《機(jī)械控制工程基礎(chǔ)》4-use

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.頻率特性分析4.1頻率特性的基本概念4.2典型環(huán)節(jié)頻率特性4.3系統(tǒng)的頻率特性(Nyquist圖,Bode圖繪制)4.4頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系4.5頻率特性實(shí)驗(yàn)法估計(jì)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型14.頻率特性分析2機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.頻率特性分析3機(jī)械工程控制基礎(chǔ)

時(shí)域分析的缺陷高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響；當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。4.頻率特性分析4機(jī)械工程控制基礎(chǔ)頻率特性分析法是經(jīng)典控制理論中常用的分析與研究系統(tǒng)特性的方法。頻率特性包括幅頻特性和相頻特性，它在頻率域里全面地描述了系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系即系統(tǒng)的特性。頻率特性在有些書中又稱為頻率響應(yīng)。本書中頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)輸出。通過本章的學(xué)習(xí)將會(huì)看到，頻率特性和頻率響應(yīng)是兩個(gè)聯(lián)系密切但又有區(qū)別的概念。4.頻率特性分析機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5頻率特性分析方法具有如下特點(diǎn)：這種方法可以通過分析系統(tǒng)對(duì)不同頻率的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來獲得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。頻率特性有明確的物理意義，可以用實(shí)驗(yàn)的方法獲得。這對(duì)那些不能或難于用分析方法建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，具有非常重要的意義。不需要解閉環(huán)特征方程。由開環(huán)頻率特性即可研究閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)定性。4.頻率特性分析機(jī)械工程控制基礎(chǔ)6優(yōu)點(diǎn)：無需求解微分方程，圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向易于實(shí)驗(yàn)分析可推廣應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)（如含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）；可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。4.頻率特性分析7機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.1.1頻率特性概述解：例：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入信號(hào)為xi(t)=Asint時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。4.1頻率特性的基本概念8機(jī)械工程控制基礎(chǔ)由Laplace反變換得：系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為9機(jī)械工程控制基礎(chǔ)幅值是頻率的函數(shù)相位是頻率的函數(shù)輸出頻率不變系統(tǒng)xi(t)x0(t)Asint穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)10機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2、頻率特性

線性系統(tǒng)在諧波信號(hào)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率變化的特性，稱為該系統(tǒng)的頻率特性.注意：頻率特性是系統(tǒng)在頻域的數(shù)學(xué)模型幅頻特性A()相頻特性φ()包括=輸出相位-輸入相位=φ()11機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.1頻率特性的基本概念4.1.1頻率特性及物理意義

系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱為頻率響應(yīng)。線性系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)，輸入正弦信號(hào)：x(t)=Xsint,則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出即為頻率與輸入的正弦信號(hào)相同，只是幅值和相位與輸入不同。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)12線性系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)記為：

y(t)=Y()sin[t+()]（4-1）

研究頻率響應(yīng)的意義：當(dāng)信號(hào)頻率變化時(shí)，幅值Y()與相位差()也隨之變化。系統(tǒng)的幅頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的幅值之比，記為：（4-2）

它描述了在穩(wěn)態(tài)情況下，系統(tǒng)輸出與輸入之間的幅值比隨頻率的變化情況，即幅值的衰減或放大特性。4.1.1頻率特性及物理意義機(jī)械工程控制基礎(chǔ)13幅頻特性A()和相頻特性()統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性，記作G(j)。頻率特性G(j)是一個(gè)以頻率為自變量的復(fù)變函數(shù)，它是一個(gè)矢量。如圖4-2所示，矢量G(j)的模|G(j)|即為系統(tǒng)的幅頻特性A()；矢量Ｇ(j)與正實(shí)軸的夾角∠G(j)即為系統(tǒng)的相頻特性()。因此，頻率特性按復(fù)變函數(shù)的指數(shù)表達(dá)形式，記為：(4-3)系統(tǒng)的相頻特性定義：輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位之差隨頻率的變化，記為()。4.1.1頻率特性及物理意義機(jī)械工程控制基礎(chǔ)1415機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(4-4)式中Re()是G(j)的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性；Im()是G(j)的虛部，稱為虛頻特性。在機(jī)械測(cè)試技術(shù)中，實(shí)頻特性和虛頻特性又分別稱為同相分量和異相分量。如圖4-2，顯然有：

(4-5)由于頻率特性G(j)是一個(gè)復(fù)變量，因此它還可以寫成實(shí)部和虛部之和，即：機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.1.1頻率特性及物理意義16頻率特性G(j)的物理意義

(1)頻率特性表示了系統(tǒng)對(duì)不同頻率的正弦信號(hào)的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。在頻率較低時(shí),T<<1時(shí)，輸入信號(hào)基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來，而在頻率較高時(shí)，輸入信號(hào)就被抑制而不能傳遞出去。對(duì)于實(shí)際中的系統(tǒng)，雖然形式不同，但一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)17(2)頻率特性隨頻率而變化，是因?yàn)橄到y(tǒng)含有儲(chǔ)能元件。實(shí)際系統(tǒng)中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲(chǔ)能元件，它們?cè)谀芰拷粨Q時(shí)，對(duì)不同頻率的信號(hào)使系統(tǒng)顯示出不同的特性。(3)頻率特性反映系統(tǒng)本身的特點(diǎn)，系統(tǒng)元件的參數(shù)(如機(jī)械系統(tǒng)的k、c、m)給定以后，頻率特性就完全確定，系統(tǒng)隨變化的規(guī)律也就完全確定。就是說，系統(tǒng)具有什么樣的頻率特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)本身，與外界因素?zé)o關(guān)。頻率特性G(j)的物理意義

