八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形軸對(duì)稱期末復(fù)習(xí)題解析

京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班八年級(jí)數(shù)學(xué)期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》復(fù)習(xí)題選擇題（共4小題）1如圖，Rt△ACB中，/ACB=90°ABC/的角均分線BE和/BAC的外角均分線AD訂交于點(diǎn)P,分別交AC和BC的延長線于E,D.過P作PF丄AD交AC的延長線于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G.則以下結(jié)論：①/APB=45°②PF=PA;③BD-AH=AB;C.②③D.①②③④@DG=AP+GH.此中正確的選項(xiàng)是（）2.如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角極點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的地址，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EGHA.①②③.①②④EB、EC,則以下結(jié)論：①DAC=//DCA:②ED為AC的垂直均分線；③EB均分/AED:④ED=2AB.其中正確的選項(xiàng)是（）A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④A°ABC△的角均分線AD、BE訂交于點(diǎn)P,過P作PF丄AD交BC的延長線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H，則3.如圖，RtACB中，/ACB=90以下結(jié)論：①APB=135/°②PF=PA:③AH+BD=AB:④S四邊形ABDE=^SAABP，此中正確2的是（）.4FCDBA.①③B.①②④C.①②③D.②③4.如圖，在四邊形ABCD中，/B=/C=90°DAB/與/ADC的均分線訂交于BC邊上的M點(diǎn)，則以下結(jié)論：①/AMD=90°②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD:④%頤玉梯形胡CD二⑤M到AD的距離等于BC的一半;京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班2‘此中正確的有（京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班二?解答題(共8小題)5.如圖1,在Rt△ACB中，/ACB=90°ZABC=30°C=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE,EA的延長線交BC的延長線于F,設(shè)CD=n,(1)當(dāng)n=1時(shí)，貝UAF=;A.2個(gè)6.兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，此中D點(diǎn)在AB上，連接BE.BE(1則，/CBE=度;(2)ADBC上),連接AD并延長交BE于點(diǎn)F,連接FC,則BE度;---=CFE的度數(shù)R7.已知△D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn):(2)當(dāng)Ovnv1時(shí)，如圖2,在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班圖1圖2①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE,BE交AD于F,當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，/AFE的大小可否變化？若不變，央求出其度數(shù).②如圖2，過點(diǎn)D作/ADG=60。與/ACB的外角均分線交于G,當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DG-CD的值為定值.此中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值.如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°勺直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交/DCE的角均分線于F點(diǎn)，交HE于P.試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明原因；若/HAE=120°AB=3，求EF的長.9.如圖，AD是厶ABC的角均分線，H,G分別在AC,AB上，且HD=BD.求證：/[B與/AHD互補(bǔ)；(2)若/B+2/DGA=180。，請(qǐng)研究線段AG與線段AH、HD之間知足的等量關(guān)系，并加以證明.C10.如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，/BDE=/ACB=90°且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F,CD的中點(diǎn)G,連接GF.(1)_____________________________________FG與DC的地址關(guān)系是,FG與DC的數(shù)目關(guān)系是;(2)若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°其它條件不變，請(qǐng)完成以下列圖，并判斷(1)中的結(jié)論可否依舊成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班如圖1,△ABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角極點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向厶ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.嘗試究EP與FQ之間的數(shù)目關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(2)若連接EF交GA的延長線于H，由(1)中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？圖2中的△ABC與厶AEF的面積相等嗎？(不用證明)12.已知如圖1:△ABC中，AB=AC，/B、/C的均分線訂交于點(diǎn)0,過點(diǎn)0作EF//BC交AB、AC于E、F.①圖中有幾個(gè)等腰三角形？請(qǐng)說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系.②若AB執(zhí)C,其余條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？