初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)名師萊布尼茨

萊布尼茨萊布尼茨數(shù)學(xué)微積分1666年，萊布尼茨寫成“論組合術(shù)"(DeArtCombinatoria)一文，討論了平方數(shù)序列0,1，4，916，…的性質(zhì)，例如它的第一階差為1，3，5，7，…，第二階差則恒等于2，2，2，…等.他注意到，自然數(shù)列的第二階差消失，平方序列的第三階差消失，等等.同時(shí)他還發(fā)現(xiàn)，如果原來的序列是從0開始的，那么第一階差之和就是序列的最后一項(xiàng)，如在平方序列中，前5項(xiàng)的第一階差之和為1+3+5+7=16,即序列的第5項(xiàng).他用X表示序列中項(xiàng)的次序，用丫表示這一項(xiàng)的值.這些討論為他后來創(chuàng)立微積分奠定了初步思想，可以看作是他微積分思想的萌芽.“論組合術(shù)”是他的第一篇數(shù)學(xué)論文，使他躋身于組合數(shù)學(xué)研究者之列.1672年，惠更斯給萊布尼茨出了一道他自己正同別人競(jìng)賽的題目：求三角級(jí)數(shù)(1，3,6，10，…)倒數(shù)的級(jí)數(shù)之和萊布尼茨圓滿地解決了這一問題，他是這樣計(jì)算的：初次成功激發(fā)了他進(jìn)一步深入鉆研數(shù)學(xué)的興趣.通過惠更斯，他了解到B.卡瓦列里(Cavalieri)、I.巴羅(Barrow)、B.帕斯卡(Pascal)、J沃利斯(Wallis)的工作.于是，他開始研究求曲線的切線以及求平面曲線所圍圖形的面積、立體圖形體積等問題.1674年，他學(xué)習(xí)R.笛卡兒(Descartes)幾何學(xué)，同時(shí)對(duì)代數(shù)性發(fā)生了興趣.這一時(shí)期，他檢索了已有的數(shù)學(xué)文獻(xiàn).對(duì)于當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)界密切關(guān)注的切線問題和求積問題，萊布尼茨在前人的基礎(chǔ)上提出了一個(gè)普遍方法.這個(gè)方法的核心是特征三角形(characteristictriangle).在帕斯卡、巴羅等人討論過的特征三角形的基礎(chǔ)上，他建立了由dx，dy和PQ(弦)組成的特征三角形.其中dx，dy的意義是這樣的：在他1666年“論組合術(shù)”中所考慮的序列中，用dx表示相鄰的序數(shù)之差，dy表示兩個(gè)相鄰項(xiàng)值之差，然后在數(shù)列項(xiàng)的順序中插入若干dx，dy，于是過渡到了任意函數(shù)的dx，dy.特征三角形的兩條邊就是任意函數(shù)的dx，dy；而PQ則是“P和Q之間的曲線，而且是T點(diǎn)的切線的一部分”.如圖1，T是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，dx，dy分別是橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的差值.利用這個(gè)特征三角形，他很快就意識(shí)到兩個(gè)問題：(1)曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值(當(dāng)這些差值變成無窮小時(shí))之比.通過考慮圖1中APOR和△STU，發(fā)現(xiàn)△PQRs^STU，從而有dy/dx=Tu/Su.也就是說，曲線y上過T點(diǎn)的切線的斜率是dy/dx.(2)求積(面積)依賴于橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間的縱坐標(biāo)之和或無限窄矩形之和.“毫不費(fèi)力，我有了這些思想，他很快就推導(dǎo)出了一大批新結(jié)論.用他自己的話說就是，從特征三角形出發(fā),“毫不費(fèi)力，我確立了無數(shù)的定理”.根據(jù)萊布尼茨留下的遺稿可以判定，他是在1673年建立起特征三角形思想的.他將圖1中特征三角形的斜邊PQ用“dS”表示，這樣特征三角形又稱為微分三角形（differentialtriangle）如圖2，其中ds2=dx2+dy2.利用特征三角形，萊布尼茨早在1673年就通過積分變換，得到了平面曲線的面積公式這一公式是從幾何圖形中推導(dǎo)出來的，經(jīng)常被他用來求面積.1673—1674年，他給出了求一條曲線y=y（x）繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積A的公式同時(shí)，他還給出了曲線長(zhǎng)度公式在求面積問題方面，萊布尼茨深受卡瓦列里“線由無窮多個(gè)點(diǎn)構(gòu)成，面由無窮多條線構(gòu)成”思想的影響，認(rèn)為曲線下的面積是無窮多的小矩形之和.1675年10月29日，他用“1”代替了以前的和符號(hào)“Omn”（“/”是Sum和）的第一個(gè)字母“s”的拉長(zhǎng)），用/ydx表示面積，在這份手稿中，他還從求積出發(fā)，得到了分部積分公式1676年11月，他得出了公式其中n是整數(shù)或分?jǐn)?shù)（nW-1）.萊布尼茨的積分方面的工作是與微分方面的工作交叉進(jìn)行的.