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)18二、頻率特性的求法1、利用系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來求xo(t)(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))頻率響應(yīng)Xo(s)=Xi(s)G(s)Laplace反變換xo(t)=limxo(t)t→∞19機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2、用傳函G(s)的s換為j來求復(fù)數(shù)表示法：（1）代數(shù)表示法：a+jb（2）指數(shù)表示法：|A|ej（3）極坐標(biāo)表示法：|A|∠φImReabA--------幅值-------相位20機(jī)械工程控制基礎(chǔ)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：已知復(fù)數(shù)：

A=a+jb=A1∠

1

B=c+jd=B1∠

21）兩復(fù)數(shù)相加：實(shí)部相加，虛部相加

A+B=(a+c)+j(b+d)2）兩復(fù)數(shù)相減：實(shí)部相減，虛部相減

A-B=(a-b)+j(b-d)21機(jī)械工程控制基礎(chǔ)3）兩復(fù)數(shù)相乘：幅值相乘，相位相加

A×B=(A1×B1)∠1+

24）兩復(fù)數(shù)相除：幅值相除，相位相減22機(jī)械工程控制基礎(chǔ)相頻特性：()=-arctanT例求慣性環(huán)節(jié)的頻率特性23機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例求閉環(huán)傳函為的頻率特性24機(jī)械工程控制基礎(chǔ)25機(jī)械工程控制基礎(chǔ)263、實(shí)驗(yàn)方法求頻率特性進(jìn)而求G(s)

(當(dāng)傳函未知時(shí)采用)正弦發(fā)生器被測(cè)系統(tǒng)改變頻率圖形顯示器27機(jī)械工程控制基礎(chǔ)系統(tǒng)s傳遞函數(shù)j頻率特性ddtsddtjsj微分方程28以上分析可歸納如下

(1)線性定常系統(tǒng)的頻率特性可以通過系統(tǒng)的傳遞函數(shù)獲得，即：G(j)=G(s)|s=j

(4-21)

系統(tǒng)的頻率特性就是其傳遞函數(shù)G(s)中復(fù)變量s=+j在=0時(shí)的特殊情況。(2)若系統(tǒng)的輸入信號(hào)為正弦函數(shù)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是相同頻率的正弦函數(shù)，但幅值和相位與輸入信號(hào)的幅值和相位不同。顯然，若改變輸入信號(hào)的頻率，系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化，而頻率特性正表明了幅值比和相位差隨頻率變化的情況。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)29(3)系統(tǒng)頻率特性與傳遞函數(shù)、微分方程、脈沖響應(yīng)函數(shù)之間都存在內(nèi)在的聯(lián)系。它們之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖4-5所示。因此，頻率特性也和微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)一樣，可以表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種表達(dá)形式。這就是利用頻率特性來研究系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的理論依據(jù)。

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)以上分析可歸納如下

30幾點(diǎn)說明

頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。31機(jī)械工程控制基礎(chǔ)應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：

實(shí)際施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號(hào)都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級(jí)數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜函數(shù)，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對(duì)于正弦諧波函數(shù)這類典型信號(hào)的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號(hào)或非周期信號(hào)作用下的運(yùn)動(dòng)情況。32機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.2.1頻率特性表示法(1)極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)頻率特性的極坐標(biāo)圖也稱為幅相頻特性圖或稱為奈奎斯特圖。由于頻率特性G(j)是的復(fù)變函數(shù)，故可在復(fù)平面[G(j)]上表示。頻率特性可由復(fù)平面上相應(yīng)的矢量G(j)描述，如圖4-6所示。4.2

典型環(huán)節(jié)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)33當(dāng)從0→∞變化時(shí)，G(j)矢量端點(diǎn)的軌跡即為頻率特性的極坐標(biāo)曲線，該曲線連同坐標(biāo)一起則稱為極坐標(biāo)圖。這里規(guī)定極坐標(biāo)圖的實(shí)軸正方向?yàn)橄辔坏牧愣染€，由零度線起，矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為正，順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)。圖中用箭頭標(biāo)明從小到大的方向。主要缺點(diǎn):不能明顯地表示出系統(tǒng)傳遞函數(shù)中各個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用，繪制較麻煩。極坐標(biāo)圖的優(yōu)點(diǎn):在一幅圖上同時(shí)給出了系統(tǒng)在整個(gè)頻率域的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性。它比較簡(jiǎn)潔直觀地表明了系統(tǒng)的頻率特性。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(1)極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)34繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟

1）在系統(tǒng)傳遞函數(shù)中令s=j，寫出系統(tǒng)頻率特性G(j)；

2）寫出系統(tǒng)的幅頻特性|G(j)|、相頻特性∠G(j)、實(shí)頻特性Re()和虛頻特性Im()；

3）令=0，求出=0時(shí)的|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；

4）若頻率特性矢端軌跡與實(shí)軸、虛軸存在交點(diǎn)，求出這些交點(diǎn)。令Re()=0，求出，然后代入Im()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與虛軸的交點(diǎn)；令I(lǐng)m()=0

，求出，然后代入Re()的表達(dá)式即求得矢端軌跡與實(shí)軸的交點(diǎn)。(1)極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)355）對(duì)于二階振蕩環(huán)節(jié)（或二階系統(tǒng)）還要求=n時(shí)的|G(j)|、∠G(j)、

Re()、Im()。若此環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的阻尼比0<<0.707，則還要計(jì)算諧振頻率r

