數(shù)學(xué)物理方程一些典型方程和定解條件的建立

第一章：一些典型方程和定解條件的建立肖龍勝xls.work@§1.1

數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方程的建立定解條件的建立定解問題本章提要：對實(shí)際問題（物理及一般問題），分析考察量的變化規(guī)律，建立相應(yīng)的微分方程寫出考察量所滿足的相關(guān)條件根據(jù)微分方程和相關(guān)條件，求出考察量的解討論解的適用條件精確描述線性增長階段例子:人口增長問題

(Malthus模型)什么是數(shù)學(xué)物理方法？用數(shù)學(xué)物理方法處理實(shí)際問題:第一步它是最重要的一步也是最困難的一步：數(shù)學(xué)物理方程的建立數(shù)學(xué)物理方法的核心：§1.1

數(shù)學(xué)物理方程的建立統(tǒng)計(jì)法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法基本方程（泛定方程）的建立

物理模型（現(xiàn)象、過程）

數(shù)學(xué)形式表述（建立偏微分方程并求解）目的：培養(yǎng)分析、歸納、綜合、演繹、抽象、猜測、試探、估算的科學(xué)方法。微元法步驟：(1）確定研究對象（物理量），建立合適的坐標(biāo)系；（2）在系統(tǒng)內(nèi)部，任取一微元，利用物理規(guī)律，分析其與相鄰部分間的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化簡整理，得到偏微分方程。

不含初始條件不含邊界條件物理狀態(tài)描述:設(shè)有一根均勻、柔軟的細(xì)弦，平衡時沿直線拉緊，除受到重力外，不受其它外力影響，在鉛直平面內(nèi)作橫向、微小振動。平衡位置弦的振動：雖然經(jīng)典，但極具啟發(fā)性。一.均勻弦的橫振動方程的建立橫向指全部運(yùn)動出現(xiàn)在一個平面上，而且弦上的點(diǎn)沿垂直于x軸的方向運(yùn)動微小指振動的幅度及弦在任意位置處切線的傾角都很小，以致它們的高于一次方的項(xiàng)都可以忽略平衡位置:弦被繃緊，內(nèi)部有張力(設(shè)為

T)，

長度為

L，水平安置(位于

x軸)x00x初始狀態(tài):（例如）弦被拉成下列形狀：LL任意t時刻弦的形狀:

0xu現(xiàn)在的問題：任意時刻t弦上任意點(diǎn)x離開其平衡位置的位移u(x,t)

？xuL平衡位置任意截取一小段，并抽象性夸大。一.均勻弦的橫振動方程的建立微元法：弦振動方程X1、建立坐標(biāo)系，選定微元2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）uosM1N1M2N2xx+dxT1T2X1、建立坐標(biāo)系，選定微元uo2、微元s的動力學(xué)方程（牛頓第二運(yùn)動定律）M1sN1M2N2xx+dxT1T2(1)(2)水平方向：豎直方向：(忽略重力)弦s的質(zhì)量:0xxu水平方向：豎直方向：3、忽略與近似對于微振動:T1＝T2，說明張力不隨地點(diǎn)而變，它在整根弦中取同一數(shù)值。tangential導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)關(guān)于函數(shù)的某種形式的極限（實(shí)質(zhì)）函數(shù)在某點(diǎn)上的變化率（數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)）某點(diǎn)上切線的斜率（幾何意義）知識復(fù)習(xí)(弦振動方程)或者，是的變化量，可以用微分近似代替，即(一維波動方程)0xxu水平方向：沒有變化豎直方向：強(qiáng)迫振動方程：若弦還受到時空依賴的外力的作用(設(shè)弦單位長度受力為F(x,t)，其方向豎直于x軸):強(qiáng)迫振動方程注:齊次方程:只含有對

u

的各種運(yùn)算非齊次方程：含有對

u

運(yùn)算之外的項(xiàng)f(x,

t),被稱為驅(qū)動項(xiàng),或非零自由項(xiàng)弦振動方程的解

u(x,t)

表示位于

x處的“弦點(diǎn)”在任意

t時刻離開其平衡位置的位移。其實(shí)，弦振動方程就是波動方程，因?yàn)椴ㄊ钦駝拥膫鞑?。因此解u(x,t)也表示空間任意點(diǎn)x

的波形。tu空間任意點(diǎn)

x的波形弦振動方程=波動方程自然界許多彈性振動，例如機(jī)械振動、建筑物的剪振動、潮汐波、地震聲波、聲波以及電磁波等都可以用波動方程來描述。波動方程的應(yīng)用:L＋二.傳輸線方程(電報方程)的建立