由于研究巴羅的著作，以及引入特征三角形，萊布尼茨越來越強(qiáng)烈地意識(shí)到，微分（主要是導(dǎo)數(shù)、求切線）與積分（求和）必定是相反的過程.在1675年10月29日的手稿中，他就注意到，面積被微分時(shí)必定給出長(zhǎng)度，因此他開始探討“1”的運(yùn)算（積分）和“d”的運(yùn)算（微分）之間的關(guān)系，認(rèn)識(shí)到要從y回到dy,必須做出y的微差或者取y的微分.經(jīng)過這種不充分的討論，他斷定一個(gè)事實(shí)：作為求和的過程的積分是微分的逆.這樣，萊布尼茨就第一次表達(dá)出了求和（積分）與微分之間的關(guān)系.萊布尼茨于1675—1676年給出了微積分基本定理（后來又稱為牛頓-萊布尼茨公式）（A為曲線f下的圖形的面積，圖3.）于1693年給出了這個(gè)定理的證明.以前，微分和積分作為兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算、兩類數(shù)學(xué)問題，是分別地加以研究的.卡瓦列里、巴羅、沃利斯等許多人得到了一系列求面積（積分）、求切線斜率（導(dǎo)數(shù)）的重要結(jié)果，但這些結(jié)果是孤立、不連貫的.雖然他們已開始考慮微分和積分之間的關(guān)系，然而只有萊布尼茨和牛頓（各自獨(dú)立地）將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者的內(nèi)在的直接聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算.而這正是建立微積分學(xué)的關(guān)鍵所在.只有確立了這一基本關(guān)系，才能在此基礎(chǔ)上構(gòu)建系統(tǒng)的微積分學(xué).并從對(duì)各種函數(shù)的微分和求積公式中，總結(jié)出共同的算法程序，使微積分方法普遍化，發(fā)展成用符號(hào)表示的微積分運(yùn)算法則.萊布尼茨于1684年10月發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》（Actaerudito-rum）上的論文，題目是“一種求極大值與極小值和求切線的新方法，它也適用于無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算”（NovaMethodusproMaximisetMinimis,itemquetangentibus,quaenecfractas,necirrationalesquantitatesmoratur,etsingulareproillisCalculigenus）,在數(shù)學(xué)史上被公認(rèn)為是最早發(fā)表的微積分文獻(xiàn).早在1677年7月11日前后及11月左右，萊布尼茨明確定義Ydy為函數(shù)微分，給出Ydy的演算規(guī)則：“如果a是給定的常數(shù)，則da=0，dax=adx；力口法和減法v=z-y+w+x,dv=dz-dy+dw+dx；乘法y=vx,dy=vdx+xdv在1676—1677年的手稿中，他利用特征三角形分析了曲線切線的變化情況：對(duì)于曲線v=v（x）,當(dāng)dv與dx之比為無窮大時(shí)，切線垂直于坐標(biāo)軸（x軸）.當(dāng)dv與dx之比等于0時(shí)，切線平行于x軸，當(dāng)dv=dxW0時(shí)，則切線與坐標(biāo)軸成45°角，他指出，對(duì)于曲線v,當(dāng)dv=0時(shí)，”在這個(gè)位置的v,明顯地就是極大值（或極小值）”，他詳細(xì)討論了當(dāng)dv<0,而變成dv=0后又dv<0時(shí)取極大值，反之則取極小值的情形.他還給出了拐點(diǎn)一一曲線的凹凸情況發(fā)生變法的條件是d2V=0.以后，萊布尼茨具體求出了各種各樣復(fù)雜函數(shù)的微商（導(dǎo)數(shù)）.1686年，給出了對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的微商.1695年求出Yy=xx的微商dy=xx（1+lnx）,等等.他引入了9階微分的符號(hào)dn,并且給出了高階微分的“萊布尼茨法則”：其中n!=1X2X3X-X（n-1）Xn.萊布尼茨在積分方面的成就，后來比較集中地寫在1686年5月發(fā)表在《教師學(xué)報(bào)》上的一篇論文中，題為“潛在的幾何與不可分量和無限的分析”（DeGeometriareconditaetAnalysiIndivisi-biliumatqueInfinitorum）.品中出現(xiàn)了積分符號(hào).同年，他引入了空間曲線的“密切”（osculating）這一術(shù)語，并給出了曲率P公式：其中R為曲率半徑.1692年和1694年，他給出了求一族曲線f（x,y,a）=0（a為曲線族參數(shù)）包絡(luò)的普遍方法：在中消去a.實(shí)際上，用微積分方法研究幾何在微積分奠基者（牛頓、萊布尼茨等）那里已經(jīng)開始了.切線、包絡(luò)等幾何問題在萊布尼茨手中是與微積分連在一起的.無窮級(jí)數(shù)在微積分的早期研究中，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當(dāng)困難，然而人們發(fā)現(xiàn)，若用它們的級(jí)數(shù)來處理，則非常有成效.