、諧振峰值Mr及=r時(shí)的Re()、Im()。6）在0<<∞的范圍內(nèi)再取若干點(diǎn)分別求|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()；8）在復(fù)平面[G(j)]中，標(biāo)明實(shí)軸、原點(diǎn)、虛軸和復(fù)平面名稱[G(j)]。在此坐標(biāo)系中，分別描出以上所求各點(diǎn)，并按增大的方向?qū)⑸鲜龈鼽c(diǎn)聯(lián)成一條曲線，在該曲線旁標(biāo)出增大的方向。7）令=∞，求出|G(j)|、∠G(j)、Re()、Im()

；(1)極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖Nyquist)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)繪制頻率特性Nyqusit圖的步驟36（2）波德圖（Bode圖）

波德圖也稱為對(duì)數(shù)頻率特性圖。用兩個(gè)坐標(biāo)圖分別表示幅頻特性和相頻特性。幅頻特性圖的縱坐標(biāo)(線性分度)表示了幅頻特性幅值的分貝值，為L(zhǎng)()=20lg|G(j)|，單位是分貝(dB)；橫坐標(biāo)(對(duì)數(shù)分度)表示值，單位是弧度/秒或秒-1(rad/s或s-1

)。相頻特性圖的縱坐標(biāo)(線性分度)表示G(j)的相位，單位是度；橫坐標(biāo)（同上）。這兩個(gè)圖分別叫做對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖，統(tǒng)稱為頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，又稱為波德圖（Bode）。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)371）坐標(biāo)軸分度（2）波德圖（Bode圖）

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)對(duì)數(shù)幅頻特性382）漸近線的斜率繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖時(shí)，一般常只畫出它的漸近線。當(dāng)要求精確時(shí)，再加以修正。所以在畫漸近線之前，先要確定漸近線的斜率。漸近線的斜率是用頻率增高到一倍或十倍時(shí)，L()變化的分貝數(shù)來表示的。在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上，若2=21。則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“倍頻程”（octave），或簡(jiǎn)寫成oct。若2=101，則1和2兩點(diǎn)間的距離就稱為“十倍頻程”（decade）或簡(jiǎn)寫成dec。倍頻程和十倍頻程的含義也可從圖4-7看出。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)對(duì)數(shù)幅頻特性39

若頻率增高到一倍，L()衰減6分貝，則斜率為“每倍頻程負(fù)6分貝”，記為“-6dB/oct”。相似地，若頻率增高到十倍，L()衰減20分貝，則稱斜率為“每十倍頻程負(fù)20分貝”，記為“-20dB/dec”。2）漸近線的斜率機(jī)械工程控制基礎(chǔ)對(duì)數(shù)幅頻特性40設(shè)某環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為

L()=-20lg則頻率=1和101時(shí)的對(duì)數(shù)幅值為：

L()=L(1)=-20lg1L()=L(101)=-20lg1-20lg10=-20lg1-20即該對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率為-20dB/oct。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)對(duì)數(shù)幅頻特性2）漸近線的斜率413）對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線設(shè)某環(huán)節(jié)的幅頻特性為這一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線（4-22）漸近線可求得如下：當(dāng)

<<1/T時(shí)，T22與1相比可以略去不計(jì)，故在這一頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性，可近似地取為

L()=20lg5=14(4-23)這是一條距橫坐標(biāo)軸距離為14分貝，斜率為0dB/dec。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)42當(dāng)

>>1/T時(shí)，1與T22相比可以忽略，故在這一頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性，可近似的取為即(4-24)顯然，這是一條斜率為-20dB/dec的直線。因此，（4-22）所示的對(duì)數(shù)幅頻特性，可用式（4-23）和（4-24）所示的兩條直線近似。這兩條直線就是所求的漸近線。3）對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線機(jī)械工程控制基礎(chǔ)434）轉(zhuǎn)角頻率兩條漸近線相交處的頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率T。轉(zhuǎn)角頻率可通過聯(lián)解兩條漸近線方程而求得。求得其實(shí)，系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線上的各個(gè)轉(zhuǎn)角頻率，就是系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)或無阻尼自然頻率。對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的漸近線的斜率，在轉(zhuǎn)角頻率處要發(fā)生突變，所以在繪制波德圖時(shí)要確定各個(gè)轉(zhuǎn)角頻率。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)445）幅值穿越頻率對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫坐標(biāo)軸相交處的頻率稱為幅值穿越頻率或增益交界頻率,用c表示。穿越頻率可通過求解由高頻段漸近線方程和L()=0組成的聯(lián)立方程而得到。如式（4-22)所示的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的幅值穿越頻率,可解聯(lián)立方程

L()=20lg5-20lgTL()=0得到c=5/T45對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫坐標(biāo)軸的分度與對(duì)數(shù)幅頻特性圖的相同，是按頻率的對(duì)數(shù)分度；對(duì)數(shù)相頻特性圖的縱坐標(biāo)軸是按相位的度數(shù)或弧度數(shù)線性分度的。對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)數(shù)相頻特性是指頻率特性函數(shù)的相位隨而變化的關(guān)系。

()=∠G(j)

相位穿越頻率或相位交界頻率（g）對(duì)數(shù)相頻特性曲線與-180°線相交處的頻率，或者說頻率特性函數(shù)的相位等于-180°時(shí)的頻率。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)46波德圖表示頻率特性有如下優(yōu)點(diǎn)：

1）可將串聯(lián)環(huán)節(jié)幅值的乘、除，化為幅值的加、減。因而簡(jiǎn)化了計(jì)算與作圖過程。2）可用近似方法作圖。先分段用直線作出對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，再用修正曲線對(duì)漸近線進(jìn)行修正，就可得到較準(zhǔn)確的對(duì)數(shù)幅頻特性圖。3）可分別作出各個(gè)環(huán)節(jié)的波德圖，然后用疊加方法得出系統(tǒng)的波德圖，并由此可以看出各個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)系統(tǒng)總特性的影響。4）由于橫坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，所以