對于直流電或低頻的交流電,電路的基爾霍夫（Kirchhoff）定律指出,同一支路中的電流相等。但對于較高頻率的電流（指頻率還未高到顯著輻射電磁波出去的程度），電路導(dǎo)線中的自感和電容的效應(yīng)不能被忽視，因而同一支路中電流呈現(xiàn)瞬態(tài)變化?，F(xiàn)在考慮電流一來一往的高頻傳輸線，它被當(dāng)作具有分布參數(shù)的導(dǎo)體，每單位長導(dǎo)線所具有的電阻、電感、電容、電導(dǎo)分別以R、L、C、G

表示?！瘛裎锢頎顟B(tài)描述:

設(shè)如圖傳輸線是分布參數(shù)電路，即傳輸線上電阻R、電感L、電容C和電導(dǎo)G是按單位長度計(jì)算其對應(yīng)的物理量，并且在x+dx范圍之內(nèi)的所有元件無論布局如何，均認(rèn)為其長度為dx。電容元件：電感元件：換路定理:在換路瞬間，電容上的電壓、電感中的電流不能突變。電路準(zhǔn)備知識知識復(fù)習(xí)

什么是傳輸線？傳輸線的始端接信號源，終端接負(fù)載。其間的電壓、電流信號都是時空依賴的。整個傳輸線可以看成由許多微元x級聯(lián)而成。從中取一個微元x：它的等效電路由下列

4

種原件構(gòu)成：信號源電阻:

R電感:

L電容:

C電導(dǎo):

G微元的等效線路：負(fù)載微元足夠小，每個原件的尺度均為單位長度的值微元法：傳輸線方程在長度為x的傳輸線中，電壓降：在結(jié)點(diǎn)：流入的電流等于流出的電流：電流-電壓耦合方程：傳輸線方程：(1)對x微分：(2)兩端乘以C：(4)兩端對t微分：(3)-(5)：（2）（3）（4）（1）（5）（6）將(2)中的代入(6)：電流方程(2)對x微分：(1)兩端乘以L：(4)兩端對t微分：(3)-(5)：（2）（3）（4）（1）（5）（6）將(1)中的代入(6)：電壓方程電流與電壓有完全相同的變化規(guī)律在高頻傳輸情況下，電阻（電導(dǎo)）所產(chǎn)生的效應(yīng)可以忽略不計(jì)，這樣高頻傳輸線的方程約化為波動方程：結(jié)論：同一個方程可以描述不同的物理現(xiàn)象L/C:分布參數(shù)

熱傳導(dǎo):

當(dāng)物體內(nèi)部各點(diǎn)的溫度不一樣時，熱量就會從溫度較高的地方向溫度較低的地方流動，這樣溫度是空間和時間的函數(shù)。熱傳導(dǎo)方程就是溫度所滿足的偏微分方程，它的解給出任意時刻物體內(nèi)的溫度分布。微元法:熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:在場中之任一點(diǎn)處，沿任一方向的熱流強(qiáng)度（即在該點(diǎn)處單位時間內(nèi)流過與該方向垂直的單位面積的熱量）與該方向上的溫度變化率成正比

x

高溫低溫?zé)崃鳠崃餮豿方向傳遞,任意x處的溫度為u,溫度梯度為，q表示在單位時間內(nèi)流經(jīng)單位面積的熱量（熱流強(qiáng)度），k是熱傳導(dǎo)系數(shù)，負(fù)號表示熱流方向與溫度梯度方向（溫度增大的方向）相反。單位面積q00u熱傳導(dǎo)的傅里葉定律:溫度梯度：低溫高溫?zé)崃鲃樱焊邷氐蜏厝绻谌靠臻g或部分空間里的每一點(diǎn)，都對應(yīng)著整個物理量的一個確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的一個場。如果這物理量是數(shù)量，稱這個場為數(shù)量場（標(biāo)量場）；若是矢量，稱為矢量場。例如溫度場、密度場、電位場等為數(shù)量場，力場、速度場等為矢量場。場是一種特殊物質(zhì)，看不見摸不著，但確實(shí)存在。場把物理狀態(tài)作為空間和時間的函數(shù)來描述。若物理狀態(tài)與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場（穩(wěn)定場）；反之，為動態(tài)場或時變場（不穩(wěn)定場）。關(guān)于場：分布在數(shù)量場中各點(diǎn)處的數(shù)量u是場中之點(diǎn)M的函數(shù)u=u(M）（在直角坐標(biāo)系中寫成u=u(x,y,z)）。一個數(shù)量場可以用一個數(shù)性函數(shù)來表示，假定該函數(shù)單值、連續(xù)且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。由場中使函數(shù)u取相同數(shù)值的點(diǎn)所組成的曲面，稱為等值面。如等溫面、等位面。u(x,y,z)=c，（c為常數(shù)）在函數(shù)u=u(x,y)所表示的平面數(shù)量場中具有相同數(shù)值的點(diǎn)，組成此數(shù)量場的等值線。如等高線、等溫線、等壓線等。u(x,y)=c若在數(shù)量場u(M)中的一點(diǎn)M處，存在這樣一個矢量G，其方向?yàn)楹瘮?shù)u(M)在點(diǎn)M處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值。則稱矢量G為函數(shù)u(M)在點(diǎn)M處的梯度，記作G=gradu。梯度的定義與坐標(biāo)系無關(guān)，由數(shù)量場u(M)的分布所決定。梯度的方向就是函數(shù)在點(diǎn)增長最快的方向。數(shù)量場u(M)中每一點(diǎn)M處的梯度，垂直于過該點(diǎn)的等值面，且指向函數(shù)u(M)增大的方向。例如：電場中的電場強(qiáng)度等于電位的負(fù)梯度。在直角坐標(biāo)系中表示為：關(guān)于梯度：梯度運(yùn)算的基本公式：c是常數(shù)均勻細(xì)桿的長度為L，橫截面積為S，桿的兩個端點(diǎn)處于x=0和x=L。假定桿在初始t=0時刻的溫度分布為(x)，在隨后的時間（t>0），熱量在桿中流動。求在任意t時刻、桿中任意位置x（0<x<L）的溫度u(x,t)。均勻細(xì)桿：熱傳導(dǎo)方程