因此，無窮級(jí)數(shù)從一開始就是萊布尼茨、牛頓等人微積分工作的一個(gè)重要部分.有時(shí)使用無窮級(jí)數(shù)是為了計(jì)算一些特殊的量，如萊布尼茨曾用無窮級(jí)數(shù)表達(dá)式計(jì)算n（圓周率）.在求面積的過程中，通過無窮級(jí)數(shù)表示圓在第一象限的面積，他得到了n的一個(gè)十分漂亮的表達(dá)式（圖4）：1673年左右，他獨(dú)立地得到了$血乂，。。$乂和arctgx等函數(shù)的無窮級(jí)數(shù)展開式.還得到了圓面積和雙曲線面積的具體展開式，并且將這些展開式與反正切、余割、正弦函數(shù)、自然對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來了.他經(jīng)常利用級(jí)數(shù)展開式研究超越函數(shù).有時(shí)還將多項(xiàng)式定理用于分式函數(shù)或超越函數(shù)的展開式.無窮級(jí)數(shù)展開式，得到了如下的式子:誤的.直到1734—1735年，L.歐拉(Euler)才得到在1713年10月25日寫給約翰?伯努利(JohnBernoulli)的信中，萊布“萊布尼茨判別法”，但他當(dāng)時(shí)的證明卻錯(cuò)了.在考慮級(jí)數(shù)還相當(dāng)混亂.微分方程微分方程在微積分創(chuàng)立之初就為人們所關(guān)注.1693年，萊布尼茨稱微分方程為特征三角形的邊(dx,dy)的函數(shù).在微分方程方面，他進(jìn)行了一系列工作.其中有些工作是十分獨(dú)特的.1691年，他提出了常微分方程的分離變量法，解決了形如型方程的求解問題.方法是，先寫成然后兩邊積分.這一年，他還提出了求解一次齊次方程的方法：因此經(jīng)過這種變換，原來的一次齊次方程就變成了1694年，他證明了把一階線性常微分方程y,+P(x)y=Q(x)化成積分方程的正確方法，他的方法使用了因變量替換.同時(shí)，他還給出Y(y,)2+p(x)y,+q(x)=0的解法.1694年，他和約翰?伯努利引進(jìn)了找等交曲線或曲線族的問題，并求出了一些特殊問題的解.1696年，他證明了，利用變量替換2=丫1-4可以將伯努利方程變換x=P11u+P12v,y=P21u+P22V可以將微分方程a00+a10x+(a01+a11x)y'=0進(jìn)行簡(jiǎn)化.通過求解微分方程，萊布尼茨解決了許多具體問題.例如，1686年，他解決了這樣的問題：求一條曲線，使得一個(gè)擺沿著它作一次完全振動(dòng)，都用相等的時(shí)間，而無論擺所經(jīng)歷的弧長(zhǎng)怎樣(即等時(shí)問題).他指出，證明，并認(rèn)識(shí)到了圓函數(shù)、三角函數(shù)的超越性，弄清了許多超越函數(shù)的基本性質(zhì).此外，他還考慮過概率方程.這一時(shí)期，他還求出了十分重要的曳物線方程：1691年，他給出了自達(dá)?芬奇(L.DaVinci)時(shí)代就考慮過的懸鏈線(catenary,這個(gè)名稱是萊布尼茨給出的)方程為1696年，約翰?伯努利提出了著名的最速降線問題：求從一給定點(diǎn)到不是在它垂直下方的另一點(diǎn)的一條曲線，使得一質(zhì)點(diǎn)沿這條曲線從給定點(diǎn)P1下滑所用的時(shí)間最短(圖5)；其中摩擦和空氣阻力都忽略.這是約翰?伯努利向全歐洲數(shù)學(xué)家發(fā)出的挑戰(zhàn).1697年，萊布尼茨和I.牛頓(Newton)、G.F.A.洛比達(dá)(L’Hospital)、約翰?伯努利分別解決了最速降線問題，指出這是由方程表示的上凹的旋輪線，并由此開始了變分法的研究.數(shù)學(xué)符號(hào)、代數(shù)萊布尼茨在微積分方面的貢獻(xiàn)突出地表現(xiàn)在他發(fā)明了一套適用的符號(hào)系統(tǒng).1675年引入dx表示x的微分，“/”表示積分，ddv,dddy表示二階、三階微分.1695年左右用dmn表示m階微分.他比別人更早更明確地認(rèn)識(shí)到，好的符號(hào)能大大節(jié)省思維勞動(dòng)，運(yùn)用符號(hào)的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一.他自覺地和格外慎重地引入每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)，常常對(duì)各種符號(hào)進(jìn)行長(zhǎng)期的比較研究，然后再選擇他認(rèn)為最好的、富有啟示性的符號(hào).他創(chuàng)設(shè)的符號(hào)還有此外還有對(duì)數(shù)符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、行列式符號(hào)等等.很多符號(hào)的普遍使用與他的提倡和影響密切相關(guān).他還引入了"函數(shù)”(function)、“常量”(constantquantity)、變量"(variate)、“參變量"(para-meter)等術(shù)語.