=0的頻率不可能在橫坐標(biāo)上表現(xiàn)出來，因此，橫坐標(biāo)的起點(diǎn)可根據(jù)實(shí)際所需的最低頻率來決定。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)474.2.1典型環(huán)節(jié)的頻率特性（1）比例環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖由于

G(s)=K即

G(j)=K(4-27)幅頻特性

|Ｇ(j)|=K(4-28)相頻特性∠G(j)=0°(4-29)這表明，當(dāng)從0→∞時(shí)，Ｇ(j)的幅值總是K，相位總是0°，Ｇ(j)在極坐標(biāo)圖上為實(shí)軸上的一定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（K，j0），如圖4-9所示。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)482）波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性

20lg|Ｇ(j)|=20lgK(4-30)對(duì)數(shù)相頻特性

()=∠Ｇ(j)=0°其曲線是一條水平線，分貝數(shù)為20lgK。圖4-10中，K＝10，故對(duì)數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)恒為20dB，而相位恒為零，故其對(duì)數(shù)相頻特性曲線是與0°重合的一直線。因?yàn)橛扇舾森h(huán)節(jié)串聯(lián)而成的系統(tǒng)的增益等于各環(huán)節(jié)增益之積，即K＝K1·K2···Kn，故系統(tǒng)增益的對(duì)數(shù)幅值等于各個(gè)環(huán)節(jié)增益的對(duì)數(shù)幅值之和。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)49（2）積分環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖由于即(4-31)

幅頻特性

|Ｇ(j)|=1/(4-32)相頻特性∠Ｇ(j)=-90°(4-33)由此有：當(dāng)

=0時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=-90°;當(dāng)

=∞時(shí)，|G(j)|=0,∠G(j)=-90°?？梢?，當(dāng)從0→∞時(shí)，G(j)的幅值由∞→0，相位總是-90°，積分環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖是虛軸的下半軸，由無窮遠(yuǎn)點(diǎn)指向原點(diǎn)，如圖4-11所示。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)502）波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性為：

20lg|G(j)|=20lg=-20lg

(4-34)對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=-90°

于是：當(dāng)=0.1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn)（0.1，20）；當(dāng)=1rad/s時(shí)，20lg|(G(j)|=0dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn)（1，0）；當(dāng)=10rad/s時(shí),20lg|(G(j)|=-20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性經(jīng)過點(diǎn)（10，-20）。（2）積分環(huán)節(jié)的頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)51積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性如圖4-12下半部所示，它與無關(guān)，是一條過點(diǎn)（0，-90°)且平行于橫軸的直線。

故積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖4-12上半部所示。它是一條過點(diǎn)（1，0）的直線，其斜率為

-20dB/dec(dec表示十倍頻程，即橫坐標(biāo)的頻率由增加到10)。（2）積分環(huán)節(jié)的頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)52

解：因，即，

例4-2作的波德圖。相頻特性∠G(j)=-180°

對(duì)數(shù)幅頻特性為：

對(duì)數(shù)相頻特性

()=∠G(j)=-180°當(dāng)

=1、K=10時(shí),20lg|G(j)|=20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性過點(diǎn)(1，20)。=10、K=10時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB，對(duì)數(shù)幅頻特性過點(diǎn)(1，-20)故幅頻特性

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)53系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性為一過點(diǎn)(1，20)而斜率為-40dB/dec的直線，如圖4-13幅頻特性圖中粗實(shí)線所示，顯然，它是一個(gè)比例環(huán)節(jié)(K=10)與兩個(gè)積分環(huán)節(jié)(1/s)的對(duì)數(shù)幅頻特性的疊加，而這兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性如圖4-13中虛線所示。例4-2作的波德圖。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)54由圖4-12與圖4-13可知，增加一個(gè)串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)，就使對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率增加-20dB/dec，而使相位增加-90°；增加一個(gè)串聯(lián)的比例環(huán)節(jié)后，其對(duì)數(shù)幅頻特性垂直平移20lgK，而其相位不變。對(duì)數(shù)相頻特性是一條過點(diǎn)(0，-180°)且平行于橫軸的一直線，如圖4-13所示，當(dāng)然也是一個(gè)比例環(huán)節(jié)和兩個(gè)積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性的疊加。例4-2作的波德圖。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)55（3）理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖由于

G(s)=s

即

G(j)=j(4-35)顯然，實(shí)頻特性恒為0；虛頻特性為。

故幅頻特性

|G(j)|=(4-36)相頻特性∠G(j)=90°(4-37)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)56可見，當(dāng)從0→∞時(shí)，G(j)

的幅值由0→∞，其相位總是90°。微分環(huán)節(jié)的頻率特性的極坐標(biāo)圖是虛軸的上半軸，由原點(diǎn)指向無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，如圖4-14所示。由此有：當(dāng)=0時(shí)，

|G(j)|=0，∠G(j)=90°；當(dāng)=∞時(shí)，

|G(j)|=∞，∠G(j)=90°

（3）理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)572）波德圖

對(duì)數(shù)幅頻特性20lg|G(j)|=20lg

(4-38)對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=90°當(dāng)

=0.1時(shí)，20lg|G(j)|=-20dB

，當(dāng)

=1時(shí)，20lg|G(j)|=0dB?？梢?，微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是過點(diǎn)(1，0)，而斜率為20dB/dec的直線。對(duì)數(shù)相頻特性是過點(diǎn)(0，90°)，且平行于橫軸的直線。這說明輸出的相位總是超前于輸入相位90°。微分環(huán)節(jié)的波德圖如圖4-15所示。

