SAS的logistic回歸(正式)綜述

Logistic回歸

SAS應(yīng)用蔣紅衛(wèi)Email:JHWCCC@21CN.COM學(xué)習(xí)目標(biāo)了解Logistic回歸模型的建立和假設(shè)檢驗(yàn)；了解Logistic回歸模型的應(yīng)用領(lǐng)域；掌握Logistic回歸模型系數(shù)的解釋，及回歸系數(shù)與OR值之間的關(guān)系；掌握Logistic回歸過程步；掌握啞變量的設(shè)置和結(jié)果的解釋；掌握多元Logistic回歸模型的逐步過程法和系數(shù)的解釋；了解條件Logistic回歸的應(yīng)用；掌握條件Logistic回歸的SAS程序；概述線性回歸模型和廣義線性回歸模型要求因變量是連續(xù)的正態(tài)分布變量，且自變量和因變量呈線性關(guān)系。當(dāng)因變量是分類型變量時(shí)，且自變量與因變量沒有線性關(guān)系時(shí)，線性回歸模型的假設(shè)條件遭到破壞。這時(shí)，最好的回歸模型是Logistic回歸模型，它對因變量的分布沒有要求，從數(shù)學(xué)角度看，Logistic回歸模型非常巧妙地避開了分類型變量的分布問題，補(bǔ)充完善了線性回歸模型和廣義線性回歸模型的缺陷。從醫(yī)學(xué)研究角度看，Logistic回歸模型解決了一大批實(shí)際應(yīng)用問題，對醫(yī)學(xué)的發(fā)展起著舉足輕重的作用。非條件Logistic回歸Logistic回歸分析在醫(yī)學(xué)研究中應(yīng)用廣泛。目前主要是用于流行病學(xué)研究中危險(xiǎn)因素的篩選，但它同時(shí)具有良好的判別和預(yù)測功能，尤其是在資料類型不能滿足Fisher判別和Bayes判別的條件時(shí)，更顯示出Logistic回歸判別的優(yōu)勢和效能。本研究對Logistic回歸方程的判別分析進(jìn)行了探討。非條件Logistic回歸醫(yī)學(xué)研究中經(jīng)常需要分析分類型變量的問題。比如，生存與死亡、有病與無病、有效與無效、感染與未感染等二分類變量。研究者關(guān)心的問題是，哪些因素導(dǎo)致了人群中有些人患某種病而有些人不患某種病，哪些因素導(dǎo)致了某種治療方法出現(xiàn)治愈、顯效、好轉(zhuǎn)和無效等不同的效果等。這類問題，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)回歸問題，因變量就是上述提到的這些分類型變量，自變量x是與之有關(guān)的一些因素。但是，這樣的問題卻不能直接用線性回歸分析方法解決，其根本原因在于因變量是分類型變量，嚴(yán)重違背了線性回歸分析對數(shù)據(jù)的假設(shè)條件。那么應(yīng)該怎樣解決這個(gè)問題呢？非條件Logistic回歸研究者將所研究的問題轉(zhuǎn)換一個(gè)角度，不是直接分析y與x的關(guān)系，而是分析y取某個(gè)值的概率P與x的關(guān)系。例如，令y為1，0變量，y=1表示有病，y=0表示未患??；x是與患病有關(guān)的危險(xiǎn)因素。如果P表示患病的概率，即P=prob（y=1），那么研究患病的概率P與危險(xiǎn)因素x的關(guān)系就不是很困難的事情了。非條件Logistic回歸分析因變量y取某個(gè)值的概率P與自變量x的關(guān)系，就是尋找一個(gè)連續(xù)函數(shù)，使得當(dāng)x變化時(shí)，它對應(yīng)的函數(shù)值P不超出[0，1]范圍。數(shù)學(xué)上這樣的函數(shù)是存在且不唯一的，Logistic回歸模型就是滿足這種要求的函數(shù)之一。與線性回歸分析相似，Logistic回歸分析的基本原理就是利用一組數(shù)據(jù)擬合一個(gè)Logistic回歸模型，然后借助這個(gè)模型揭示總體中若干個(gè)自變量與一個(gè)因變量取某個(gè)值的概率之間的關(guān)系。具體地說，Logistic回歸分析可以從統(tǒng)計(jì)意義上估計(jì)出在其它自變量固定不變的情況下，每個(gè)自變量對因變量取某個(gè)值的概率的數(shù)值影響大小。Logistic回歸模型有條件與非條件之分，前者適用于配對病例對照資料的分析，后者適用于隊(duì)列研究或非配對的病例-對照研究成組資料的分析。問題的提出在流行病學(xué)研究中，經(jīng)常遇到因變量為離散型分類變量的情況。如治療效果的無效好轉(zhuǎn)、顯效、痊愈；不同染毒劑量下小白鼠的存活或死亡；在某種暴露下的發(fā)病與不發(fā)病等。最常見的情況是因變量為二分變量的問題。多元線性回歸的局限性經(jīng)典流行病學(xué)統(tǒng)計(jì)分析方法—分層分析的局限性1.兩種主要的流行病學(xué)設(shè)計(jì)