在代數(shù)學(xué)方面，萊布尼茨不僅強(qiáng)調(diào)引入符號(hào)的重要性，而且還討論了負(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的性質(zhì)，認(rèn)為復(fù)數(shù)的出現(xiàn)是無害的，斷言復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)是不存在的，為此曾在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)關(guān)于負(fù)數(shù)、虛數(shù)的對(duì)數(shù)之爭(zhēng)論.在研究復(fù)數(shù)時(shí)，他還得出過這樣的結(jié)論：共軛復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)用一般的復(fù)數(shù)表示.他把虛數(shù)看作是存在(being)與非存在(not-being)的中介.在1678年以前，萊布尼茨就開始了對(duì)線性方程組、行列式的研究，對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討.在1693年4月28日致洛比達(dá)的信中他提出了行列式概念：“我引進(jìn)方程：此處，在兩個(gè)數(shù)碼中，前者表示此數(shù)所屬的方程式，后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù)).”這樣，他創(chuàng)設(shè)了采用兩個(gè)數(shù)碼的系數(shù)記號(hào)，相當(dāng)于現(xiàn)在的aik,為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具.二進(jìn)位制萊布尼茨發(fā)明二進(jìn)位制的時(shí)間，大約是在1672—1676年的巴黎時(shí)期.1679年3月15日，萊布尼茨寫了題為“二進(jìn)位算術(shù)"(DeI’arthmetiquebinaire)的論文.文中對(duì)二進(jìn)位制進(jìn)行了相當(dāng)充分的討論，與十進(jìn)位制進(jìn)行了比較：給出了將二進(jìn)位數(shù)改寫成十進(jìn)位制數(shù)的法則：1011000(二進(jìn)位制)寫成十進(jìn)位制數(shù)就是26+0+24+23+0+0+0=64+16+8二88.下面就是1679年3月15日手稿的一頁(yè)(見183頁(yè)).萊布尼茨不僅完整地解決了二進(jìn)位制的表示問題，而且給出了正確的二進(jìn)位制加法與乘法規(guī)則.例如，他給出以下這類實(shí)例：1695年5月萊布尼茨與魯?shù)婪?奧古斯特(RudolphusAu-gustus)大公的一次談話中，大公對(duì)他的二進(jìn)位制非常感興趣，認(rèn)為一切數(shù)都可由0與1創(chuàng)造出來這一點(diǎn)，為基督教《圣經(jīng)》所講的創(chuàng)世記提供了依據(jù).這是因?yàn)槲ㄒ煌昝赖纳系凼菑臒o到有創(chuàng)造了世界，這與一切數(shù)的根源來自0與1的這種體系是對(duì)應(yīng)的.萊布尼茨由此激起熱情，試圖以大公的這一想法來爭(zhēng)取人們對(duì)他的二進(jìn)位制的關(guān)注.1697年他在致大公的信函中，就將他創(chuàng)造設(shè)計(jì)的象征二進(jìn)位制的紀(jì)念章圖章當(dāng)作新年禮品奉獻(xiàn)給大公.紀(jì)念章正面是大公圖象，背面的設(shè)計(jì)是這樣的(見圖7)：水面上籠罩著一片黑暗，頂部光芒四射一一象征創(chuàng)世的故事；中間排列著二進(jìn)位、十進(jìn)位制數(shù)字對(duì)照表，兩側(cè)是加法與乘法的實(shí)例.萊布尼茨希望能用二進(jìn)位制證明圓周率n的超越性.1701年，萊布尼茨將自己的二進(jìn)制數(shù)表給了法國(guó)在中國(guó)的傳教士白晉(F.J.Bouvet),同時(shí)又將自己關(guān)于二進(jìn)制的論文送交巴黎科學(xué)院，但要求暫不發(fā)表.同年11月白晉把宋代邵雍(1011—1077)的伏羲六十四卦次序和伏羲六十四方位兩個(gè)圖給了萊布尼茨?萊布尼茨對(duì)白晉提供的材料欣慰異常，發(fā)現(xiàn)中國(guó)古老的易圖可以解釋成0—63的二進(jìn)制數(shù)表.萊布尼茨因?yàn)閺亩M(jìn)制數(shù)學(xué)理解了六十四卦圖(邵雍的六十四卦方圓圖，圖8)而高興地說：“幾千年來不能很好被理解的奧秘由我理解了，應(yīng)該讓我加入中國(guó)籍吧！”1703年，他將修改補(bǔ)充的論文“關(guān)于僅用0與1兩個(gè)記號(hào)的二進(jìn)制算術(shù)的說明，并附其應(yīng)用以及據(jù)此解釋古代中國(guó)伏羲圖的探討”(Explicationde1'arthmetiquebinaire,quisesentdesseulscaracteres0et1,avecdesremarquesSursonutilite,etSurcequelledonneLeSensdesaneiennesfi-guresChinoisesFohy,1703)再送巴黎科學(xué)院，要求公開發(fā)表.自此二進(jìn)制公之于眾了.根據(jù)上述歷史事實(shí)，表明萊布尼茨并不是受易圖的啟發(fā)而發(fā)明二進(jìn)制的，而是他發(fā)現(xiàn)了易圖結(jié)構(gòu)可以用二進(jìn)制數(shù)學(xué)予以解釋.