信號與系統(tǒng)(鄭君里)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

信號與系統(tǒng)復(fù)習(xí)書中最重要的三大變換幾乎都有。第一章信號與系統(tǒng)1、信號的分類①連續(xù)信號和離散信號②周期信號和非周期信號連續(xù)周期信號f(t)滿足f(t)=f(t+mT)，離散周期信號f(k)滿足f(k)=f(k+mN)，m=0,±1,±2,…兩個(gè)周期信號x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，假設(shè)其周期之比T1/T2為有理數(shù)，那么其和信號x(t)+y(t)仍然是周期信號，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。③能量信號和功率信號④因果信號和反因果信號2、信號的根本運(yùn)算〔+-×÷〕2.1信號的〔+-×÷〕2.2信號的時(shí)間變換運(yùn)算〔反轉(zhuǎn)、平移和尺度變換〕3、奇異信號3.1單位沖激函數(shù)的性質(zhì)f(t)δ(t)=f(0)δ(t)，f(t)δ(t–a)=f(a)δ(t–a)例：3.2序列δ(k)和ε(k)f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)4、系統(tǒng)的分類與性質(zhì)4.1連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)4.2動態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)4.3線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)①線性性質(zhì)T[af(·)]=aT[f(·)](齊次性)T[f1(·)+f2(·)]=T[f1(·)]+T[f2(·)]〔可加性〕②當(dāng)動態(tài)系統(tǒng)滿足以下三個(gè)條件時(shí)該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：y(·)=yf(·)+yx(·)=T[{f(·)},{0}]+T[{0}，{x(0)}](可分解性)T[{af(·)},{0}]=aT[{f(·)},{0}]T[{f1(t)+f2(t)},{0}]=T[{f1(·)},{0}]+T[{f2(·)},{0}](零狀態(tài)線性)T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}](零輸入線性)4.4時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)T[{0}，f(t-td)]=yf(t-td)(時(shí)不變性質(zhì))直觀判斷方法：假設(shè)f(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，那么系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性①微分特性：假設(shè)f(t)→yf(t)，那么f’(t)→y’f(t)②積分特性：假設(shè)f(t)→yf(t)，那么4.5因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)5、系統(tǒng)的框圖描述第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析1、LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)1.1微分方程的經(jīng)典解y(t)(完全解)=yh(t)(齊次解)+yp(t)(特解〕描述某系統(tǒng)的微分方程為y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求〔1〕當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=-1時(shí)的全解；〔2〕當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時(shí)的全解2、沖激響應(yīng)系統(tǒng)在單位沖激信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，求解方法①系數(shù)平衡法系統(tǒng)方程兩端對應(yīng)系數(shù)相等②由單位階躍響應(yīng)求單位沖激響應(yīng)，即例y〞(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求其沖激響應(yīng)h(t)。3、階躍響應(yīng)系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。4、卷積積分4.1定義4.2任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)4.3卷積積分的求法按照定義圖解法4.4卷積積分的性質(zhì)①交換律②結(jié)合律③分配律④積分性質(zhì)⑤微分性質(zhì)⑥任意時(shí)間函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)；f(t)*δ’(t)=f’(t)；f(t)*ε(t)⑦卷積的時(shí)移性質(zhì)f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析1、LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)1.1差分與差分方程1.2差分方程的經(jīng)典解〔和微分方程相類似〕y(k)=yh(k)+yp(k)當(dāng)特征根λ為單根時(shí)，齊次解yn(k)形式為：Cλk當(dāng)特征根λ為r重根時(shí)，齊次解yn(k)形式為：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk當(dāng)特征根λ為一對共軛復(fù)根時(shí)，齊次解yn(k)形式為：1.2.2特解yp(k):特解的形式與鼓勵的形式雷同(r≥1〕。①所有特征根均不等于1時(shí);yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根時(shí);yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]〔2〕鼓勵f(k)=ak①當(dāng)a不等于特征根時(shí);yp(k)=Pak②當(dāng)a是r重特征根時(shí);yp(k)=〔Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak〔3〕鼓勵f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)假設(shè)描述某系統(tǒng)的差分方程為y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)初始條件y(0)=0，y(1)=–1；鼓勵f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。1.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2、單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)2.1單位序列響應(yīng)2.1.1定義2.1.2求法遞推求初始值，求齊次差分方程的解例某系統(tǒng)的差分方程為y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求單位序列響應(yīng)h(k)。