若是有，請(qǐng)分別指出它們.另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？③若△ABC中，/B的均分線與三角形外角/ACD的均分線C0交于0,過0點(diǎn)作0E//BC交AB于E,交AC于F.如圖3，這時(shí)圖中還有哪幾個(gè)等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系怎樣？為何？京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班八年級(jí)［丄］數(shù)學(xué)期末《全等三角形》《軸對(duì)稱》復(fù)習(xí)提優(yōu)題【大海之音組卷】參照答案與試題解析選擇題（共4小題）1如圖，Rt△ACB中，/ACB=90°ABC/的角均分線BE和/BAC的外角均分線AD訂交于點(diǎn)P,分別交AC和BC的延長線于E,D.過P作PF丄AD交AC的延長線于點(diǎn)H，交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF交DH于點(diǎn)G.則以下結(jié)論：①/APB=45°②PF=PA;③BD-AH=AB;C.②③D.①②③④@DG=AP+GH.此中正確的選項(xiàng)是（）直角三角形的性質(zhì)；角均分線的定義；垂線；全等三角形的判斷與性質(zhì).推理填空題.①依據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和與角均分線的定義表示出/線的定義/CAP，再依據(jù)角均分ABP=」ABC，爾后利用三角形的內(nèi)角和定理整理即可得解；2②③先依據(jù)直角的關(guān)系求出/AHP=/FDP,爾后利用角角邊證明△AHP與厶FDP全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=AH，對(duì)應(yīng)角相等可得/PFD=ZHAP，爾后利用平角的關(guān)系求出/BAP=/BFP,再利用角角邊證明△ABP與厶FBP全等，然后依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等獲得HAB=BF，進(jìn)而得解；A.①②③B.①②④依據(jù)PF丄AD，/ACB=90°可得AG丄DH，爾后求出/ADG=/④DAG=45°再依據(jù)等角同等邊可得DG=AG，再依據(jù)等腰直角三角形兩腰相等可得GH=GF，爾后求出DG=GH+AF，有直角三角形斜邊大于直角邊，AF>AP，進(jìn)而得出本小題錯(cuò)誤.解答:解：①???/ABC的角均分線BE和/BAC的外角均分線,/CAP=—(90°ABC/)=45°+—/ABC,22在厶ABP中，/APB=180°-ZBAP-/ABP,=180-(45+ABC+90-ABC)-/ABC，°°上=180°-45°——/ABC-90°+/ABC/ABC,京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班22=45°,故本小題正確；②③???/ACB=90°PF丄AD,???/FDP+/HAP=90°/AHP+/HAP=90°???/AHP=/FDP,?/PF丄AD,京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班???/APH=/FPD=90°'ZAHP-ZFDP在厶AHP與厶FDP中，?,LAP=PF???△AHP◎△FDP(AAS),?DF=AH,?/AD為/BAC的外角均分線，/PFD=/HAP,???/PAE+ZBAP=180°又???/PFD+ZBFP=180°ZPAE=ZPFD,???ZABC的角均分線，ZABP=ZFBP,ZPAE=ZPFD在厶ABP與厶FBP中，期P二ZFBP,PB二PB△ABP◎△FBP(AAS),AB=BF,AP=PF故②小題正確；?/BD=DF+BF,BD=AH+AB,BD-AH=AB，故③小題正確；④?PF丄AD,ZACB=90°AG丄DH,?/AP=PF,PF丄AD,?ZPAF=45°?ZADG=ZDAG=45°?DG=AG,?ZPAF=45°AG丄DH,?△ADG與厶FGH都是等腰直角三角形，?DG=AG,GH=GF,?DG=GH+AF,?/AF>AP,?DG=AP+GH不成立，故本小題錯(cuò)誤，綜上所述①②③正確.應(yīng)選A.評(píng)論：此題考察了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷，以及等腰直角三角形的判斷與性質(zhì)，等角同等邊，等邊同等角的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，做題時(shí)要分清角的關(guān)系與邊的關(guān)系.2.如圖，將30°的直角三角尺ABC繞直角極點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到ADE的地址，使B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D落在BC邊上，連接EB、EC,則以下結(jié)論：①ZDAC=ZDCA:②ED為AC的垂直均分線；③EB均分ZAED:④ED=2AB.其中正確的選項(xiàng)是()京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；含30度角的直角三角形.解析：依據(jù)直角三角形中30°勺角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可判斷.解答：解：①依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)能夠獲得：AB=AD，而/ABD=60°則厶ABD是等邊三角形，可獲得/DAC=30°???/DAC=/DCA，故正確；②依據(jù)①可得AD=CD，而且依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：AC=AE，/EAC=60°則厶ACE是等邊三角形，則EA=EC,即D、E都到AC兩端的距離相等，則DE在AC的垂直均分線上，故正確；③依據(jù)條件AB//DE，而AB執(zhí)E，即可證得EB均分/AED不正確，故錯(cuò)誤；④依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，DE=BC，而BC=2AB，即可證得ED=2AB，故正確；故正確的選項(xiàng)是：①②④B.故.選評(píng)論：正確理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形全等是解決此題的重點(diǎn).如圖，RtAACB中，/ACB=90°ABC△的角均分線AD、BE訂交于點(diǎn)P,過P作PF丄AD交BC的延長線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H，則以下結(jié)論：①APB=135/°②PF=PA:③AH+BD=AB:④S四邊形ABDE=^SAABP，此中正確2A的是（）FCDBA.①③B.①②④C.①②③D.②③考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).