第3.2講：納什均衡(II)：混合策略意義上分析

第3講：

納什均衡（NashEquilibrium）——混合策略意義上的分析1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了如下四種博弈的基本分析思路和方法：I、嚴(yán)格上策均衡分析II、嚴(yán)格下策反復(fù)消去法III、劃線法IV、箭頭法其中，前兩種是以策略之間的絕對(duì)優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ)，后兩種是以策略之間的相對(duì)優(yōu)劣關(guān)系為基礎(chǔ)。2前述四種納什均衡分析方法無法對(duì)如下兩類博弈的博弈方的選擇和博弈結(jié)果作明確的預(yù)測，也就無法給博弈方提供明確的建議：不存在納什均衡的博弈，如猜硬幣博弈。納什均衡不唯一的博弈，如夫妻之爭博弈。3需要引入“混合策略”和“混合策略納什均衡”概念4混合策略博弈方以一定的概率分布在可選策略中隨機(jī)選擇的決策方式，在分析原來沒有納什均衡的博弈時(shí)有非常重要的意義。在博弈論中，通常把這種策略選擇方式稱為“混合策略”（MixedStrategy）。與此對(duì)應(yīng)地，把博弈中原來意義上的策略稱為“純戰(zhàn)略”（PureStrategy）。5混合策略的較正式定義：6純策略與混合策略之間的關(guān)系純策略可以看作為特殊的混合策略，即選擇相應(yīng)純策略的概率為1，選擇其余純策略的概率為0的混合策略。如“猜硬幣博弈”中，純策略“蓋正面”可以看做為（1，0），純策略“蓋反面”可以看做為（0，1）。78混合策略可以看作純策略的擴(kuò)展，即如果給一個(gè)博弈的每個(gè)博弈方的純策略空間賦予不同的概率分布，就形成了不同的混合策略。9需要在混合策略的意義上定義納什均衡博弈方的策略從“純策略”擴(kuò)展到“混合策略”。博弈方的策略空間從“純策略空間”擴(kuò)展到“混合策略空間”。10混合策略意義上的納什均衡，簡稱為“混合策略納什均衡”。納什均衡的本質(zhì)規(guī)定性是“均衡策略組合滿足各博弈方的策略相互是對(duì)其他博弈方策略的最佳對(duì)策”。111.確定“混合策略納什均衡”的方法期望得益最大化法；期望得益等值法;反應(yīng)函數(shù)法。12以“猜硬幣博弈”為例13猜硬幣博弈博弈的混合策略納什均衡為“蓋硬幣方”以1/2的概率隨機(jī)選擇純策略“蓋正面”，“猜硬幣方”以1/2的概率隨機(jī)選擇純策略“猜正面”。14期望得益最大化法1516171819期望得益等值法20212223242526期望得益等值法博弈的混合策略納什均衡為“蓋硬幣方”以1/2的概率隨機(jī)選擇純策略“蓋正面”，“猜硬幣方”以1/2的概率隨機(jī)選擇純策略“猜正面”。這與利用“期望得益最大化法”獲得的結(jié)果完全一致。27“期望得益等值法”的思路總結(jié)令各個(gè)博弈方隨機(jī)選擇純策略的概率分布，滿足使對(duì)方或其他博弈方采用不同純策略的期望得益相同，從而計(jì)算出各個(gè)博弈方隨機(jī)選擇各純策略的概率。28反應(yīng)函數(shù)法29反應(yīng)函數(shù)法將博弈方的策略空間擴(kuò)展到混合策略，將納什均衡擴(kuò)展到包括混合策略納什均衡以后，求純策略納什均衡的反應(yīng)函數(shù)法也可以擴(kuò)展到求混合策略納什均衡。303132333435363738混合策略反應(yīng)函數(shù)法反應(yīng)函數(shù)是一博弈方對(duì)另一博弈方每種可能的決策內(nèi)容的最佳反應(yīng)決策組成的函數(shù)．在純策略的范疇中，反應(yīng)函數(shù)是個(gè)博弈方選擇的純策略對(duì)其他博弈方純策略的反應(yīng)．在混合策略的范疇內(nèi)，博弈方的決策內(nèi)容為選擇概率分布，反應(yīng)函數(shù)就是以方對(duì)另一方的概率分布的反應(yīng)，同樣也是一定的概率分布．39確定“混合策略納什均衡”的方法期望得益最大化法；期望得益等值法;反應(yīng)函數(shù)法。402.納什均衡的存在性41納什定理42用通俗的語言，納什定理就是說“每一個(gè)有限博弈都至少有一個(gè)混合策略納什均衡”．該定理說明了納什均衡的普遍存在性，這也就意味著納什均衡分析在我們遇到的大多數(shù)博弈問題中，都是一種基本的分析方法．43納什均衡的普遍存在性，意味著納什均衡分析在我們所遇到的大多數(shù)