（3）理想微分環(huán)節(jié)的頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)5859（4）慣性環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖顯然，實(shí)頻特性為；虛頻特性為

故幅頻特性

(4-37)

相頻特性(4-38)

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)

由于即(4-36)

60當(dāng)=0時(shí)，|G(j)|=1

，∠G(j)=0°

當(dāng)=1/T時(shí)，

|G(j)|=0.707

，∠G(j)=-45°

當(dāng)=∞時(shí)，|G(j)|=0

，∠G(j)=-90°

根據(jù)上述實(shí)頻和虛頻特性兩式，可分別求得不同值的Re()和Im()，從而作出極坐標(biāo)圖。

此時(shí)，頻率特性曲線為一半圓。證明如下：

設(shè)實(shí)頻特性為

虛頻特性為

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（4）慣性環(huán)節(jié)的頻率特性61所以將其代入實(shí)頻特性表達(dá)式中則有，將此式整理得

（4-39）

此式是一個(gè)圓方程，但由于∠G(j)=-arctanT

，所以當(dāng)0<<∞時(shí)，極坐標(biāo)圖是下半圓，因?yàn)榇藭r(shí)∠G(j)與Im()恒為負(fù)值，如圖4-16所示。

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（4）慣性環(huán)節(jié)的頻率特性622）波德圖如令，此頻率稱為轉(zhuǎn)角頻率

對(duì)數(shù)幅頻特性

（4-40）

對(duì)數(shù)相頻特性

當(dāng)<<1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

（4-41）

當(dāng)>>1/T時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性為：

（4-42）

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)63即在低頻段，漸近線是一條0dB/dec水平線，在高頻段是一條斜率為-20dB/dec的直線，該兩條漸近線相交處的轉(zhuǎn)角頻率為

慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的穿越頻率和轉(zhuǎn)角頻率相等，即cr=T

漸近線L()=-20lgT的繪制方法：設(shè)=i

，則有L(i)=-20lgiT，如果頻率i變化了十倍頻程，即=10i

，則有從上式可以看出：當(dāng)頻率每變化十倍頻程時(shí)，幅值L()衰減20dB，即斜率為-20dB/dec。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2）波德圖64慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下：

當(dāng)=0時(shí)，

()=-0°;從圖4-17可知，對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn)(T，-45)而且在≤0.1T時(shí)，()→-0°，在T≥10時(shí)，()→-90°。準(zhǔn)確的相頻特性曲線應(yīng)把每個(gè)值代入對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=-arctanT中計(jì)算所得。當(dāng)=T時(shí)，

()=-45°;當(dāng)=∞時(shí)，

()=-90°。2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)65表4-1慣性環(huán)節(jié)取不同頻率時(shí)所對(duì)應(yīng)的()

(rad/s)1/10T1/5T1/2T1/T2/T5/T10/T()-5.7°-11.3°-26.2°-45°-63.4°-78.7°-84.3°由圖4-17可知，慣性環(huán)節(jié)有低通濾波器的特性。當(dāng)輸入頻率>T時(shí)，其輸出很快衰減，即濾掉輸入信號(hào)的高頻部分；在低頻段，輸出能較準(zhǔn)確地反映輸入。

漸近線與精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線之間有誤差e()。由圖4-18可知，最大誤差發(fā)生在轉(zhuǎn)角頻率T處，其誤差為-3dB，在2T或T/2的頻率處。e()為-0.91dB，即約為-1dB，而在10T

或T/10的頻率處，e()

就接近于0dB，據(jù)此可0.1T

~10T范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正。

2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)66機(jī)械工程控制基礎(chǔ)67（5）一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖由于G(s)=1+TS

即G(j)=1+jT(4-43)顯然實(shí)頻特性恒為1；虛頻特性為T

。故幅頻特性

(4-44)

相頻特性∠G(j)=arctanT(4-45)由此有：當(dāng)

=0時(shí)，|G(j)|=1,∠G(j)=0°；

當(dāng)

=1/T時(shí)，|G(j)|=,∠G(j)=45°；

當(dāng)

=∞時(shí)，|G(j)|=∞,∠G(j)=90°。

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)68可見，當(dāng)從0→∞時(shí)，G(j)的幅值由1→∞，其相位由0°→90°。一階微分環(huán)節(jié)頻率特性的極坐標(biāo)圖始于點(diǎn)(1，j0)，平行于虛軸，是在第一象限的一條垂線，如圖4-19所示。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)（5）一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性69當(dāng)

<<1/T時(shí)，20lg|G(j)|≈0dB，即低頻漸近線是0dB水平線；

當(dāng)

>>1/T

時(shí)，20lg|G(j)|≈20lgT，即高頻漸近線為一直線，其始于點(diǎn)(1/T

，0)，斜率為20dB/dec。顯然，一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率T=1/T

。一階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性取值如下：

當(dāng)

=0時(shí)，()=0°；

當(dāng)

=T

時(shí)，()=45°；當(dāng)

=∞時(shí)，()=90°。2）波德圖對(duì)數(shù)幅頻特性對(duì)數(shù)相頻特性()=∠G(j)=arctanT

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)70由圖4-20可知，對(duì)數(shù)相頻特性斜對(duì)稱于點(diǎn)(T，45)，

且在

≤0.1T時(shí)()→+0°，

≥10T

時(shí)，()→+90°。

比較圖4-20與圖4-17可知，一階微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性分別對(duì)稱于0dB線和0°線。

對(duì)數(shù)幅頻特性的精確曲線與漸近線的誤差修正曲線如圖4-18所示，只是其分貝數(shù)取正值。

2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)71（6）二階振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性1）極坐標(biāo)圖

