長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試試題理

吉林省長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試試題理吉林省長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試試題理PAGEPAGE16吉林省長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試試題理吉林省長(zhǎng)春市第十一中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二學(xué)程考試試題理第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本題共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的。1．若為虛數(shù)單位，，且，則復(fù)數(shù)的模等于（）A． B． C． D．2．“”是“橢圓焦距為4"的（)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的部分圖象大致為(）4．如圖，是單位圓的直徑，點(diǎn)，是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn),則（)A．1B．C．D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割,以至于不可割,則與圓周盒體而無(wú)所失矣.”它體現(xiàn)了一種無(wú)限與有限的轉(zhuǎn)化過(guò)程，比如在表達(dá)式中“”即代表無(wú)限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值,它可以通過(guò)方程求得，類(lèi)似上述過(guò)程及方法。則的值為()A． B． C．7D．6．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇跡之一,其中較為著名的是胡夫金字塔。令人吃驚的并不僅僅是胡夫金字塔的雄壯身姿，還有發(fā)生在胡夫金字塔上的數(shù)字“巧合”。如胡夫金字塔的底部周長(zhǎng)如果除以其高度的兩倍，得到的商為3.14159，這就是圓周率較為精確的近似值。金字塔底部形為正方形,整個(gè)塔形為正四棱錐，經(jīng)古代能工巧匠建設(shè)完成后，底座邊長(zhǎng)大約230米。因年久風(fēng)化，頂端剝落10米，則胡夫金字塔現(xiàn)高大約為（）A．128。5米 B．132.5米 C．136。5米 D．140。5米7．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的公比不為1，為其前項(xiàng)積，若，則（)A． B． C． D．8．從某個(gè)角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個(gè)對(duì)稱(chēng)的平面圖形,如圖乙所示,籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線,若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且,則該雙曲線的離心率為(）A． B． C．2 D．9．圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)()的會(huì)徽?qǐng)D案，它是由一串直角三角形演化而成的（如圖2），其中，則（)A．B．C．D．10．已知函數(shù)，函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，對(duì)于任意,有，則實(shí)數(shù)的范圍為（）A．B．C．D．11．已知函數(shù)，若x，y滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12。已知拋物線的焦點(diǎn)為，定點(diǎn),若直線與已知拋物線C相交于兩點(diǎn)（在之間），且與拋物線C的準(zhǔn)線相交于點(diǎn),若，則的長(zhǎng)為(）A。B。C。D。第Ⅱ卷（共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．若sin＝，則cos2x＝________.14．若經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與圓相交于不同的兩點(diǎn)，，則弦的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)_________.15．已知下列命題：:若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)．：若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面．:若直線與平面相交，則與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線．:如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交．則下述命題中所有真命題的序號(hào)是_________．①②③④16。如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)在棱上，當(dāng)取最小值時(shí)，，則異面直線與所成角的余弦值為。三、解答題：（本大題共6小題,共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．（本小題滿分12分）設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，，成等比數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)的和。18．(本小題滿分12分）如圖，在直棱柱中，，,，，。（1)證明：平面平面;（2）求二面角的余弦值.19．（本小題滿分12分）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且。（1）求角的大小;(2）設(shè)，點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且與點(diǎn)分別位于直線的兩側(cè)，若,，求當(dāng)面積最大時(shí)，的周長(zhǎng).20.(本小題滿分12分）已知函數(shù)，(1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求的取值范圍.21.