多元函數(shù)微分1

多元函數(shù)的基本概念一、平面點(diǎn)集n維空間二、多元函數(shù)概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁一、平面點(diǎn)集n維空間

1.平面點(diǎn)集

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合稱為平面點(diǎn)集記作

E{(x

y)|(x

y)具有性質(zhì)P}

設(shè)P0(x0

y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)

是某一正數(shù)點(diǎn)P0的鄰域記為U(P0

)它是如下點(diǎn)集鄰域

點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系

內(nèi)點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)

外點(diǎn)如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)

使得U(P)E

則稱P為E的外點(diǎn)

邊界點(diǎn)如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)則稱P點(diǎn)為E的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)外點(diǎn)

E的邊界點(diǎn)的全體稱為E的邊界記作E

聚點(diǎn)

有E中的點(diǎn)則稱P是E的聚點(diǎn)

D是連通的連通性如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn)都可用折線連結(jié)起來且該折線上的點(diǎn)都屬于E

則稱E為連通集

E1E2是非連通的開集

如果點(diǎn)集E的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn),則稱E為開集.閉集如果點(diǎn)集的余集Ec為開集則稱E為閉集

舉例

點(diǎn)集E{(x

y)|1<x2y2<4}是開集也是開區(qū)域點(diǎn)集E{(x

y)|1x2y24}是閉集也是閉區(qū)域點(diǎn)集E{(x

y)|1x2y24}既非開集也非閉集

區(qū)域(或開區(qū)域)

連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域有界集

對(duì)于平面點(diǎn)集E

如果存在某一正數(shù)r

使得EU(O

r)

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)則稱E為有界點(diǎn)集

無界集

一個(gè)集合如果不是有界集就稱這集合為無界集

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無界閉區(qū)域

點(diǎn)集{(x

y)|xy0}是無界開區(qū)域

舉例

點(diǎn)集{(x

y)|1x2y24}是有界閉區(qū)域

我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1

x2

xn)的全體所構(gòu)成的集合稱為n維空間,記為Rn即

Rn{(x1

x2

xn)|xiR

i12

n}

2.n維空間xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量

點(diǎn)x(x1

xn)和點(diǎn)y(y1

yn)間的距離記作(x

y)規(guī)定兩點(diǎn)間的距離鄰域

設(shè)aRn

是某一正數(shù)則n維空間內(nèi)的點(diǎn)集

U(a

){x|xRn

(x

a)}就定義為Rn中點(diǎn)a的鄰域

平面點(diǎn)集中由鄰域定義的各種概念可以類似地推廣.

注：二、多元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數(shù)通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

函數(shù)值與自變量x、y的一對(duì)值(x

y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值稱為f在點(diǎn)(x

y)處的函數(shù)值記作f(x

y)

即zf(x

y)

值域

f(D){z|zf(x

y)(x

y)D}

函數(shù)也可以用其它符號(hào)如zz(x

y)

zg(x

y)等

把上述定義中的平面點(diǎn)集D換成n維空間Rn內(nèi)的點(diǎn)集D映射f

DR就稱為定義在D上的n元函數(shù)通常記為uf(x1

x2

xn)(x1

x2

xn)D

或uf(x)

x(x1

x2

xn)D

或uf(P)

P(x1

x2

xn)D

二、多元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集稱映射f

DR為定義在D上的二元函數(shù)通常記為zf(x

y)(x

y)D(或zf(P)

PD)其中D稱為該函數(shù)的定義域

x

y稱為自變量

z稱為因變量

n元函數(shù)在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)uf(x)時(shí)以使這個(gè)算式有意義的變元x的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域?qū)@類函數(shù)它的定義域不再特別標(biāo)出

多元函數(shù)的定義域函數(shù)zln(xy)的定義域?yàn)閧(x

y)|xy>0}函數(shù)zarcsin(x2y2)的定義域?yàn)閧(x

y)|x2y21}

舉例

例1

求下列函數(shù)的定義域,并畫出定義域的圖形.

解(1)

用X型區(qū)域表示:

例1

求下列函數(shù)的定義域,并畫出定義域的圖形.

解(2)

用Y型區(qū)域表示:

z=ax+by+c二元函數(shù)的圖形點(diǎn)集{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)D}稱為二元函數(shù)zf(x,y)的圖形.(1)z=ax+by+c的圖形是一個(gè)平面.舉例

(2)方程x2+y2+z2a2確定兩個(gè)二元函數(shù)其圖形分別表示上半球面和下半球面,其定義域均為D={(x,y)|x2+y2a2}.(3)z=2x2+y2的圖形是橢圓拋物面.三、多元函數(shù)的極限二重極限的定義設(shè)二元函數(shù)f(P)f(x

y)的定義域?yàn)镈

P0(x0

y0)是D的聚點(diǎn)如果存在常數(shù)A對(duì)于任意給定的正數(shù)e總存在正數(shù)使得當(dāng)|f(P)A||f(x

y)A|成立則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x

y)當(dāng)(x

y)(x0

y0)時(shí)的極限記為也記作類似地,可以定義多元函數(shù)的極限.提示

當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿x軸、y軸趨于點(diǎn)(0,0)時(shí)函數(shù)的極限為零.

當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),有因此,函數(shù)f(x,

y)在(0,0)處無極限.討論注:如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí),函數(shù)趨于不同的值,

則函數(shù)的極限不存在.

多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)的情況類似.

解

例2

四、多元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)性定義二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)上去.設(shè)二元函數(shù)f(x

y)的定義域?yàn)镈

P0(x0

y0)為D的聚點(diǎn)

且P0D如果則稱函數(shù)f(x

y)在點(diǎn)P0(x0

y0)連續(xù)

如果函數(shù)f(x

y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)那么就稱函數(shù)f(x

y)在D上連續(xù)或者稱f(x

y)是D上的連續(xù)函數(shù)

提示多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的多元初等函數(shù)的連續(xù)性

多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)這個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的

提示定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域

根據(jù)連續(xù)性求極限

如果f(P)是初等函數(shù)且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)則

例3

解

因?yàn)镻0(12)為D的內(nèi)點(diǎn)所以

D{(x

y)|x0

y0}

根據(jù)連續(xù)性求極限

如果f(P)是初等函數(shù)且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)則

例4

解

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必定在D上有界且能取得它的最大值和最小值多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2(介值定理)

在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值

用X型區(qū)域表示:

解

練習(xí)1

求函數(shù)的定義域,并畫出定義域的圖形.其中

解

練習(xí)2

求下列極限.

解

練習(xí)2

求下列極限.

證明

練習(xí)3

證明極限不存在.

當(dāng)點(diǎn)(x,y)在直線y=kx

上時(shí),有點(diǎn)(x,y)沿不同的直線y=kx

趨于點(diǎn)(0,0)時(shí),函數(shù)趨于不