如令

則

(4-47)

1)(2)(1)(22++=wzwwjTjTjG(4-48)

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)72實(shí)頻特性為

虛頻特性為故幅頻特性為(4-49)相頻特性(4-50)

由此有：當(dāng)

=0時(shí)，|G(j)|=1，∠G(j)=0°；當(dāng)

=1/T時(shí)，|G(j)|=1/2，∠G(j)=-90°；當(dāng)

=∞時(shí)，|G(j)|=0，∠G(j)=-180°。1）極坐標(biāo)圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)73當(dāng)從0→∞，G(j)的幅值由1→0，其相位由0°→-180°，振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性的極坐標(biāo)圖始于點(diǎn)(1,j0)，而終于點(diǎn)（0,j0）。曲線與虛軸的交點(diǎn)的頻率就是無阻尼固有頻率n，此時(shí)的幅值為1/(2)，曲線在第三、四象限，取值不同，G(j)的極坐標(biāo)圖形狀也不同，如圖4-21所示。1）極坐標(biāo)圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)74在阻尼比較小時(shí)，幅頻特性|G(j)|在頻率為

r

處出現(xiàn)峰值如圖4-21所示。此峰值稱為諧振峰值Mr，對(duì)應(yīng)的頻率r

稱為諧振頻率?？扇缦虑蟪觯河汕蟮?4-51)

即，當(dāng)頻率=r時(shí)，|G(j)|出現(xiàn)峰值，當(dāng)1-22≥0（0.707

）時(shí)，r才有意義，其諧振峰值為(4-53)

(4-52)1）極坐標(biāo)圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)75

越小，r

就越大；

=0時(shí)，r→1/T=n；由于無阻尼自然頻率n和有阻尼固有頻率d的關(guān)系是，對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)(0<<1)，諧振頻率r總小于有阻尼固有頻率d

。2）波德圖

幅頻特性

相頻特性

振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為：(4-54)

1）極坐標(biāo)圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)76對(duì)數(shù)相頻特性(a).振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線當(dāng)T<<1時(shí)，

20lg｜G(j)｜≈0dB

(4-55)即低頻漸近線是0dB水平線。當(dāng)T>>1時(shí)，

20lg｜G(j)｜≈-40lgT(4-56)當(dāng)=1/T時(shí)，高頻漸近線20lg｜G(j)｜=0dB?？梢?，高頻漸近線為一直線，始于點(diǎn)(1,0)，斜率為-40dB/dec。2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)77

由此可知，振蕩環(huán)節(jié)的漸近線是由一段0dB線和一條起始于點(diǎn)(1,0)(即在r=n/T處)，斜率為-40dB/dec的直線所組成。n又可稱為振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，如圖4-22所示，注意，圖中橫坐標(biāo)均為以對(duì)數(shù)刻度表示的/n。2）波德圖78(b)振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性的誤差修正曲線2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)79由式（4-54）可知，振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性精確曲線不僅與n

有關(guān)，而且與也有關(guān)。由圖4-22可知，越小，n

處或它附近的峰值越高，精確曲線與漸近線之間的誤差就越大。并根據(jù)不同的n和值可作出如圖4-23所示誤差修正曲線。根據(jù)此修正曲線，一般在0.1n~10n范圍內(nèi)對(duì)漸近線進(jìn)行修正，即可得到精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。表4-2為二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性修正表。(c)振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性

由圖4-22所示的振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性可知：

當(dāng)

=0時(shí)，()=0;當(dāng)

=n時(shí)，()=-90°

當(dāng)

=∞時(shí)，()=-180°。

2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)80表4-2二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性修正表

/n0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7828.09413.988.0943.7821.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.13701.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.00-0.08-0.472-1.41-2.92-1.41-0.472-0.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.296-6.20-4.296-2.76-1.29-0.34-0.086機(jī)械工程控制基礎(chǔ)2）波德圖81由圖4-22還可知，點(diǎn)(/n=1，-90)是相頻特性的斜對(duì)稱點(diǎn)。/n0.10.20.512510200.1-1.2o-2.4o-7.6o-90o-172.4o-177.6o-178.8o-179.4o0.2-2.3o-4.8o-14.9o-90o-165.1o-175.2o-177.7o-178.8o0.3-3.5o-7.1o-21.8o-90o-158.2o-172.9o-176.5o-178.3o0.5-5.8o-11.8o-33.7o-90o-146.3o-168.2o-174.2o-177.1o0.7-8.1o-16.3o-43.0o-90o-137.0o-163.7o-171.9o-176.0o1.0-11.4o-22.6o-53.1o-90o-126.9o-157.4o-168.6o-174.0o表4-3二階振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性()2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)82(d)振蕩環(huán)節(jié)的諧振頻率r和諧振峰值Mr

在本章中已求得

而且只有當(dāng)1<0.707時(shí)才存在r

。由圖4-22可知，越小,r

越接近于n

(即r/n越接近于1);增大,

r離n

的距離就增大。應(yīng)指出，1>≥0.707

時(shí)，可認(rèn)為r=0。

在前面，已求得

=r

時(shí)，G(jr)的幅值為：2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)83記|G(jr)|=Mr，由式(4-52)作出Mr-

關(guān)系曲線，如圖4-24所示。當(dāng)<0.707時(shí)，越小，Mr越大；→0時(shí)，Mr→∞；當(dāng)1>≥0.707時(shí)，可認(rèn)為Mr=1。值得指出的是，在一般的幅頻特性坐標(biāo)圖與相頻特性坐標(biāo)圖上，在=0.707或略小于此值時(shí)，幅頻特性曲線與相頻特性曲線在低頻段近于直線。2）波德圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)84（7）二階微分環(huán)節(jié)的頻率特性由于即(4-57)它的極坐標(biāo)圖如圖4-25所示。1）極坐標(biāo)圖機(jī)械工程控制基礎(chǔ)852）波德圖其幅頻特性與相頻特性如圖4-26所示。864.3