例假設(shè)方程為：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求單位序列響應(yīng)h(k)2.2階躍響應(yīng)2.2.1定義，h，h(k)=g(k)3常用序列4離散信號的卷積和4.1任意序列的分解f(k)4.2列作用下的零狀態(tài)響應(yīng)4.3定義4.4卷積和的求法4.4.1圖解法卷積過程可分解為四步：〔1〕換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)〔2〕反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)右移k→f2(k–i)〔3〕乘積：f1(i)f2(k–i)〔4〕求和：i從–∞到∞對乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。4.1.2不進(jìn)位乘法求卷積例f1(k)={0，2，1，5，0}↑k=1f2(k)={0，3，4，0，6，0}↑k=04.2卷積和的性質(zhì)4.2.1法的三律：(1)交換律,(2)分配律,(3)結(jié)合律.4.2.2f〔4.2.2f〔k)*δ(k)=f(k)，f(k)*δ(k–k0)=f(k–k0)4.2.34.2.3.f(k)*ε(k)=f1(k–k1)*f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)*f2(k)[f1(k)*f2(k)]=f1(k)*f2(k)=f1(k)*f2(k)第四章連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析1傅里葉級數(shù)1.1傅里葉級數(shù)的三角形式1.2波形的對稱特性和諧波特性A.f(t)為偶函數(shù)——對稱縱坐標(biāo)展開為余弦級數(shù)B.f(t)為奇函數(shù)——對稱于原點(diǎn)展開為正弦級數(shù)Cf(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量Df(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)只有直流(常數(shù))和偶次諧波。1.3傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式n=0,±n=0,±1,±2，…2周期信號頻譜的特點(diǎn)(1)周期信號的頻譜具有諧波(離散)性。譜線位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔轀p小。例：周期信號f(t)=試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率Ω，畫出它的單邊頻譜圖。3傅里葉變換3.1定義3.2常用函數(shù)的傅里葉變換〔1〕單邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–tε(t)，>0實(shí)數(shù)〔2〕雙邊指數(shù)函數(shù)f(t)=e–t,>0〔3〕門函數(shù)(矩形脈沖)〔4〕沖激函數(shù)(t)、′(t)〔5〕常數(shù)1〔6〕符號函數(shù)〔7〕階躍函數(shù)3.3傅里葉變換的性質(zhì) [af[af1(t)+bf2(t)]←→[aF1(jω)+bF2(jω)]〔2〕時(shí)移性質(zhì)(TimeshiftingProperty)FF(jt)←→2πf(–ω)〔3〕對稱性質(zhì)(SymmetricalProperty)〔4〕頻移性質(zhì)(FrequencyShiftingProperty)〔5〕尺度變換性質(zhì)(ScalingTransformProperty)〔6〕卷積性質(zhì)(ConvolutionProperty)IfIff1(t)←→F1(jω)，f2(t)←→F2(jω)Thenf1(t)*f2(t)←→F1(jω)F2(jω)ThenfThenf1(t)f2(t)←→F1(jω)*F2(jω)〔7〕時(shí)域的微分和積分〔8〕頻域的微分和積分(–jt)(–jt)nf(t)←→F(n)(jω)〔9〕怕賽瓦爾關(guān)系〔10〕奇偶性(Parity)4周期信號的傅里葉變換5連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析5.1Y(jY(j)=F(j)H(j)5.2無失真?zhèn)鬏攜(t)=Kf(t–td)Y(j)=Ke–jtdF(j)例：系統(tǒng)的幅頻特性|H(jω)|和相頻特性如圖(a)(b)所示，那么以下信號通過該系統(tǒng)時(shí)，不產(chǎn)生失真的是(A)(A)f(t)=cos(t)+cos(8t)(B)f(t)=sin(2t)+sin(4t)(C)f(t)=sin(2t)sin(4t)(D)f(t)=cos2(4t)6抽樣定理第五章連續(xù)系統(tǒng)的s域分析二、求解方法1、局部分式展開法〔1〕F(s)為單極點(diǎn)〔單根〕〔2〕假設(shè)F(s)包含共軛復(fù)根時(shí)(p1,2=–±j)〔3〕F(s)有重極點(diǎn)〔重根〕假設(shè)A(s)=0在s=p1處有r重根，K11=[(s–p1)rF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)rF(s)]|s=p1三、系統(tǒng)的s域分析方法思路：用拉普拉斯變換微分特性例1描述某LTI系統(tǒng)的微分方程為y"(t)+5y'(t)+6y(t)=2f'(t)+6f(t)初始狀態(tài)y(0-)=1，y'(0-)=-1，鼓勵f(t)=5cost(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)四、系統(tǒng)函數(shù)H(s)=L[h(t)]H(s)=L[h(t)]系統(tǒng)的s域框圖第六章離散系統(tǒng)的z域分析附：局部重要內(nèi)容〔無z變換〕第一章：1．連續(xù)時(shí)間信號與離散時(shí)間信號2．模擬信號與數(shù)字信號3．信號的運(yùn)算〔1〕移位、反褶與尺度變換〔2〕微分和積分〔3〕兩信號相加或相乘4．〔1〕單位階躍信號〔2〕單位沖激信號〔當(dāng)〔當(dāng)時(shí)〕=1\*GB3①抽樣性：=2\*GB3②偶對稱性：=3\*GB3③尺度變換性：=4\*GB3④相乘性質(zhì)：沖激偶信號5．線性時(shí)不變系統(tǒng)〔1〕疊加性與均勻性〔2〕時(shí)不變性〔3〕因果性第二章1．系統(tǒng)的狀態(tài)〔起始狀態(tài)，初始條件〕2．系統(tǒng)的全響應(yīng)〔1〕求解方法：經(jīng)典法，雙零法〔2〕系統(tǒng)響應(yīng)的分解：自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，零輸入響應(yīng)3．線性系統(tǒng)的特性響應(yīng)的可分解性系統(tǒng)響應(yīng)可以分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。零狀態(tài)線性當(dāng)起始狀態(tài)為零時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)對外加鼓勵信號呈現(xiàn)線性。零輸入線性當(dāng)外加鼓勵為零時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)對于各起始狀態(tài)呈線性關(guān)系。第三章1．周期信號的傅里葉級數(shù)〔1〕三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)〔2〕指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)2．傅里葉變換定義為正變換逆變換3．傅里葉變換的性質(zhì)(1)對稱性假設(shè)，那么(2)線性性假設(shè)，那么(3)奇偶虛實(shí)性假設(shè)，那么①是實(shí)偶函數(shù)，即為的實(shí)偶函數(shù)。②是實(shí)奇函數(shù)，即為的虛奇函數(shù)。(4)尺度變換特性假設(shè)，那么式中為非零實(shí)常數(shù)。(5)時(shí)移特性假設(shè)，那么(6)頻移特性假設(shè)，那么(7)時(shí)域微分特性假設(shè)，那么(8)頻域微分特性假設(shè)，那么(9)時(shí)域積分特性假設(shè)，那么(10)時(shí)域卷積定理假設(shè)，那么(11)頻域卷積定理假設(shè)，