2023年人教版B數(shù)學(xué)必修知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)

人教版Ｂ數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)1、（1）平面含義:平面是無(wú)限延展的，沒(méi)有大小，厚薄之分。此外，注意平面的表達(dá)方法。（2)點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作；點(diǎn)不在平面內(nèi),記作點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)A的直線ｌ上,記作：Ａ∈ｌ;點(diǎn)A在直線l外,記作Ａl；直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi),記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作ｌα。2、四個(gè)公理與等角定理:（1）公理1:假如一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).LALA·αA∈LＢ∈ＬLαＡ∈αＢ∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).(只要找到直線的兩點(diǎn)在平面內(nèi),則直線在平面內(nèi))C·BC·B·A·α符號(hào)表達(dá)為:A、B、Ｃ三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α,使Ａ∈α、B∈α、C∈α。公理２的三個(gè)推論:(1):通過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。(2)：通過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。(3):通過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。公理2作用：擬定一個(gè)平面的依據(jù)。(３)公理3:假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表達(dá)為：P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈LP·P·αLβ公理3作用：鑒定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，是證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線的依據(jù)。即:①鑒定兩個(gè)平面相交的方法。②說(shuō)明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過(guò)公共點(diǎn)。③可以判斷點(diǎn)在直線(交線)上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。(4)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表達(dá)為:設(shè)a、b、c是三條直線a∥cａa∥cc∥ｂ強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都合用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。(表白空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行)（5）等角定理：空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別相應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).3、(１)證明共面問(wèn)題：方法１是先證明由某些元素?cái)M定一個(gè)平面，在證明其余元素也在這個(gè)平面內(nèi)。方法2是先證明分別由不同元素?cái)M定若干個(gè)平面,再證明這些平面重合。(2）證明三點(diǎn)共線問(wèn)題的方法:先擬定其中兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),則第三個(gè)點(diǎn)在必然在這兩個(gè)平面的交線上。（３）證明三線共點(diǎn)問(wèn)題的方法：先證明其中兩條直線交于一點(diǎn),再證明第三條直線也通過(guò)這個(gè)點(diǎn)。4、異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。(既不平行也不相交的兩條直線)①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。③異面直線鑒定：過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)但是該點(diǎn)的直線是異面直線④異面直線所成角：直線ａ、b是異面直線，通過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a’∥a，ｂ’∥ｂ，則把直線a’和b’所成的銳角(或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，９0°]，若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。(兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說(shuō)明：（1）鑒定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的鑒定定理(2）在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,而和點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)。（３)求異面直線所成角環(huán)節(jié)：（一作、二證、三計(jì)算)第一步作角:先固定其中一條直線,在這條直線取一點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)作另一條直線的平行先；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步運(yùn)用三角形邊長(zhǎng)關(guān)系計(jì)算出角。(思緒是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角)5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1)空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種:共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn);共面直線平行直線:同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn);異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。