控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性4.3.1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

控制系統(tǒng)一般總是由若干典型環(huán)節(jié)組成，直接繪制系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖比較繁瑣，但熟悉了典型環(huán)節(jié)的頻率特性后，就不難繪制出系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖?？刂葡到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)一般形式為

(4-58)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)87故其對(duì)數(shù)幅頻特性為（4-59）對(duì)數(shù)相頻特性為（4-60）機(jī)械工程控制基礎(chǔ)88繪制系統(tǒng)的開環(huán)波德圖的步驟把系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式（即時(shí)間常數(shù)形式），如（4-58）式所表示的形式；選定對(duì)數(shù)幅頻特性圖上各坐標(biāo)軸的比例尺；求出慣性、一階微分、振蕩環(huán)節(jié)及二階微分的轉(zhuǎn)角頻率，并沿頻率軸上由小到大標(biāo)出；根據(jù)比例環(huán)節(jié)K，計(jì)算20lgK(dB);在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，找到頻率

=1rad/s及幅值為20lgK的一點(diǎn)，通過此點(diǎn)作斜率為-20N(dB/dec)的直線，N為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。如不存在積分環(huán)節(jié)，則作一條幅值為20logK的水平線；機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.3.1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

89在每個(gè)轉(zhuǎn)角頻率處改變漸近線的斜率，如果為慣性環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?20(dB/dec)；二階振蕩環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?40(dB/dec)；一階微分環(huán)節(jié)，斜率改變?yōu)?20(dB/dec)；如此，作到最后一段，最后一段漸近線的斜率應(yīng)為

-20(N+p+2q-m)dB/dec

N為積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；p為慣性環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；

q為二階振蕩環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；m為微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)可以應(yīng)用上述結(jié)論驗(yàn)證圖形繪制是否正確。如果要求精確對(duì)數(shù)幅頻特性圖，可對(duì)漸進(jìn)線進(jìn)行修正；畫出每一環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)相頻特性圖，然后把所有組成環(huán)節(jié)的相頻特性在相同的頻率下相疊加，即可得到系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.3.1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

90例4-3已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)要求繪制系統(tǒng)開環(huán)波德圖。解：

1．將G(s)化成由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的標(biāo)準(zhǔn)形式可見系統(tǒng)由比例環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)串聯(lián)組成。其頻率特性為機(jī)械工程控制基礎(chǔ)91

2．比例環(huán)節(jié)K=7.5，20lgK=17.5dB3．轉(zhuǎn)角頻率由小到大分別為1.414，2，34．通過點(diǎn)（=1rad/s，20lgK=17.5）畫一條斜率為-20dB/dec的斜線，即為低頻段的漸近線。此漸進(jìn)線與通過1=1.414的垂線相交點(diǎn)，因1是二階振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率，所以要在此點(diǎn)改變漸進(jìn)線的斜率-40dB/dec，因此漸進(jìn)線的斜率由-20dB/dec改變?yōu)?60dB/dec，此漸進(jìn)線又與通過一階慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率2=2的垂線相交點(diǎn)改變漸進(jìn)線的斜率由-60dB/dec改變?yōu)?80dB/dec。當(dāng)漸進(jìn)線通過一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)角頻率3=3的垂線相交點(diǎn)時(shí)改變漸進(jìn)線的斜率由-80dB/dec改變?yōu)?60dB/dec，這幾段漸進(jìn)線的折線即為對(duì)數(shù)幅頻特性。4.3.1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例4-3925．在轉(zhuǎn)角頻率處，利用誤差修正曲線對(duì)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線進(jìn)行必要的修正。6．根據(jù)式（4-60）畫出各典型環(huán)節(jié)的相頻特性曲線，線性疊加后即得系統(tǒng)的相頻特性曲線。系統(tǒng)的開環(huán)玻德圖如圖4-27所示。4.3.1控制系統(tǒng)開環(huán)波德圖的繪制

機(jī)械工程控制基礎(chǔ)例4-393944.3.2最小相位系統(tǒng)最小相位傳遞函數(shù)：若傳遞函數(shù)G(s)的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)均在復(fù)平面［s］的左半平面內(nèi)，則稱G(s)為最小相位傳遞函數(shù)。最小相位系統(tǒng)：具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)954.3.2最小相位系統(tǒng)(0<T<T1)(0<T<T1)具有相同幅頻特性的系統(tǒng)，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍是最小的。例如兩個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為非最小相位傳遞函數(shù)：若傳遞函數(shù)G(s)在復(fù)平面［s］的右半平面內(nèi)存在零點(diǎn)或極點(diǎn)，則稱G(s)為非最小相位傳遞函數(shù)。非最小相位系統(tǒng)：具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)。機(jī)械工程控制基礎(chǔ)96圖4-28(a)表示兩個(gè)系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布圖，顯然G1(s)屬于最小相位系統(tǒng)。這兩個(gè)系統(tǒng)具有同一個(gè)幅頻特征，但它們卻有著不同的相頻特性，如圖4-28(b)所示。4.3.2最小相位系統(tǒng)機(jī)械工程控制基礎(chǔ)97(1)在=∞時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的斜率為L(zhǎng)k(∞)=-20(n-m)dB/dec（4-61）(2)對(duì)于最小相位系統(tǒng)的相位特性；