應(yīng)該說，萊布尼茨的二進(jìn)制數(shù)學(xué)能被用來理解古老的中國(guó)文化.自他發(fā)現(xiàn)了二者之間的這種關(guān)系后，在世界范圍內(nèi)興起了對(duì)易學(xué)的數(shù)理研究，使人們對(duì)易學(xué)的興趣日增.萊布尼茨所進(jìn)行的計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)，程序自動(dòng)化、程序設(shè)計(jì)的思想，再加上二進(jìn)制，為計(jì)算機(jī)的現(xiàn)代發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).盡管萊布尼茨本人為計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)、二進(jìn)制的發(fā)明感到自豪，但他卻沒有將二進(jìn)制用于計(jì)算機(jī)，沒有使二者結(jié)合起來.在當(dāng)時(shí)條件下，一個(gè)二進(jìn)位制的機(jī)器只會(huì)增加技術(shù)上的困難，只有隨著電子技術(shù)的發(fā)展，人們才能將二者有效地結(jié)合起來.那種認(rèn)為他是為計(jì)算機(jī)而引進(jìn)二進(jìn)位制的說法是違背歷史事實(shí)的.邏輯學(xué)萊布尼茨的邏輯學(xué)研究包括兩個(gè)方面：數(shù)理邏輯與形式邏輯.數(shù)理邏輯萊布尼茨決心構(gòu)造一門基本學(xué)科，這門學(xué)科在某些方面象數(shù)學(xué)，但也包括傳統(tǒng)邏輯中一些尚未發(fā)展的研究?jī)?nèi)容.他注意到了傳統(tǒng)邏輯與數(shù)學(xué)的共性，發(fā)現(xiàn)邏輯及其詞項(xiàng)、命題和三段論與代數(shù)中的字母、方程式和變換，具有某種形式上的相似，因此他決心把邏輯表示成一種演算，這種演算研究非數(shù)量的抽象關(guān)系或形式關(guān)系，他曾稱之為普遍數(shù)學(xué).他希望建立一種哲學(xué)語言（linguaphilosophica）或普遍語言（characteristicauniversalis）,這種語言不僅有助于思想交流，而且有利于思想本身.萊布尼茨力圖發(fā)明一種對(duì)概念進(jìn)行演算的理論，使得概念也能象數(shù)一樣進(jìn)行代數(shù)演算.1679年，萊布尼茨開始進(jìn)行了這方面的研究.他的思想是：每一個(gè)簡(jiǎn)單的詞項(xiàng)用一個(gè)素?cái)?shù)表示，每一個(gè)合成詞項(xiàng)用素?cái)?shù)乘積來表示.如用3表示“能思維的”，7表示動(dòng)物，人是能思維的動(dòng)物則可用21表示，寫成21=3.7.一個(gè)全稱肯定命題，如果主項(xiàng)的數(shù)能被謂項(xiàng)的數(shù)整除，則該命題為真.1686年，萊布尼茨發(fā)展了關(guān)于概念相等和概念包含的理論，其中引入了詞項(xiàng)a,b,c,…，運(yùn)算符號(hào)一（non,表示“非”）.四個(gè)關(guān)系利用這種演算，他成功地將亞里士多德的四種類型的一般命題，表示成了符號(hào)公式形式，從而使得用符號(hào)表示邏輯命題成為可能.他所考慮的方案和表達(dá)方式是：萊布尼茨認(rèn)為，有可能構(gòu)造一種符號(hào)系統(tǒng)，這種系統(tǒng)可以作內(nèi)涵的解釋也可以作外延的解釋.1690年他已經(jīng)引入了概念的加、減法，用以表示邏輯概念演算及逆運(yùn)算.他用表示逆運(yùn)算，例如A—B=C,當(dāng)且僅當(dāng)人=8+（3,且B和C沒有共同的東西.意義.以此為基礎(chǔ)，他建立了一套全新的理論體系.他的體系要點(diǎn)主要是公式及一套關(guān)于詞項(xiàng)、命題的定義與演算規(guī)則，如A=B的定義：詞項(xiàng)是同一的或一致的，就是說它們能在任何地方，以一個(gè)代之以另外一個(gè)而不改變?nèi)魏蚊}的真值.A=B表示A和B是同一的.這種體系在邏輯上是從未有過的，直到約一個(gè)世紀(jì)以后才由G?布爾（Boole）重新給出.可惜的是，萊布尼茨沒有發(fā)展和寫出系統(tǒng)的著作，只留下了大批手稿，其中還有許多是斷簡(jiǎn)殘篇，但D.希爾伯特（Hilbert）依然說：“數(shù)理邏輯的思想首先是萊布尼茨明顯說出的.”而這種數(shù)理邏輯還僅僅只是萊布尼茨符號(hào)語言的一部分.萊布尼茨符號(hào)語言的理想是，使一切推理過程、思維過程、爭(zhēng)論過程都像數(shù)學(xué)一樣能夠計(jì)算，甚至能夠交給機(jī)器完成.為此，他做了很多工作.形式邏輯萊布尼茨在形式邏輯方面的主要工作是，關(guān)于判斷的分析理論，在此基礎(chǔ)上的復(fù)合概念理論和關(guān)于偶然命題的理論，以及“充足理由律”的提出.他不相信一切論證都可以納入三段論式，因?yàn)樗私獾綏l件論證和析取論證不能還原為三段論形式.對(duì)于形式證明，他承認(rèn)經(jīng)院哲學(xué)爭(zhēng)論中使用三段論可能墮落為蠢笨迂腐的學(xué)究，但他認(rèn)為不能沒有形式化，否則就會(huì)喪失嚴(yán)格性.