微元長度,橫截積面,體密度:0xxQ1

Q2

在t

時間內(nèi)從

x截面流入的熱量在

時間內(nèi)從截面流出的熱量比熱定義體積元吸收的凈熱量表現(xiàn)為溫度的升高均勻細(xì)桿的熱傳導(dǎo)方程比熱容(specificheatcapacity)簡稱比熱(specificheat)，是單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容量，即是單位質(zhì)量物體改變單位溫度時的吸收或釋放的內(nèi)能。比熱容是表示物質(zhì)熱性質(zhì)的物理量。通常用符號c表示。在英文中，比熱容被稱為：SpecificHeatCapacity(SHC）。用比熱容計(jì)算熱能的公式為：Energy=Mass×SpecificHeatCapacity×Temperaturechange可簡寫為：Energy=SHC×Mass×TempCh，即Q=cmT

知識拓展其中,而熱傳導(dǎo)方程:能量守恒要求:三維熱傳導(dǎo)方程:有源熱傳導(dǎo)方程:統(tǒng)計(jì)法：對所考察的問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)研究，分析考察量的變化規(guī)律，寫出它所滿足的微分方程。這種方法具有非常廣泛的用途，包括生物學(xué)、生態(tài)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)等。微元法：在系統(tǒng)中分出一個微元，分析它與附近部分的相互作用，寫出作用規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式（比如牛頓第二定律表達(dá)式），它就是系統(tǒng)的微分方程。規(guī)律法：直接利用物理學(xué)規(guī)律寫出考察量所遵循的數(shù)學(xué)物理方程，比如利用電磁波的麥克斯韋方程，寫出電位、電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度等物理量的微分方程。建立數(shù)理方程的方法：電磁波的經(jīng)典理論是麥克斯韋方程，它可以用來描述所有波段的電磁現(xiàn)象：射線，x射線，紫外，可見，紅外，太赫茲(THz)，微波，毫米波,……麥克斯韋方程：規(guī)律法的例子：電子學(xué)和光子學(xué)的交叉區(qū)域基本電磁場量場的物質(zhì)方程Maxwell方程電場強(qiáng)度磁場強(qiáng)度電感應(yīng)強(qiáng)度磁感應(yīng)強(qiáng)度介質(zhì)的介電常數(shù)磁導(dǎo)率電導(dǎo)率傳導(dǎo)電流的面密度電荷的體密度Vectordifferenceoperator三.電磁場方程的建立簡單曲面的一般特征是一塊沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲面。為了區(qū)分雙側(cè)曲面的兩側(cè)，常規(guī)定其中的一側(cè)作為曲面的正側(cè)，另一側(cè)作為負(fù)側(cè)。例如對于封閉曲面，按習(xí)慣總是取其外側(cè)為正側(cè)。這種規(guī)定了正側(cè)的曲面，叫做有向曲面，規(guī)定其法矢n恒指向我們研究問題時所取的一側(cè)。設(shè)有矢量場A(M)，沿其中有向曲面S某一側(cè)的曲面積分稱為矢量場A(M)向積分所沿一側(cè)穿過曲面S的通量。矢量場的通量和散度：知識拓展矢量運(yùn)算基礎(chǔ)：設(shè)有矢量場A(M)，于場中一點(diǎn)M的某個鄰域內(nèi)作包含M點(diǎn)在內(nèi)的任一封閉曲面S，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域?yàn)?，以V表其體積，以表從其內(nèi)穿出S的通量。若當(dāng)以任意方式縮向M點(diǎn)時，比式之極限存在，稱此極限為矢量場A(M)在點(diǎn)M處的散度，記作divA。在一般矢量場A(M)

