等腰三角形性質(zhì)與判定

幾何證明舉例等腰三角形的性質(zhì)與判定1.如圖，在△ABC中，（1）如果AB=AC，可得

,（2）如果∠B=∠C，可得

,∠B=∠CAB=AC預(yù)習(xí)檢測(cè)?2.等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為4cm,則它的周長(zhǎng)是

；3.等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3cm,另一邊長(zhǎng)為8cm,則它的周長(zhǎng)是

。4.等腰三角形一個(gè)角為110°,它的另外兩個(gè)角為_______。

ABC10cm或11cm19cm35°，35°1.進(jìn)一步掌握證明的基本步驟和書寫格式。2.能用“公理”和“已經(jīng)證明的定理”為依據(jù)，證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理。學(xué)習(xí)目標(biāo)4.這些性質(zhì)都是真命題嗎？你能否用從基本事實(shí)出發(fā)，對(duì)它們進(jìn)行證明？1.我們學(xué)習(xí)了證明的相關(guān)知識(shí)，你還記得我們依據(jù)哪些基本事實(shí)，證明了哪些定理？你能說出來(lái)嗎？

回顧與思考?2.我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過等腰三角形，我們來(lái)回憶一下下列幾個(gè)問題：(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）(2)等腰三角形有哪些性質(zhì)？等腰三角形的兩底角相等（簡(jiǎn)稱等邊對(duì)等角）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（等腰三角形的三線合一）。3.上述性質(zhì)你是怎么得到的？軸對(duì)稱的性質(zhì)合作與探究證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C分析：常見輔助線做法（1）作頂角的平分線（2）作底邊上的中線；ABCD12證明：等腰三角形的兩個(gè)底角相等已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求證：∠B＝∠C．ABCD怎么想怎么寫要證∠B＝∠C．

只需證△ABD≌△ACD只需有 AB＝AC

∠

BAD＝

∠CADAD＝AD合作與探究證明：過點(diǎn)A作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D

D根據(jù)以上證明，我們還可以得到什么結(jié)論？結(jié)論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。ＡＢＣ已知：求證：△ABC中，AB＝AC∠Ｂ＝∠Ｃ即得到AD⊥BC和BD=CD

AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已證) AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴∠BAD=∠CAD(角平分線定義)在△BAD與△CAD中∵ＡＢＣ已知：△ABC中，AB＝AC求證：∠Ｂ＝∠Ｃ證明：作BC邊上的中線

AD

D

AB=AC(已知) BD=CD（已證）

AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)∴BD=CD(中線定義)∵在△BAD與△CAD中即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC根據(jù)以上證明，我們還可以得到什么結(jié)論？等腰三角形底邊上的中線平分頂角并且垂直于底邊。CBA等腰三角形的性質(zhì)定理1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（

）∴∠B=∠C(

）已知等邊對(duì)等角通過證明我們發(fā)現(xiàn):等腰三角形的兩個(gè)底角相等是真命題。可以作為證明其他命題的依據(jù)。符號(hào)表示：通過證明我們不僅發(fā)現(xiàn)等要三角形的兩底角相等成立，而且還得到如下結(jié)論也是成立的成立的。等腰三角形的頂角平分線﹑底邊上的中線﹑底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”).交流與發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論是真命題，我們把它作為證明其他命題的依據(jù)，并且把它叫做等腰三角形的性質(zhì)定理！ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,圖⑵圖⑶∟12∥ACBD12性質(zhì)定理2：等腰三角形的頂角平分線﹑底邊上的中線﹑底邊上的高互相重合(簡(jiǎn)稱“三線合一”).∟符號(hào)語(yǔ)言⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.圖⑴∟∥12

寫出“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”的逆命題，如何證明這個(gè)逆命題是正確的？要求：（1）寫出它的逆命題：＿＿＿＿＿＿。（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進(jìn)行證明。

交流與發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.

(簡(jiǎn)稱“等角對(duì)等邊”).ABC求證：AB=AC.已知：如圖,在△ABC中,∠B=∠C.D證明：作AD⊥BC,垂足為D,∠ADB=∠ADC=90°(已證)，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)∠B=∠C(已知)，AD=AD(公共邊)，∴AB=AC(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)∟如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（簡(jiǎn)稱等角對(duì)等邊）則∠ADB=∠ADC=90等腰三角形的判定定理:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等。（簡(jiǎn)稱等角對(duì)等邊）CBA符號(hào)表示：在△ABC中，∵∠B=∠C

（

）∴AC=AB(等角對(duì)等邊）已知例題解析例1.已知：如圖：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求證：AB=AC.ABCDE證明：（已知）（角平分線定義）（已知）（二直線平行，同位角相等）（二直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（等量代換）（等角對(duì)等邊）例2.求證：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于60°.ABC證明：（已知）（等要三角形的兩個(gè)底角相等）（等式的性質(zhì)）（三角形的內(nèi)角和定理）（等量代換）（等式的性質(zhì)）

如果一個(gè)三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于600，那么這個(gè)三角形是等邊三角形。

等邊三角形判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角都等于600，那么這個(gè)三角形是等邊三角形。逆命題是真命題：逆命題減少一個(gè)等于600角后,仍然是真命題.交流與探索

思考：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于600的逆命題是什么？這個(gè)逆命題是真命題嗎？你能把這個(gè)逆命題的條件適當(dāng)減少,使它仍然是真命題嗎？練習(xí)CBAD（1）名稱圖形概念性質(zhì)與邊角關(guān)系

判定

等腰三角形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形。2.等邊對(duì)等角,3.三線合一。4.是軸對(duì)稱圖形.2.等角對(duì)等邊,1.兩邊相等。1.兩腰相等.小結(jié)小結(jié)

在等腰三角形中，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高是常用的輔助線，通過添畫輔助線，把一個(gè)等腰三角形分成一對(duì)全等三角形。等腰三角形的性質(zhì)定理是一個(gè)三角形中由兩邊相等證明兩角相等的依據(jù)；等腰三角形的判定定理，是一個(gè)由兩角相等證明兩邊相等的依據(jù)。證明中常用的一種思考方法：從需要證明的結(jié)論出發(fā)，逆推出要使結(jié)論成立所需要的條件，再把這樣的“條件”看作“結(jié)論”，一步一步逆推，直至歸結(jié)為已知條件。等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角都等于600.等腰三角形的判定方法有下列幾種：