qǐng)利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說(shuō)明理由.（21）（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（1）試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。答題時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑。（22）（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心C，半徑．（1）求圓C的極坐標(biāo)方程；（2）若，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線交圓C于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)的取值范圍．（23）（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，解不等式：．?dāng)?shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題：題號(hào)123456789101112答案BDCDABABCCBD（1）【解析】B；，其共軛復(fù)數(shù)為；（2）【解析】D；注意當(dāng)時(shí)，，也滿足，故選D；（3）【解析】C；，，；（4）【解析】D；由題可知：時(shí)，成立，所以滿足充分條件；但時(shí)，不一定為，所以必要條件不成立，故D錯(cuò)；（5）【解析】A；設(shè)的公比為，則，，，或（舍），；（6）【解析】B；因?yàn)橄鄬?duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合在一起的方形傘，所以其正視圖和側(cè)視圖是一個(gè)圓。俯視圖是從上向下看，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，所以俯視圖是有2條對(duì)角線且為實(shí)線的正方形，故選B；（7）【解析】A；由題意是指數(shù)型的，是對(duì)數(shù)型的且是一個(gè)偶函數(shù)，由，可得出，故，故，由此特征可以確定C、D兩選項(xiàng)不正確，且是一個(gè)減函數(shù)，由此知B不對(duì)，A選項(xiàng)是正確答案，故選A；（8）【解析】B；，.故選B；（9）【解析】C；設(shè)，是等邊三角形，，，，因此.故選C；（10）【解析】C；可求出正四棱錐的高為3．設(shè)其外接球的半徑為，則由兩者的位置關(guān)系可得，解得，所以．故選C.（11）【解析】B；考慮直線與曲線相切時(shí)的情形。設(shè)切點(diǎn)為，此時(shí)，即，化簡(jiǎn)得：，設(shè)，由于，。故，所以切線斜率的取值范圍是，又，，選B；（12）【解析】D；設(shè)直線，，將直線方程代入拋物線方程得：，由韋達(dá)定理得：①，分別過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，即②，解得，，故選D。二、填空題：（13）（14）（15）（16）（13）【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，在點(diǎn)處取得最大值，∴．（14）【解析】向量，，，又與共線，可得，解得．（15）【解析】由題意可得，有2種分配方案：①甲部門要2個(gè)電腦編程人員，則有3種情況；兩名英語(yǔ)翻譯人員的分配有2種可能；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有3×2=6種分配方案．②甲部門要1個(gè)電腦編程人員，則有3種情況電腦特長(zhǎng)學(xué)生，則方法有3種；兩名英語(yǔ)翻譯人員的分配方法有2種；共3×2=6種分配方案．由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的分配方案共有6+6=12種。（16）【解析】設(shè)，則，由題意，當(dāng)，時(shí)，取最小值1，當(dāng)，時(shí)，取最大值，易知可取遍，即.數(shù)陣中前16行共有個(gè)數(shù)，所以第17行左數(shù)第10個(gè)數(shù)為。三、解答題：（17）解析：（1），…………2分，，…………4分又，.…………6分（2）由（1）可知為等邊三角形，且，在中，，即，，…………9分，即，，故，…………11分…………12分（18）（1）設(shè)四棱柱的棱長(zhǎng)為∵，∽，∴由，，得，………2分∵，∴，…………3分是直四棱柱，，又，∴，∵，∴平面…………4分∵平面，∴平面平面…………5分（2）（方法一）過(guò)作于，于，連接……6分由平面平面，平面平面，平面…………7分∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角…………9分在中，，，，，在中，，，，（、（求得任何一個(gè)給2分，兩個(gè)全對(duì)給3分），…………12分（方法二）以為原點(diǎn)，、所在直線為軸、軸，平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，…………7分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即，不妨取，…………9分由（1）知，，平面的一個(gè)法向量為…………11分二面角的平面角的余弦值…………12分（19）解：（1）由題意知，b＝1，，…………2分所以橢圓E的方程為．…………4分（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由題意知Δ＞0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x2≠0，則，，…………6分所以…………9分故直線AP與AQ的斜率之和為定值2．…………12分（20）解：（1）記“抽取的兩天送餐單數(shù)都大于40”為事件，則；…………4分（2）（?。┰O(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的所有可能取值為152，156，160，166，172．…………6分故的分布列為：152156160166172．…………8分（ⅱ）依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為．……10分所以甲公司送餐員日平均工資為元．…………11分由（?。┑靡夜舅筒蛦T日平均工資為元．因?yàn)椋释扑]小明去乙公司應(yīng)聘．…………12分（21）解：（1）由得，令，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即直線與曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，……1分如圖，由得，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，由得，∴函數(shù)在單調(diào)遞減。∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，…………3分又當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。…………6分（2）證明：證法一：函數(shù)的零點(diǎn)即直線與曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，由（1）知，不妨設(shè)，得，∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；要證，只需證，∴只需證，…………8分又，即要證∵由得構(gòu)造函數(shù)，則，……10分當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即當(dāng)時(shí)，，即.…………12分證法二：由（1）知，不妨設(shè)，設(shè)，，…………8分由，易知是減函數(shù)，當(dāng)，，又，得，所以在遞增，，即……10分由得，又，，由在上單調(diào)遞增，得在單調(diào)遞減，又，，即.…………12分（22）解：（1）∵點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為，…………1分∴圓C的直角坐標(biāo)方程為．…………2分化為極坐標(biāo)方程是…………4分（2）將代入圓C的直角坐