中，對于穿出封閉曲面S的通量，當(dāng)其不為零時，根據(jù)其正或負(fù)而說S內(nèi)有產(chǎn)生通量的正源或負(fù)源。為了了解源在S內(nèi)的分布情況以及源的強(qiáng)弱程度等問題，引入矢量場的散度。電學(xué)中Gauss定理：穿出任一封閉曲面S的電通量，等于其內(nèi)各點(diǎn)電荷的代數(shù)和。由此可知，電位移矢量D的散度等于電荷分布的體密度。散度divA為一數(shù)量，表示在場中一點(diǎn)處通量對體積的變化率，也就是在該點(diǎn)處對一個單位體積來說所穿出的通量，稱為該點(diǎn)處源的強(qiáng)度。當(dāng)divA的值不為零時，其符號為正或負(fù)，順次表示該點(diǎn)處有散發(fā)通量的正源或有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)divA的值為零時，表示在該點(diǎn)處無源.散度運(yùn)算的基本公式：c是常數(shù)奧氏公式：穿出封閉曲面S的通量，等于S所圍的區(qū)域上的散度在上的三重積分。u是數(shù)性函數(shù)矢量場的環(huán)量和旋度：設(shè)有矢量場A(M)，則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分稱為矢量場按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量。環(huán)量面密度M為矢量場A(M)中一點(diǎn)，在M點(diǎn)處取定一個方向n，再過M點(diǎn)任作一微小曲面S，以n為其在M點(diǎn)處的法矢，對此曲面，同時又以S表示其面積，其周界l之正向取作與n構(gòu)成右手螺旋關(guān)系，則矢量場沿l之正向的環(huán)量與面積S之比，當(dāng)曲面S在保持M點(diǎn)于其上的條件下，沿著自身縮向M點(diǎn)時，比式之極限存在，稱此極限為矢量場A(M)在點(diǎn)M處沿方向n的環(huán)量面密度（環(huán)量對面積的變化率），記作n。若在矢量場A中的一點(diǎn)M處存在這樣一個矢量R，矢量場A在點(diǎn)M處沿其方向的環(huán)量面密度為最大，其模也正好是這個最大的數(shù)值。則稱矢量R為矢量場A在點(diǎn)M處的旋度，記作R=rotA。旋度矢量在數(shù)值和方向上表出了最大的環(huán)量面密度斯托克斯公式：旋度之于環(huán)量面密度，猶如梯度之于方向?qū)?shù)旋度運(yùn)算的基本公式：c是常數(shù)u是數(shù)性函數(shù)函數(shù)u(x,y,z)和矢量E(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)稱為哈米爾頓算子或（讀作代爾）算子哈米爾頓（W.R.Hamilton）引進(jìn)了一個矢量微分算符（子）：算子本身無意義，是一種運(yùn)算符號，具有矢量和微分的雙重性質(zhì)運(yùn)算規(guī)則：矢量運(yùn)算公式：數(shù)性微分算子：梯度：散度：旋度：矢量運(yùn)算公式：拉普拉斯算符(子)：作用于函數(shù)u給出作用于函數(shù)E給出矢量運(yùn)算基礎(chǔ)再將代入上式，得這是一個關(guān)于磁場強(qiáng)度的二階微分方程為進(jìn)一步化簡，利用Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度為零。如法炮制，可得關(guān)于電場強(qiáng)度的方程如果介質(zhì)不導(dǎo)電（σ=0），上述方程簡化為：三維波動方程將代入上式，得麥克斯韋方程:物質(zhì)方程:(矢量運(yùn)算公式)(電磁場方程)規(guī)律法:電磁場方程目標(biāo):建立關(guān)于電位u

的方程由電感應(yīng)強(qiáng)度與電場強(qiáng)度的定義知：（電荷體密度）而電場強(qiáng)度與電位之間的關(guān)系，由下式確定由此可得：依據(jù)Hamilton算子的運(yùn)算性質(zhì)：這個非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程若靜電場是無源的，即，上式又可寫成這個齊次方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程上式可寫成

E泊松方程:拉普拉斯方程:(非齊次:有源場)(齊次