1）病歷對照研究

2）隊(duì)列研究2.判斷結(jié)局（疾?。┖捅┞叮ㄒ蛩兀┞?lián)系強(qiáng)弱的指標(biāo)

1）相對危險(xiǎn)度：RR=p1/p0 p1:暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下發(fā)病的概率

p0:不暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下發(fā)病的概率（對照）

2）比值比：

OR={P(D=1|E=1)/P(D=0|E=1)}/{P(D=1|E=0)/P(D=0|E=0)} D=1:患某種疾病，D=0：不患某種疾病

E=1:暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素，E=0:不暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素 可以簡單地表述成：OR=(p1/q1)/(p0/q0) p1:暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下發(fā)病的概率

q1:暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下不發(fā)病的概率

p0:不暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下發(fā)病的概率

q0:不暴露于某個(gè)危險(xiǎn)因素下不發(fā)病的概率能夠描述病因?qū)W意義的指標(biāo)是RROR本身沒有病因?qū)W意義OR的病因?qū)W意義主要體現(xiàn)在發(fā)病率/患病率比較低的情形，此時(shí)，OR近似于RROR值是描述暴露與疾病關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的指標(biāo)分層分析中，可以分別計(jì)算出分層后的各層OR值，如果發(fā)現(xiàn)與總的OR有較大的差異，則可以認(rèn)為該風(fēng)層因素是混雜因素。必須對該因素進(jìn)行MH調(diào)整，調(diào)整后的OR值才能真正反映因素和結(jié)局間的關(guān)系。如果當(dāng)分層后各層的OR值經(jīng)過一致性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：各層間的OR值有統(tǒng)計(jì)學(xué)差異，這時(shí)說明分析因素在分層因素的不同水平上與結(jié)局變量的聯(lián)系強(qiáng)度是不同的，這時(shí)分層因素和研究因素存在這交互作用（效應(yīng)修飾作用）。這時(shí)應(yīng)該分層報(bào)告OR值，而不能計(jì)算調(diào)整OR值。

分層分析的局限性只能控制少數(shù)因素（分層因素過多，每個(gè)格子中的樣本例數(shù)太少）定量資料需要分組，信息丟失不能對因素作用大小進(jìn)行定量分析（交互作用）yy=log2x01二、Logistic回歸原理Logistic模型中系數(shù)的意義：回歸系數(shù)的流行病學(xué)意義是：在其它自變量都不變的條件下，當(dāng)因素X變化一個(gè)測量單位時(shí)所引起的OR值自然對數(shù)的改變量。三、Logistic回歸和OR值間的關(guān)系假設(shè)建立了如下的logistic回歸方程：

LogitP=α+βxx

為二分變量，當(dāng)暴露時(shí)，取值為1；不暴露時(shí)，取值為0。所以暴露時(shí), Logit(P1)=α+β， 比值(odds)=exp(α+β)所以不暴露時(shí),Logit(P0)=α， 比值(odds)=exp(α)則，暴露對于不暴露的比值比(oddsratio)為：

OR=

exp(α+β)/exp(α)=exp(β)

以四格表為例來說明最大似然求解的意義及過程。 四格表的一般表達(dá)形式

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發(fā)病(y=1) 不發(fā)病(y=0)

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暴露(x=1) a b

不暴露(x=0) c d

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合計(jì) a+c b+d

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暴露者發(fā)病概率p1=a/(a+b);

不暴露者發(fā)病概率p0=c/(c+d) OR=ad/(bc)

四、Logistic回歸最大似然建模用發(fā)病概率來表示四格表，可以得到四格表的另外一種表示形式： 四格表的另外一種表達(dá)形式(1)

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發(fā)病(y=1) 不發(fā)病(y=0)

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暴露(x=1) p1 1-p1

不暴露(x=0) p0 1-p0

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暴露者發(fā)病概率:p1=exp(α+βx)/[1+exp(α+βx)]

暴露者不發(fā)病概率:q0=1-p1=1/[1+exp(α+βx)];

不暴露者發(fā)病概率:p0=exp(α)/[1+exp(α)]

不暴露者不發(fā)病概率:q0=1-p0=1/[1+exp(α)];

用發(fā)病概率來表示四格表，可以得到四格表的另外一種表示形式：

四格表的另外一種表達(dá)形式(2)

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發(fā)病(y=1) 不發(fā)病(y=0)

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暴露(x=1)e(α+β)/[1+e(α+β)]

1/[1+e(α+β)]

不暴露(x=0)eα/[1+eα] 1/[1+eα]