但對(duì)亞里士多德的推崇妨礙了他在這方面取得更大的成就.區(qū)分和研究?jī)深愓胬恚豪硇缘恼胬恚ū厝恍悦}）與事實(shí)的真理（偶然性命題）是萊布尼茨整個(gè)科學(xué)思想體系特別是他的哲學(xué)認(rèn)識(shí)論的核心內(nèi)容.從邏輯方面他又把必然真理分成原始的真理和推理的真理，并且指出：“推理的真理是必然的，它們的反面是不可能的，事實(shí)的真理是偶然的，它們的反面是可能的.”他又認(rèn)為推理是建立在兩大原則上的：（1）矛盾原則，憑著這個(gè)原則，我們判定包含矛盾者為假，與假的相對(duì)立和相矛盾者為真；（2）充足理由原則，憑著這個(gè)原則，任何一件事如果是真實(shí)的或?qū)嵲诘?，任何一個(gè)陳述如果是真的，就必須有一個(gè)為什么這樣而不那樣的充足理由，也許這些理由常常不知道.因此他在邏輯學(xué)中引入了“充足理由律”，使之成為與傳統(tǒng)的同一律、矛盾律、排中律相并列的一條基本思維定律.物理學(xué)、力學(xué)、光學(xué)1671年，萊布尼茨寫下了《物理學(xué)新假說》(Hypothesisphysicanoua),其中包括兩個(gè)部分：具體運(yùn)動(dòng)原理(TheoriamotusConcreti)，是奉獻(xiàn)給倫敦英國(guó)皇家學(xué)會(huì)的；抽象運(yùn)動(dòng)原理(TheoriamotusAbstracti)，是奉獻(xiàn)給巴黎科學(xué)院的.他的具體原理是試圖從較簡(jiǎn)單現(xiàn)象的角度來解釋最重要的復(fù)雜現(xiàn)象的一種假說，這種原理建立在以太的相對(duì)循環(huán)的基礎(chǔ)上，以太則是通過圍繞地球的最初組成狀態(tài)的物質(zhì)才起作用的.他認(rèn)為物體的全部?jī)?nèi)聚力依靠構(gòu)成這些物體的微粒的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的起因是以太微粒的碰撞，它是物體的全部特性的終極原因.萊布尼茨的抽象原理來源于他對(duì)連續(xù)體的研究和對(duì)運(yùn)動(dòng)定律的看法，他認(rèn)為物質(zhì)的微粒完全處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物質(zhì)不存在阻力，只有當(dāng)微粒構(gòu)成部分的內(nèi)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體才具有阻力或內(nèi)聚力.他認(rèn)為，運(yùn)動(dòng)著的物體，不論多么微小,它將帶著處于完全靜止?fàn)顟B(tài)的物體的部分一起運(yùn)動(dòng).他的物理學(xué)研究計(jì)劃是：根據(jù)一個(gè)審慎的計(jì)劃和規(guī)模，進(jìn)行某些實(shí)驗(yàn)，借以在其上建立一個(gè)穩(wěn)定的和論證的物理學(xué)堡壘.他的最終的奮斗目標(biāo)是為物理學(xué)建立一個(gè)類似歐氏幾何的公理系統(tǒng).萊布尼茨在物理學(xué)上最重要的工作是對(duì)笛卡兒提出的動(dòng)量守恒原理進(jìn)行了認(rèn)真的探討，提出了能量守恒原理的雛型.1686年，萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了反對(duì)笛卡兒關(guān)于力的度量的文章“關(guān)于笛卡兒和其他人在自然定律方面的顯著錯(cuò)誤的簡(jiǎn)短證明"(BreuisdemonstratioerrorismemorabilisCartesiietaliorumcircaLegemnaturae),提出了運(yùn)動(dòng)的量的問題，從而開始了與笛卡兒學(xué)派關(guān)于運(yùn)動(dòng)度量的長(zhǎng)期爭(zhēng)論，并發(fā)展成了力學(xué)中的兩個(gè)派別.萊布尼茨指出，如果只用動(dòng)量(mv,m為物體質(zhì)量，v為物體運(yùn)動(dòng)速度)度量運(yùn)動(dòng)，那么“力”(1^2)在自然界不斷增加或減少時(shí)，就會(huì)導(dǎo)致動(dòng)量(mv)不守恒，因此他認(rèn)為動(dòng)量(mv)不能做為運(yùn)動(dòng)的度量單位.他把力分為“死力”和“活力”，“死力”是靜止物體的“壓力”或“拉力”，這種力是外來的，其度量是物體的質(zhì)量和物體由靜止?fàn)顟B(tài)到運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)具有的速度的乘積，即動(dòng)量mv.“活力”(visviva)是內(nèi)在于物體的力，是物體的真運(yùn)動(dòng).在他看來，“活力”應(yīng)該由物體的質(zhì)量和該物體所能上升的高度來測(cè)量(mh),按照伽利略落體定律，萊布尼茨成功地計(jì)算出高度h與速度v的平方成正比，“活力”保持不變m1v21=m2V22.因此，1695年他正式稱mv2為“活力”(visviva),并以mv2作為運(yùn)動(dòng)的度量單位，動(dòng)能的概念就這樣被引入到物理學(xué)中來了.