(2)直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種:①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)②直線與平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)③直線在平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn)指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來(lái)表達(dá)三種位置關(guān)系的符號(hào)表達(dá):aαa∩α=Ａa∥α注意直線與平面的位置關(guān)系其他分類:(１）按直線與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類：(自己補(bǔ)充)（2）按直線是否與平面平行分類：(3）按直線是否在平面內(nèi)分類:（３）平面與平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種:（按有無(wú)公共點(diǎn)分類）①兩個(gè)平面平行——沒(méi)有公共點(diǎn);α∥β。②兩個(gè)平面相交——有一條公共直線；α∩β=b。6、空間中的平行問(wèn)題（1)線線平行的鑒定方法:①線線平行的定義：兩條直線共面,但是無(wú)公共點(diǎn)②公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行③線面平行的性質(zhì)定理：④線面垂直的性質(zhì)定理:ｅq\o\aｃ(○，５)面面平行的性質(zhì)定理：(2）直線與平面平行的鑒定及其性質(zhì)線面平行的鑒定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行證明線面平行,只要在平面內(nèi)找一條直線b與直線a平行即可。一般情況下，我們會(huì)用到中位線定理、平行線段成比例問(wèn)題、平行公理等。線面平行的性質(zhì)定理:線面平行線線平行性質(zhì)定理的作用:運(yùn)用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題線面平行的鑒定方法:①線面平行的定義：直線與平面無(wú)公共點(diǎn)②鑒定定理：③面面平行的性質(zhì):(3）平面與平面平行的鑒定及其性質(zhì)面面平行的鑒定定理:假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(線面平行面面平行），兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：①假如兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行)②假如兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行）面面平行的鑒定方法：①面面平行的定義:兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。②鑒定定理：③線面垂直的性質(zhì)定理：④公理四的推廣：7、空間中的垂直問(wèn)題線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：假如兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直:假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。③平面和平面垂直：假如兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角）,就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。（1）線線垂直的鑒定方法：①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。(共面垂直、異面垂直)②線面垂直的性質(zhì)：②線面垂直的性質(zhì):(２)線面垂直鑒定定理和性質(zhì)定理鑒定定理:假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。鑒定線面垂直,只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直即可（注意:兩條直線必須相交)經(jīng)常用到的知識(shí)點(diǎn)有:①等腰三角形三線合一（中線,角平分線，高）,假如取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線既是中線也是高，所以,這條線垂直于底邊;②正方形的對(duì)角線是互相垂直的；③三角形勾股逆定理，可以推出a邊與ｂ邊垂直；④假如是要證異面垂直的兩條直線，一般采用線面垂直來(lái)證明一條線垂直于另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；ｅq＼o\ac(○,5)采用三垂線定理或者其逆定理得到兩條直線垂直。性質(zhì)定理：假如兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。線面垂直的鑒定方法：①線面垂直的定義②線面垂直的鑒定定理:③平行線垂直平面的傳遞性推論：④面面平行的性質(zhì)結(jié)論：eq\ｏ\ａc（○,5)面面垂直的性質(zhì)定理：（3）面面垂直的鑒定定理和性質(zhì)定理鑒定定理:假如一個(gè)平面通過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理:假如兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。面面垂直的鑒定方法①面面垂直的定義:兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角②面面垂直的鑒定定理：③面面平行的性質(zhì)結(jié)論:AOB8、空間角問(wèn)題AOB（1)直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角:規(guī)定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過(guò)空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線ａ，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的范圍為（0°，９０°］。注意：(1)異面直線所成的角θ:0°<θ≤90°（銳角或者直角)(２)計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。(3）角AOB的度數(shù)并不等于直線AO與直線BO所成的角。（２)直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為。②平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角,取值范圍為（0°，9０°)。由①②③直線與平面所成的角的范圍為［0°,90°］。求斜線與平面所成角的思緒類似于求異面直線所成角:“一作，二證，三計(jì)算”。