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因?yàn)樗母癖淼乃膫€(gè)實(shí)際數(shù)為a,b,c及d，故可構(gòu)造似然函數(shù)為：

L= {e(α+β)/[1+e(α+β)]}a{1/[1+e(α+β)]}b {eα/[1+eα]}c{1/[1+eα]}d

取對數(shù)，有

Ln(L)=a(α+β)–aln[1+e(α+β)]–bln[1+e(α+β)]

+cα–cln[1+eα]–dln[1+eα]

對以上似然函數(shù)分別求對α和β的一階偏導(dǎo)數(shù)，再令兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為零，就可以解得α和β的估計(jì)值。在經(jīng)典流行病學(xué)分析里對因素的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義檢驗(yàn)是檢驗(yàn)OR值是否為1對于Logistic回歸來說，對模型中變量的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)就是對檢驗(yàn)其回歸系數(shù)是否為0一般常用的方法有三種：似然比檢驗(yàn)、Wald檢驗(yàn)、比分檢驗(yàn)五、Logistic回歸模型的統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn)1）似然比檢驗(yàn) 似然比檢驗(yàn)的原理是通過分析模型中變量變化對似然比的影響，來檢驗(yàn)增加/減少的自變量是否對應(yīng)變量有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的顯著意義。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

G=-2[Ln(Lk－1)-Ln(Lk)] Ln((Lk－1)為不包含檢驗(yàn)變量時(shí)模型的對數(shù)似然值

Ln(Lk)為包含檢驗(yàn)變量時(shí)模型的對數(shù)似然值當(dāng)檢驗(yàn)一個(gè)變量時(shí)則G服從自由度為1的χ2分布當(dāng)對模型整個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)就是相當(dāng)于模型中所有n個(gè)變量的回歸系數(shù)都為0，G服從自由度為n的χ2分布 2）Wald統(tǒng)計(jì)量－檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否為0對于方程內(nèi)單個(gè)自變量的檢驗(yàn)，采用Wald統(tǒng)計(jì)量。

W=β/Sβ Sβ為β的標(biāo)準(zhǔn)誤。 其臨界值可取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值。同時(shí)，W2遵循自由度為1的卡方分布。β的95％可信區(qū)間為：（β－1.96×Sβ

，β－1.96×Sβ

）OR的95％可信區(qū)間為：

(exp(β－1.96×Sβ),exp(β+1.96×Sβ)) 3）比分檢驗(yàn)在原有模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量，并假設(shè)該變量的回歸系數(shù)為0，似然函數(shù)一階偏導(dǎo)和信息矩陣的乘積為比分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量S。S在樣本量較大時(shí)服從自由度為檢驗(yàn)參數(shù)個(gè)數(shù)的χ2

分布上述方法中，似然比檢驗(yàn)最可靠，Wald檢驗(yàn)和比分檢驗(yàn)一致。Wald檢驗(yàn)沒有考慮變量間的相互影響，當(dāng)因素間相關(guān)時(shí)（存在共線性）不可靠參數(shù)的可信區(qū)間是以Wald法計(jì)算的，在應(yīng)用可信區(qū)間時(shí)要注意

PROCLOGISTIC過程SAS系統(tǒng)中進(jìn)行Logistic回歸分析的過程步是PROCLOGISTIC過程。下面我們先了解以下這個(gè)過程步。LOGISTIC過程的語句基本格式如下：

PROCLOGISTICdata=descendingsimpleorder=;Model因變量＝自變量/link=nointrsqclrlselection=sle=sls=;freq頻數(shù)變量;outputout=pred=變量名；

run;PROCLOGISTIC過程DESCENDING：指令系統(tǒng)輸出因變量取值由大到小的概率，缺省時(shí)，系統(tǒng)輸出因變量取值由小到大的概率。使用和不使用DESCENDING語句的回歸模型的回歸系數(shù)絕對值完全相同，但是符號(hào)完全相反。SIMPLE：指令系統(tǒng)輸出每一個(gè)自變量的基本統(tǒng)計(jì)量。MODEL：給出模型的因變量和自變量。LINK：指定因變量概率函數(shù)的形式NOINT：指令模型不含常數(shù)項(xiàng)。RSQ：指定輸出確定系數(shù)。PROCLOGISTIC過程CL：指定輸出參數(shù)估計(jì)值的可信區(qū)間。RL：指定輸出相對危險(xiǎn)度（或比數(shù)比）的可信區(qū)間。SELECTION、SLE和SLS：和REG過程步的對應(yīng)選項(xiàng)一樣，用于逐步回歸分析。FREQ：是否使用，取決于數(shù)據(jù)的輸入方法。當(dāng)x和y變量的觀察值被直接輸入到SAS數(shù)據(jù)集時(shí)，不需要使用FREQ語句。但是，當(dāng)x是分類型變量，且x和y變量的觀察值不是直接輸入到SAS數(shù)據(jù)集時(shí)，而是將x和y變量的頻數(shù)輸入到SAS數(shù)據(jù)集中時(shí)，需要使用FREQ語句。OUTPUT語句：用來保存指定的分析結(jié)果。Out選擇項(xiàng)用來給出輸出數(shù)據(jù)集的名字。Pred選擇項(xiàng)用來給出一個(gè)預(yù)測概率的變量名。例題－條件二分類某北方城市研究喉癌發(fā)病的危險(xiǎn)因素，用1∶2配對的病例對照研究方法進(jìn)行了調(diào)查?，F(xiàn)選取了6個(gè)可能的危險(xiǎn)因素，試做條件logistic逐步回歸分析