（本小題滿分12分)已知橢圓，，過(guò)橢圓上的點(diǎn)做橢圓的兩條切線分別和橢圓的另外交點(diǎn)為，如圖所示，設(shè)直線的斜率分別為，（1）證明：；（2）直線的斜率是否為常數(shù)？若是,求出的值；若不是，說(shuō)明理由。22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程己知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)).以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為。（1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)P，求的值.23．（本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)，。（1）若對(duì)于任意，都滿足，求的值；（2）若存在，使得成立，求的取值范圍.參考答案1．C因?yàn)?，所以，。所?故選：C2．A【詳解】當(dāng)時(shí)，,即時(shí)，橢圓焦距為4;若橢圓焦距為4,則，所以或,解得或所以“”是“橢圓焦距為”的充分不必要條件,故選:A3．B【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則,，,.因此，函數(shù)的圖象如B選項(xiàng)中的圖象.故選:B.4．C【詳解】連接,則,在中,由余弦定理得：。所以.故選：C5．B【詳解】令,則，整理，得,解得，或，，，。故選：。6．C【詳解】解：設(shè)金字塔風(fēng)化前的形狀如圖，∵，∴其底面周長(zhǎng)為，由題意可得：,∴?！嗪蚪鹱炙F(xiàn)高大約為米。結(jié)合選項(xiàng)可得，胡夫金字塔現(xiàn)高大約為136.5米。故選：C.7．A【詳解】是正項(xiàng)等比數(shù)列，，，，所以由，得，所以，設(shè)公比為，，，，即，，所以．故選:A．8。B【詳解】由條件知在雙曲線上,所以，，選B9．D【詳解】∵,且是直角三角形，∴,同理得，，，，，，∴.故選：D．10．A【詳解】解：因?yàn)榈膱D象過(guò)定點(diǎn)，所以,解得，所以，因?yàn)閷?duì)于任意，有,則，設(shè)，即，所以，令，因?yàn)?則，所以要使在恒成立，只需，故,整理得,解得，故選：A。11．C【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)?，所以為上的奇函?shù),故函數(shù)為上的減函數(shù)由得到即，該不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示表示區(qū)域中的點(diǎn)與連線的斜率,由圖可知,，故選：C12．D二、填空題13．【詳解】由誘導(dǎo)公式得sin＝－cosx＝，故cosx＝－.由二倍角公式得cos2x＝2cos2x－1＝.故答案為：．14．【詳解】設(shè)當(dāng)直線l的方程為,與圓聯(lián)立方程組，消去y可得：,由,可得.由韋達(dá)定理，可得，∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的參數(shù)方程為,其中，∴線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為：,其中。所以的中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故答案為:15．②④【詳解】因?yàn)椋喝糁本€與平面有兩個(gè)公共點(diǎn)，則直線在平面內(nèi)．由平面的基本性質(zhì)知正確;:若三條直線互相平行且分別交直線于三點(diǎn)，則這四條直線共面,由平面的基本性質(zhì)知正確；：若直線與平面相交，則與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線，由空間直線的位置關(guān)系知錯(cuò)誤;:如果兩條異面直線中的一條與一個(gè)平面平行，則另一條直線一定與該平面相交，由直線與平面的位置關(guān)系知錯(cuò)誤；所以①錯(cuò)誤；②正確；③錯(cuò)誤；④正確；故答案為：②④16．答案：三、解答題17．(1）;(2).【詳解】(1）由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.由，，成等比數(shù)列可得，即，解得,所以.（2）由（1）得，所以所以。18．（1）證明見(jiàn)解析;（2)?！驹斀狻?1）證明：平面，平面，∴.又∵，且,平面，∴平面。又∵平面，∴面面.（2）易知、、兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，,,，，，.從而,?！?∴，解之得或（舍去）.，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即令，則.同理可求面的法向量為.∴。又∵二面角是銳二面角，∴二面角的余弦值為.19．(1）；（2）。【詳解】(1)易得,∴，∵，，∴,∴，∴。（2)由(1)可得，為等腰直角三角形,所以，，,∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)的周長(zhǎng)為.20.（1）對(duì)求導(dǎo)數(shù):①當(dāng)時(shí)，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，令，得：，所以在上為單調(diào)遞減函數(shù);令，得：，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)。所以：當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù);當(dāng)時(shí)，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；在上為單調(diào)遞減函數(shù).(2）當(dāng)時(shí),，顯然不恒成立;當(dāng),取，則，不成立；當(dāng)時(shí),由（1)知，)若恒成立，只需，設(shè),則,當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以最小值為,即恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。所以不等式的解為綜上所述：若恒成立時(shí)的取值集合為21.【詳解】(1）設(shè)，帶入橢圓：消去得：,由于和橢圓相切，所以：，即：，同理的斜率滿足方程：，所以:為方程關(guān)于的方程的兩個(gè)根,所以：。（2)設(shè)：，,得：則，由（1）知：,即：，整理得：,,即:,由于,所以，即斜率為定值.22．（1）C：；l：；（2）8。