這是他在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表的“動(dòng)力學(xué)實(shí)例"(Specimendynamium)中提出的，這篇論文是萊布尼茨力學(xué)的結(jié)晶，包含了他的大部分研究成果.萊布尼茨第一次認(rèn)為“活力”mv2是物理學(xué)上的終極因，因而可以轉(zhuǎn)化為各種各樣的形式，同時(shí)還第一次認(rèn)為mv2的守恒是一個(gè)普遍的物理原理，這樣他就有充分的理由證明“永動(dòng)機(jī)是不可能”這樣的觀點(diǎn).究竟應(yīng)該以mv2,還是以mv,作為運(yùn)動(dòng)的量度，經(jīng)過長(zhǎng)達(dá)半個(gè)世紀(jì)的爭(zhēng)論，直到1743年J.R.達(dá)朗貝爾(d'Alembert)指出兩者都是正確的，不過各自所著眼的角度不同罷了，爭(zhēng)論才平息.萊布尼茨反對(duì)牛頓的絕對(duì)時(shí)空觀，與牛頓的學(xué)生S.克拉克(Clarke)進(jìn)行了長(zhǎng)時(shí)期的辯論.在萊布尼茨看來，時(shí)空與運(yùn)動(dòng)、物質(zhì)是密不可分的，認(rèn)為“沒有物質(zhì)也就沒有空間，空間本身不是絕對(duì)的實(shí)在性”，“空間和物質(zhì)的區(qū)別就象時(shí)間和運(yùn)動(dòng)的區(qū)別一樣.可是這些東西雖有區(qū)別，卻是不可分離的”.這些思想后來引起了人.愛因斯坦(Einstein)等人的關(guān)注.在材料力學(xué)方面，萊布尼茨支持馬里奧特關(guān)于梁受力性質(zhì)的思想.1684年，他在“固體受力的新分析證明”(DemonstratonsnovaedeResistentiaSolidorum)一文中指出，纖維是可以延伸的，它們的拉力與伸長(zhǎng)成正比.因此，他提出將胡克定律F=-kx應(yīng)用于單根纖維，這一假說后來在材料力學(xué)中被稱為馬里奧特?萊布尼茨理論.在光學(xué)方面，萊布尼茨利用微積分中的求極值方法，推導(dǎo)出了折射定律：并嘗試用求極值的方法解釋光學(xué)基本定律.地質(zhì)學(xué)1693年，萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇論述地球起源的文章，后來擴(kuò)充為《原始地球》(Protogaea)一書.他認(rèn)為，地球在早期是一個(gè)均勻的、灼熱的熔融球體，形成之后開始逐漸冷卻、收縮.當(dāng)外表層冷卻到一定程度后，一方面形成了原始的大氣，另一方面形成一種玻璃質(zhì)和熔洼質(zhì)所組成的波質(zhì)地殼，地殼由于收縮而形成褶皺.隨著地球的進(jìn)一步冷卻，在這些褶皺的地殼上面，周圍的水蒸汽便冷凝成汪洋大海，而由于水蒸汽融解了地殼表面的鹽，因此海水就變咸了.引起這些地質(zhì)大變化的原因，有些是地球內(nèi)部的氣體爆發(fā)使地殼破裂，有些是地球表面洪水泛濫所起的作用.前一種原因的作用結(jié)果形成火成巖，后一種原因的作用結(jié)果產(chǎn)生的是沉積巖層.萊布尼茨進(jìn)一步認(rèn)為，在地殼不斷變化，厚度增加的過程中，地表下形成了大量的氣泡和空穴，當(dāng)這些氣泡和空穴由于重力等的作用而使其頂部發(fā)生坍陷時(shí)，地面上的水注入地下洞穴，從而使得原始海洋的水平面降低，因此就出現(xiàn)了山脈，地殼表面上也就有了大陸和海洋之分.同時(shí)，地殼表面由于海水的運(yùn)動(dòng)就形成了大規(guī)模的洪水，洪水對(duì)巖石造成了浸蝕，在沖刷、浸蝕的過程中，使得海水越來越咸，巖石碎片逐漸堆積，形成沉積巖.這種過程在地球的歷史中多次進(jìn)行，造成了各種沉積巖石和火成巖石交互出現(xiàn)的現(xiàn)象.在每一次大的運(yùn)動(dòng)之后，這些作用又達(dá)到新的平衡，從而又開始一個(gè)新的穩(wěn)定時(shí)期.用這種觀點(diǎn)，萊布尼茨成功地解釋了巖石中含有動(dòng)物遺跡以及含有年代不同的巖石碎塊的沉積物這一現(xiàn)象.對(duì)于石煤、合硫物質(zhì)、石油等易燃物質(zhì)，萊布尼茨認(rèn)為火山爆發(fā)與地震是形成的原因.對(duì)于地層中的生物化石，有些甚至在今天的生物界中還沒有找到與這些化石相應(yīng)的生物，他認(rèn)為，這些化石反映了生物的不斷發(fā)展，這種現(xiàn)象的最終原因是自然界的變化而非偶然的神跡.他的地球成因?qū)W說，尤其是他的宇宙進(jìn)化和地球演化的思想啟發(fā)YJ.B.拉馬克(Lamarck)、C.賴爾(Lyell)等人，促進(jìn)了19世紀(jì)的地質(zhì)學(xué)理論的新進(jìn)展.其他領(lǐng)域萊布尼茨在化學(xué)、生物學(xué)、氣象學(xué)、心理學(xué)等領(lǐng)域也做了重要的工作.在化學(xué)方面，1677年，他寫成《磷發(fā)現(xiàn)史》(GeschichtederErfindungderphosphois),對(duì)磷元素的性質(zhì)和提取作了論述，促進(jìn)了磷元素的發(fā)現(xiàn).他還提出了分離化學(xué)制品和使水脫鹽的技術(shù).在生物學(xué)方面，他從哲學(xué)角度提出了有機(jī)論方面的多種觀點(diǎn)，認(rèn)為存在介乎動(dòng)物、植物之間的生物，水螅蟲的發(fā)現(xiàn)證明了他的觀點(diǎn).