。27因素變量名賦值說明咽炎X1無=1，偶爾=2，經(jīng)常=3吸煙量(支/日)X20=1，1～=2，5～=3，10～=4，20～=5聲嘶史X3無=1，偶爾=2，經(jīng)常=3攝食新鮮蔬菜X4少=1，經(jīng)常=2，每天=3攝食水果X5很少=1，少量=2，經(jīng)常=3癌癥家族史X6無=0，有=1是否患喉癌對照=0，病例=1例題2－多個(gè)自變量的二分類為了探討冠心病發(fā)生的有關(guān)危險(xiǎn)因素，對26例冠心病病人和28例對照者進(jìn)行病例-對照研究，試用logistic逐步回歸分析方法篩選危險(xiǎn)因素

。28因素變量名賦值說明年齡(歲)X1<45=1，45～=2，55～=3，65～=4高血壓史X2無=0，有=1高血壓家族史X3無=0，有=1吸煙X4不吸=0，吸=1高血脂史X5無=0，有=1動(dòng)物脂肪攝入X6低=0，高=1體重指數(shù)(BMI)X7<24=1，24～=2，26～=3A型性格X8否=0，是=1冠心病Y對照=0，病例=1例題3－有序分類某研究人員隨機(jī)選擇84例患某病的病人做臨床試驗(yàn)，以探討性別和治療方法對該病療效的影響。變量賦值為：性別（

：男=0，女=1）、治療方法（

：傳統(tǒng)療法=0，新型療法=1）、療效（

：無效=1，有效=2，痊愈=3）。請擬合性別、治療方法對療效的有序logistic回歸模型。29例題4－無序多分類某研究人員欲了解不同社區(qū)和性別之間成年居民獲取健康知識(shí)途徑是否不同，對2個(gè)社區(qū)的314名成人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果見表16-11。變量賦值為：社區(qū)（

：社區(qū)1=0，社區(qū)2=1）、性別（

：男=0，女=1）、獲取健康知識(shí)途徑（

：傳統(tǒng)大眾媒介=1，網(wǎng)絡(luò)=2，社區(qū)宣傳=3）。請擬合社區(qū)和性別對居民獲取健康知識(shí)途徑的多分類logistic回歸模型。30條件Logistic回歸醫(yī)學(xué)研究中的配對病例對照研究資料可以用條件Logistic回歸模型來分析。條件Logistic回歸模型和非條件Logistic回歸模型的區(qū)別在于參數(shù)的估計(jì)是否用到了條件概率。所謂的配對病例對照研究指的是在病例對照研究中，對每一個(gè)病例配以性別、年齡或其它條件相似的一個(gè)（1：1）或幾個(gè)（1：M）對照，然后分析比較病例組與對照組以往暴露于致病因素的經(jīng)歷。分析配對病例對照研究資料所用的條件Logistic回歸模型中參數(shù)的估計(jì)方法也是采用最大似然估計(jì)法，參數(shù)和模型的檢驗(yàn)方法和非條件Logistic回歸模型也一樣。條件Logistic回歸的SAS程序用于條件Logistic回歸分析的過程步一般借用生存數(shù)據(jù)風(fēng)險(xiǎn)回歸分析的PHREG過程步。實(shí)用PHREG過程步時(shí)要注意數(shù)據(jù)的輸入方法和過程步語句的寫法。PHREG過程步的一般格式如下：

Procphregdata=;Model因變量*截尾變量=協(xié)變量/ties=risklimitsselection=sle=slsdetails;Strata分組變量;Run;條件Logistic回歸的SAS程序MODEL語句：用于指定模型的結(jié)構(gòu)，適用于生存時(shí)間有右截尾的情況，且生存時(shí)間變量作為模型的因變量，協(xié)變量作為模型的自變量。TIES：用來選擇處理生存時(shí)間結(jié)點(diǎn)的方法，每一種方法使用了不同的公式來計(jì)算最大似然值。RISKLIMITS：指令輸出危險(xiǎn)比的95％置信區(qū)間，供選擇的有：backward、forward、step