山東省青島市20232023學(xué)年度高三數(shù)學(xué)第一次

山東省青島市2007-2023學(xué)年度高三數(shù)學(xué)第一次質(zhì)量檢測試題第Ⅰ部分（滿分160分，答卷時間120分鐘）一、填空題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．1．復(fù)數(shù)z＝（m－1）i＋m2－1是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是．2．化簡：＝．3．設(shè)則f（f（2））的值是．左視圖主視圖俯視圖10812（第7題）484．若數(shù)列{an}的通項公式an＝，記，試通過計算，，左視圖主視圖俯視圖10812（第7題）485．函數(shù)y＝cosx的圖象在點（，）處的切線方程是．6．已知α，β均為銳角，且，，則．7．已知某個幾何體的三視圖如下（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是cm3．8．某海域上有A，B，C三個小島，已知A，B之間相距8nmile，A，C之間相距5nmile，在A島測得∠BAC為60°，則B島與C島相距nmile．9．某班級共有學(xué)生54人，現(xiàn)根據(jù)學(xué)生的學(xué)號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本．已知3號，29號，42號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的學(xué)號是．1,3,510．若經(jīng)過點P（－1，0）的直線與圓相切，則這條直線在y軸上的截距是．1,3,5二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．11．集合A＝{x||x|＜2＝，B＝{x|x2－5x－6＜0＝，則A∩B＝ （）A．（－2，6）B．（－2，－1）C．（－1，2）D．（2，3）12．直線l1∥l2的一個充分條件是 （）A．l1，l2都平行于同一個平面 B．l1，l2與同一個平面所成的角相等C．l1平行于l2所在的平面 D．l1，l2都垂直于同一個平面13．下列各函數(shù)中，最小值為2的函數(shù)是 （）A．B．，C．D．14．依據(jù)下列算法的偽代碼： x←2i←1s←0Whilei≤4s←s×x＋1i←i+1EndWhilePrints運行后輸出的結(jié)果是 （）A．3 B．7 C．15 D．17三、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分14分）一顆正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別是1，2，3，4，5，6．（1）將這顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，問兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？（2）將這顆骰子先后拋擲3次，觀察向上的點數(shù)，問三數(shù)之和為16的概率是多少？（第16題）ABCA1（第16題）ABCA1B1C1D已知直三棱柱ABC－A1B1C1各邊長都等于a，點D為BC的中點．求證：（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）A1B∥平面AC1D．17．（本題滿分15分）已知向量a=（3sinα，cosα），b=(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．18．（本題滿分15分）已知雙曲線過點（3，－2），且與橢圓有相同的焦點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．19．（本題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn＝an2＋5an＋6；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a15；數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn．（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．20．（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；（2）是否存在正整數(shù)a，使得在（，）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．1,3,5第Ⅱ部分（滿分40分，答卷時間30分鐘）1,3,5一、填空題：本大題共6小題，其中第3題~第6題為選做題，只要在這四題中任選兩題作答，如果多做，則按所做題的前兩題記分．每小題5分，共20分．把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．1．計算：．2．若ξ的分布列為：ξ01Pmn其中m∈（0，1），則Eξ＝．3．（選修4－1：幾何證明選講）過⊙O外一點P作⊙O的兩條切線PA，PB，切點為A，B，若AB＝8cm，AB的弦心距為3cm，則PA＝cm．4．（選修4－2：矩陣與變換）矩陣的屬于特征值－1的一個特征向量是．5．（選修4－4：坐標系與參數(shù)方程）若曲線的極坐標方程為，則這條曲線化為直角坐標方程為．6．（選修4－5：不等式選講）設(shè)|a＋b|＜－c，給出下列四個不等式：①a＜－b－c；②a＋b＞c；③|a|＋c＜|b|；④a＋c＜b．其中成立的不等式是．二、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答下列各題必須寫出必要的步驟．7．在某市的一次調(diào)研測試中，8道填空題中有4道必做題和4道選做題，某考生按規(guī)定做4道必做題和2道選做題．（1）該考生有多少種選題方案？（2）若該考生必做題不放在最后做，他可以選擇多少種不同的答題順序？AOECB（第8題）8．如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OCAOECB（第8題）（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值．參考答案第I部分（滿分160分，答卷時間120分鐘）一、填空題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．把答案填寫在答題紙相應(yīng)位置上．1．－12．3．04．5．＝06．7．640＋80π8．79．1610．1二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1,3,511．C12．D13．D14．C1,3,5三、解答題：本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分14分）一顆正方體骰子，其六個面上的點數(shù)分別是1，2，3，4，5，6．