在氣象學(xué)方面，他曾親自組織人力進(jìn)行過大氣壓和天氣狀況的觀察.1696年，萊布尼茨提出了心理學(xué)方面的身心平行論(para-llelism).他強(qiáng)調(diào)統(tǒng)覺(apperception)作用，與笛卡兒的交互作用論、B.D.斯賓諾莎(Spinoza)的一元論構(gòu)成當(dāng)時(shí)心理學(xué)三大理論.他還提出了下意識(shí)理論的初步思想.1691年，他還曾致函D.帕潘(Papin),提出了蒸汽機(jī)的基本思想.1700年前后，他最早提出了無液氣壓機(jī)原理，其中完全省掉了液柱.萊布尼茨一生中，總是希望在學(xué)術(shù)和政治活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域都出人頭地，他嘔心瀝血地工作和學(xué)習(xí)，善于吸收別人的思想，無論何時(shí)，只要他抓住一個(gè)新課題，就查閱所能找到的與此有關(guān)的一切材料，從不囿于傳統(tǒng)的觀念，而是希望產(chǎn)生與他具有的天才相當(dāng)?shù)膭?chuàng)造性作品.為此，他對(duì)于要發(fā)表的作品總是不厭其煩地反復(fù)推敲.他善于用訪問和通信的方式與人們討論問題，闡發(fā)自己的觀點(diǎn)，一生中曾與千余人有過書信交往，留下了一萬五千多封信件.與他通信的有各種各樣的人士，既有牛頓、沃利斯、伯努利家族、A.阿爾諾(Arnauld)、N.De馬勒伯朗士(Melebranche)等科學(xué)界、哲學(xué)界的知名學(xué)者，也有歐洲各國(guó)的王侯皇妃，距離遠(yuǎn)至遠(yuǎn)東的中國(guó).信件的內(nèi)容廣泛，涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、語言學(xué)、數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)、工程技術(shù)等等.這些信件記載著他的思想、見解和各種研究成果，有的信件其實(shí)就是學(xué)術(shù)論文.他的許多著作生前未發(fā)表，大量的手稿和書信現(xiàn)在還存放在漢諾威圖書館中.有許多學(xué)者陸陸續(xù)續(xù)編纂出版過萊布尼茨著作集.第一次世界大戰(zhàn)前，柏林科學(xué)院曾計(jì)劃編萊布尼茨全集四十卷，這一工作至今仍未能完成.法國(guó)科學(xué)院則準(zhǔn)備在20世紀(jì)末編輯出版萊布尼茨全集.萊布尼茨一生涉獵了各個(gè)不同的學(xué)術(shù)領(lǐng)域，都留下了深深的印記，并且對(duì)后世產(chǎn)生了不同程度的影響.他處于文藝復(fù)興時(shí)期的整體主義和活力論的世界觀與18,19世紀(jì)的新原子論和機(jī)械論唯物主義的交接時(shí)期，他的觀點(diǎn)，對(duì)他那個(gè)時(shí)代來說是激進(jìn)的，超前的，許多重要思想以后才為人們所接受和重新發(fā)現(xiàn)，他的有些工作和觀點(diǎn)無疑還包含著至今尚未認(rèn)識(shí)到的潛力.正如他自己所說的那樣：“我有非常多的思想，假如別人比我更深入透徹地研究這些思想，并把他們心靈的美好創(chuàng)造同我的勞動(dòng)結(jié)合起來，那么，這些思想總有一天會(huì)有某些用處的.”作為哲學(xué)家，他在哲學(xué)史上與亞里士多德齊名，他的學(xué)說與其弟子C.沃爾夫(Wolf)的理論結(jié)合，所形成的萊布尼茨-沃爾夫體系極大地影響了德國(guó)哲學(xué)的發(fā)展，尤其是影響了1.康德(Kant)的哲學(xué)思想.他開創(chuàng)了德國(guó)的自然哲學(xué)，以后經(jīng)過沃爾夫、康德、J.W.V.哥德(Goethe),到G.W.F.黑格爾(Hegel)得到了長(zhǎng)足的進(jìn)展.萊布尼茨集科學(xué)研究與哲學(xué)研究于一身，科學(xué)思想與哲學(xué)思想相互聯(lián)系和相互促進(jìn).例如他的單子論與其數(shù)學(xué)研究中的微分概念是相通的，他的單子概念和有機(jī)論自然觀現(xiàn)在仍然受到人們的重視.他與英國(guó)哲學(xué)家J.洛克(Locke)在認(rèn)識(shí)論方面的創(chuàng)造性的辨論以及他的名著《人類理解新論》(NouveauxEssaisSurLEntendementHumain)豐富了哲學(xué)認(rèn)識(shí)論，同時(shí)也加深了歐洲哲學(xué)兩大派一一經(jīng)驗(yàn)主義與理性主義的對(duì)峙，而萊布尼茨則被認(rèn)為是理性主義的重要代表人物之一.V.L?費(fèi)爾巴哈(Feuerbach)曾經(jīng)說：“近代哲學(xué)領(lǐng)域內(nèi)繼笛卡兒和斯賓諾莎之后，內(nèi)容最為豐富的哲學(xué)乃是萊布尼茨.”他的邏輯學(xué)思想直接推動(dòng)了20世紀(jì)B.羅素(Russell)等人對(duì)數(shù)理邏輯的研究和發(fā)展.作為一位數(shù)學(xué)家，萊布尼茨對(duì)歐洲大陸數(shù)學(xué)的發(fā)展有著直接的重要的影響，突出地表現(xiàn)在歐洲大陸數(shù)學(xué)家