關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是“作角”(斜線和射影所成的角）求線面角的方法(求一條直線與平面所成的角,就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角,即作垂線，找射影）①定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角)②方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線,與HYPERLINＫ""\t"_bｌaｎk"線面交點(diǎn)相連,運(yùn)用直角三角形有關(guān)知識(shí)求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。③在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)重要信息：1、斜線上一點(diǎn)到面的垂線；２、過(guò)斜線上的一點(diǎn)或過(guò)斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面假如所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直;反過(guò)來(lái),假如兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④二面角:二面角的平面角θ,0°≤θ≤18０°求二面角的方法①定義法：在棱上選擇一個(gè)特殊點(diǎn),過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角②垂面法：過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角為二面角的平面角③垂線法：過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，運(yùn)用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角?！稗D(zhuǎn)化思想”,要純熟他們之間的轉(zhuǎn)換線線垂直線面垂直面面垂直線線平行線面平行面面平行證明空間線面平行或垂直需要注意三點(diǎn)（1)由已知想性質(zhì)，由求證想鑒定。（2)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。(3)使用定理時(shí)要明確已知條件是否滿足定理?xiàng)l件,再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專項(xiàng)練習(xí)1.如圖，在三棱錐Ｓ－ＡBC中,SＡ＾底面AＢＣ,ＡＢ＾BＣ,DＥ垂直平分SC，且分別交AC于D，交SＣ于E，又ＳＡ=AＢ，ＳB=BC，求二面角E-ＢＤ-C的度數(shù)。2、在棱長(zhǎng)都為1的正三棱錐S－AＢC中,側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是＿_(dá)______.3、在正方體ABＣD-中，①與平面所成的角的大小是__＿_(dá)_＿_(dá)____;②與平面所成的角的大小是________＿_(dá)_；③與平面所成的角的大小是________＿＿＿;④與平面所成的角的大小是____＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)_;eq＼o＼aｃ（○,5)與平面所成的角的大小是___________。4、已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OＡ、OB、ＯC兩兩夾角為60°，試求OＡ與平面BOC所成的角的大小.5、已知點(diǎn)是正三角形所在平面外的一點(diǎn),且,為上的高,、、分別是、、的中點(diǎn),試判斷與平面內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明６、已知正方體,求證７、已知直線ＰA垂直正方形ABＣD所在的平面,A為垂足。求證：平面PAC^平面PBD。8、已知直線PＡ垂直于圓O所在的平面，Ａ為垂足，ＡB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、Ｂ的一點(diǎn)。求證：平面ＰAC＾平面PBＣ。9.若m、n是兩條不同的直線,α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()A．若m?β，α⊥β,則m⊥αＢ.若α∩γ＝m,β∩γ=n,ｍ∥ｎ，則α∥βC.若ｍ⊥β,ｍ∥α,則α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β,則β⊥γ１0、設(shè)P是△ABＣ所在平面外一點(diǎn)，P到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等,并且Ｐ到△ＡBC各邊的距離也相等,那么△ABＣ（)Ａ.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形Ｃ.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形11、把等腰直角△ＡＢＣ沿斜邊上的高AD折成直二面角Ｂ—ＡD—Ｃ,則BＤ與平面ABＣ所成角的正切值為(））Ａ.eq\r(2)Ｂ.eq\ｆ(\r(2),2）C．1D.ｅq\ｆ（\r(3),３)12、如圖，已知△ABＣ為直角三角形，其中∠ACＢ＝90°,M為ＡB的中點(diǎn),ＰM垂直于△ACB所在平面，那么（）A、ＰA=PB>PCB、ＰA＝ＰB<PCC、ＰＡ＝ＰＢ=ＰCD、PA≠PB≠PC13、正四棱錐S—ＡBCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為2，Ｅ是邊BＣ的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持ＰＥ⊥AC，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.14、α、β是兩個(gè)不同的平面，m、ｎ是平面α及β之外的兩條不同直線,給出四個(gè)論斷:①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β;④ｍ⊥α。以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為對(duì)的的一個(gè)命題:.15、如圖(1),等腰梯形ABCD中,AＤ∥BＣ,AＢ＝AＤ，∠ABC＝６０°，E是ＢC的中點(diǎn)，如圖(2)，將△ABE沿ＡE折起,使二面角B—ＡＥ—Ｃ成直二面角,連接BＣ，BD，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，Ｐ是棱BC的中點(diǎn)．(１)求證：AE⊥BＤ；（2）求證:平面ＰEF⊥平面AECD;(3)判斷DE能否垂直于平面ABＣ?并說(shuō)明理由．１６、17、如圖所示,已知△BCD中,∠ＢCD＝9０°,BＣ＝CＤ=1，AB⊥平面BＣD,∠ＡDB=60°,E、F分別是AＣ、ＡＤ上的動(dòng)點(diǎn),且eq\ｆ（ＡＥ,AC)=eq\f(AＦ,AD)=λ(０<λ<1)．(1)求證：不管λ為什么值，總有平面BEF⊥平面AB