(∞)=-90o(n-m)(4-62)這里n和m分別為傳遞函數(shù)中分母和分子多項(xiàng)式的階次。在最小相位系統(tǒng)中，對(duì)數(shù)幅頻特性的變化趨勢(shì)和相頻特性的變化趨勢(shì)是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時(shí)，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對(duì)數(shù)幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。

一個(gè)最小相位系統(tǒng)滿足下面的條件:機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.3.2最小相位系統(tǒng)984.3.3

閉環(huán)頻率特性（4-63）（1）由開環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性對(duì)于如圖（4-29）所示的系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性為G(j)H(j)。而該系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為機(jī)械工程控制基礎(chǔ)99

因此，已知開環(huán)頻率特性，就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性，也就可以繪出閉環(huán)頻率特性。設(shè)系統(tǒng)為單位反饋，即（4-64）（4-65）（4-66）由于上式也是的復(fù)變函數(shù)，所以上式的幅值M()和相位()分別表示為：機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.3.3閉環(huán)頻率特性100

逐點(diǎn)取值，計(jì)算出在不同頻率時(shí)(j)的幅值和相位，則可分別作出M-圖（閉環(huán)幅頻特性圖）和-圖（閉環(huán)相頻特性圖），如圖4-30所示。這樣逐步計(jì)算工作量很大，但是隨著計(jì)算機(jī)的應(yīng)用日益普及，閉環(huán)頻率特性的繪制就變的很容易了。101（4-67）顯然，此式右邊的后一項(xiàng)可看作是單位反饋系統(tǒng)的頻率特性，其前向通道頻率特性為G(j)H(j),再乘以1/H(j)，即得到(j)。令GK(j)=G(j)H(j)則研究單位反饋系統(tǒng)的(j)與G(j)之間的關(guān)系并不喪失問題的一般性，因?yàn)樵谝话闱闆r下：4.3.3

閉環(huán)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)102（2）頻率特性的性能指標(biāo)

在頻域分析中，評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)性能優(yōu)劣的特征量稱為頻域性能指標(biāo)，它體現(xiàn)了系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性等動(dòng)態(tài)品質(zhì)。系統(tǒng)的帶寬

指閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值不低于-3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍(0≦BW≦b)。

帶寬表征了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。對(duì)系統(tǒng)帶寬的要求，取決于兩方面因素的綜合考慮。1）截止頻率b和帶寬BW截止頻率

指閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值20lgM()下降到-3dB[即振幅M()

衰減到0.707M(0)]時(shí)的角頻率。閉環(huán)系統(tǒng)將高于截止頻率的信號(hào)分量濾掉，而允許低于截止頻率的信號(hào)分量通過。響應(yīng)速度的要求響應(yīng)越快，要求帶寬越寬。高頻濾波的要求為濾掉高頻噪聲，帶寬又不能太寬。4.3.3

閉環(huán)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)1034.3.3閉環(huán)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)1042）諧振峰值Mr和諧振頻率r

閉環(huán)頻率特性幅度值的極大值Mr，稱為諧振峰值。以二階系統(tǒng)為例。從知，系統(tǒng)的阻尼越小，Mr值越大，越易振蕩。阻尼比越大，Mr越小，越易穩(wěn)定下來。故Mr標(biāo)志著系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)1≦Mr≦1.4（相當(dāng)于對(duì)數(shù)幅值0≦Mr≦3dB）時(shí)，對(duì)應(yīng)的阻尼比為0.4≦≦0.707。若<0.4

，則系統(tǒng)的超調(diào)量過大；>0.707，則系統(tǒng)不出現(xiàn)諧振峰值，故一般取Mr≦1.4。系統(tǒng)諧振峰值處的頻率，稱為諧振頻率r，r表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。從圖4-31可見，b>r，諧振頻率r越大，系統(tǒng)帶寬越寬，故響應(yīng)速度越快。4.3.3閉環(huán)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)1053）剪切率

指對(duì)數(shù)幅值曲線在截止頻率附近的斜率，該處曲線斜率越大，高頻噪音衰減的越快。因此，剪切率表征了系統(tǒng)從噪音中辨別信號(hào)的能力。開環(huán)頻率特性性能指標(biāo)中，描述系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的增益裕度、相位裕度等將在第五章介紹。4.3.3閉環(huán)頻率特性機(jī)械工程控制基礎(chǔ)106主要介紹二階系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性的評(píng)價(jià)性能指標(biāo)。的幅頻特性將M(b)=0.707代入二階系統(tǒng)（1）截止頻率b中，可求得如下關(guān)系機(jī)械工程控制基礎(chǔ)4.4頻域性能指標(biāo)及其與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系107（2）諧振頻率r和諧振峰值Mr：由式（4-45）得峰值時(shí)間tP與n和的關(guān)系為得調(diào)整時(shí)間ts與n和的關(guān)系為式中：=2%或=5%得機(jī)械工程控制基礎(chǔ)108由于最大超調(diào)量和諧振峰值分別為所以由以上公式可以看出：（2）諧振頻率r和諧振峰值Mr：機(jī)械工程控制基礎(chǔ)1094.5頻率特性實(shí)驗(yàn)法估計(jì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)在分析和設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。我們已經(jīng)介紹了通過解析法獲取數(shù)學(xué)模型的方法。但是實(shí)際系統(tǒng)是復(fù)雜的，有些系統(tǒng)由于人們對(duì)其結(jié)構(gòu)、參數(shù)及其支配運(yùn)動(dòng)的機(jī)理不很了解，常常難于從理論上導(dǎo)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，這里我們?cè)俳榻B一種用頻率特性實(shí)驗(yàn)分析法來確定系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法