（1）將這顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，問兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是多少？OAOABCA1B1C1（第16題）D問三數(shù)之和為16的概率是多少？解：（1）P（A）＝；…………7分（2）P（B）＝．答：兩數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是；三數(shù)之和為16的概率是．…………14分16．（本題滿分14分）已知直三棱柱ABC－A1B1C1的各邊長都等于a，點D為BC的中點．求證：（1）平面AC1D⊥平面BCC1B1；（2）A1B∥平面AC1D．證明：（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱BB1⊥平面ABC又BB1平面BCC1B1，∴側(cè)面BCC1B1⊥平面ABC．在正三角形ABC中，D為BC的中點，∴AD⊥BC．由面面垂直的性質(zhì)定理，得AD⊥平面BCC1B1．又AD平面AC1D，∴平面AC1D⊥平面BCC1B1．……7分（2）連A1C交AC1于點O，四邊形ACC1AO是A1C的中點．又D是BC的中點，連OD中位線定理，得A1B1∥OD．∵OD平面AC1D，A1B平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D．…14分17．（本題滿分15分）已知向量a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，α∈（），且a⊥b．（1）求tanα的值；（2）求cos()的值．解：（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．而a＝（3sinα，cosα），b＝(2sinα,5sinα－4cosα)，故a·b＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0．……2分由于cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得tanα＝－，或tanα＝．……………6分∵α∈（），tanα＜0，故tanα＝（舍去）．∴tanα＝－．…………7分（2）∵α∈（），∴．由tanα＝－，求得，＝2（舍去）．∴，…………12分cos()＝＝＝．………………15分18．（本題滿分15分）已知雙曲線過點（3，－2），且與橢圓有相同的焦點．（1）求雙曲線的標準方程；（2）求以雙曲線的右準線為準線的拋物線的標準方程．解：（1）由題意，橢圓的焦點為（），…………2分即c＝，設(shè)所求雙曲線的方程為．………………4分∵雙曲線過點（3，－2），∴．∴，或（舍去）．…………7分∴所求雙曲線的方程為．……………………8分（2）由（1），可知雙曲線的右準線為．設(shè)所求拋物線的標準方程為，則．……12分∴所求拋物線的標準方程為．…………15分19．（本題滿分16分）已知各項均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}，其前n項和Sn滿足10Sn＝an2＋5an＋6；等比數(shù)列{bn}滿足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a15；數(shù)列{cn}滿足cn＝anbn．（1）求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．解（1）∵10Sn＝an2＋5an＋6，①∴10a1＝a12＋5a1解之，得a1＝2，或a1＝3．……………2分又10Sn－1＝an－12＋5an－1＋6（n≥2），②由①－②，得10an＝（an2－an－12）＋6（an－an－1），即（an＋an－1）（an－an－1－5）＝0．∵an＋an－1＞0，∴an－an－1＝5（n≥2）．………………5分當(dāng)a1＝3時，a3＝13，a15＝73．a(chǎn)1，a3，a15不成等比數(shù)列，∴a1≠3．當(dāng)a1＝2時，a3＝12，a15＝72，有a32＝a1a15．…………∴數(shù)列{bn}是以6為公比，2為首項的等比數(shù)列，bn＝2×6n－1．……9分（2）由（1）知，an＝5n－3，cn＝2（5n－3）6n－1．∴Tn＝2[2＋7×6＋12×62＋…＋（5n－3）6n－1]，……11分6Tn＝2[2×6＋7×62＋12×63＋…＋（5n－3）6n]，∴－5Tn＝2[5×6＋5×62＋…＋5×6n－1]＋4－2（5n－3）6n………13分＝＋4－2（5n－3）6n＝（8－10n）6n－8．Tn＝．…………………16分20．（本題滿分16分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；（2）是否存在正整數(shù)a，使得在（，）上既不是單調(diào)遞增函數(shù)也不是單調(diào)遞減函數(shù)？若存在，試求出a的值，若不存在，請說明理由．解（1）∵在（，1）上單調(diào)遞減，在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，∴f′（x）＝3x2＋2ax－2，……………2分f′（1）＝0，∴a＝－．………………6分（2）令f′（x）＝3x2＋2ax－2＝0．∵△＝4a2＋24＞0，∴方程有兩個實根，………………8分分別記為x1x2．由于x1·x2＝－，說明x1，x2一正一負，即在（，1）內(nèi)方程f′（x）＝0不可能有兩個解．…………………10分故要使得在（，）上既不是單調(diào)增函數(shù)也不是單調(diào)減函數(shù)的充要條件是f′（）·f′（）＜0，即（＋a－2）（＋a－2）＜0．………13分解得．………………………15分∵a是正整數(shù)，∴a＝2．………………16分第Ⅱ部分（滿分40分，答卷時間30分鐘）1．ln22．n3．eq\f(20,3)4．5．6．①②③二、解答題：本大題共2小題，每小題10分，共20分．解答下列各題必須寫出必要的步驟．7．在某市的一次調(diào)研測試中，8道填空題中有4道必做題和4道選做題，某考生按規(guī)定做4道必做題和2道選做題．（1）該考生有多少種選題方案？（2）若該考生必做題不放在最后做，他可以選擇多少種不同的答題順序？解（1）＝6（種）．…………………5分（2）解法一：第一步選擇2道選做題，有=6種方法，第二步，先確定最后解答的一題，有=2種方法，第三步，確定其它各題的解答順序。有=120種方法，綜上所述，該同學(xué)共有6×2×120=1440種選擇．答：（1）該考生有6種選題方案；（2）他可以選擇1440種不同的答題順序．……10分解法二：先確定最后解答的一題，有=4種方法，再確定必做題的解答順序，有=120種方法，最后確定另一道選做題，有=3種方法．綜上所述，該同學(xué)共有4×120×3=1440種選擇．答：（1）該考生有6種選題方案；（2）他可以選擇1440種不同的答題順序．……10分8．如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點．（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；（2）求二面角A－BE－C的余弦值