解析：依據(jù)三角形全等的判斷和性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理逐條解析判斷.解答：解：在△ABC中，AD、BE分別均分/BAC、/ABC,???/ACB=90°???/A+/B=90°又???AD、BE分別均分/BAC、/ABC,???/BAD+/ABE=2(/A+/B)=45°2???/APB=135°故①.正確???/BPD=45°又???PF丄AD,???/FPB=90°45°135°???/APB=/FPB,又???/ABP=/FBP,BP=BP,?△ABP◎△FBP,???/BAP=/BFP,AB=FB,PA=PF，故②正確.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班在厶APH和厶FPD中，???/APH=/FPD=90°/PAH=/BAP=/BFP,PA=PF,△APH也厶FPD,AH=FD,又???AB=FB,AB=FD+BD=AH+BD.故③正確.ABP◎△FBP,△APH◎△FPD,二SABDE=SAABP+SABDP+SAAPH-S^EOH+SADOP=SA+SA—EOH+SADOP=2S△ABP-四邊形ABPABP3SAEOH+SA■L|i_.DOP亠應(yīng)選C.評(píng)論：此題考察三角形全等的判斷方法，判斷兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能夠判斷兩個(gè)三角形全等，判斷兩個(gè)三角形全等時(shí)，一定有邊的參加，如有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角一定是兩邊的夾角.如圖，在四邊形ABCD中，/B=/C=90°DAB/與/ADC的均分線訂交于BC邊上的M點(diǎn)，則以下結(jié)論：①/AMD=90°②M為BC的中點(diǎn)；③AB+CD=AD:④SAjU)K=^S梯形血R二⑤皿到AD的距離等于BC的一半;2‘此中正確的有()A.2個(gè)京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)；角均分線的性質(zhì).解析：過M作ME丄AD于E,得出/MDE=/CDA，/MAD=/BAD，求出/MDA+/MAD=(/CDA+/BAD)222=90°依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/AMD，即可判斷①；依據(jù)角均分線性質(zhì)求出MC=ME,ME=MB，即可判斷②和⑤；由勾股定理求出DC=DE,AB=AE，即可判斷③；依據(jù)SSS證厶DEMDCM，推出S三角形DEM=S三角形DCM，同理得出S三角形AEM=S三角形ABM，即可判斷④.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班解答:解:過M作ME丄AD于E,???/DAB與/ADC的均分線訂交于???/BC邊上的M點(diǎn),MDE=/CDA，/MAD=/BAD,22?/DC//AB,???/CDA+/BAD=180°???/MDA+/MAD=丄(/CDA+/BAD)=1XI80°9022°???/AMD=180-90°°90°?①正確；?/DM均分/CDE,/C=90°MC(丄DC),ME丄DA,?MC=ME,同理ME=MB,?MC=MB=ME=BC,?②正確；2?M到AD的距離等于BC的一半，?⑤正確；???由勾股定理得：DC2=MD2-MC2,DE2=MD2-ME2,又???ME=MC,MD=MD,?DC=DE,同理AB=AE,?AD=AE+DE=AB+DC，?③正確；???在△DEM和厶DCM中'DE二DC<DhDlfl,?△DEMDCM(SSS),◎△?-S三角形DEM=S三角形DCM同理S三角形AEM=S三角形ABM,?-S三角形AMD^S梯形ABCD,正確；???④2應(yīng)選D.評(píng)論：此題考察了角均分線性質(zhì)，垂直定義，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判斷等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,主要考察學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力.二.解答題(共8小題)5.如圖1,在Rt△ACB中，/ACB=90°ZABC=30°AC=1點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以BD為邊作等邊△BDE,EA的延長線交BC的延長線于F,設(shè)CD=n,京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班(1)當(dāng)n=1時(shí)，貝UAF=2；(2)當(dāng)Ovnv1時(shí)，如圖2,在BA上截取BH=AD，連接EH，求證：△AEH為等邊三角形.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題：動(dòng)點(diǎn)型.解析：(1)依據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/BAC=60°再依據(jù)平角等于180°求出/FAC=60°爾后求出/F=30°根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求解即可；(2)依據(jù)三角形的任意一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和利用/CBD表示出/ADE=30°CBD/,又/HBE=30°/CBD,進(jìn)而獲得/ADE=/HBE,爾后依據(jù)邊角邊證明△ADE與厶HBE全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=HE，對(duì)應(yīng)角相等可得/AED=/HEB，爾后推出/AEH=/BED=60°再依據(jù)等邊三角形的判斷即可證明.解答：(1)解：???BDE△是等邊三角形，???/EDB=60°???/ACB=90°ABC=30/°???/BAC=180°-90°-30°=60°°?FAC=180°-60°-60°=60°°???/F=180°-90°60°=30°°???/ACB=90°°???/ACF=180-90°°°?AF=2AC=2X1=2;(2)證明：???BDE△是等邊三角形，?BE=BD,/EDB=/EBD=60°在厶BCD中，/ADE+/EDB=/CBD+/C,即/ADE+60°CBD+90/°???/ADE=30°CBD/,???/HBE+/ABD=60°CBD+//ABD=30°???/HBE=30°CBD/,???/ADE=/HBE,在厶ADE與厶HBE中，BH=ADZADE=ZHBE,LBE=BD???△ADE◎△HBE(SAS),?AE=HE，/AED=/HEB,???/AED+/DEH=/DEH+/HEB,即/AEH=/BED=60°?△AEH為等邊三角形.評(píng)論：此題考察了30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，(2)中求出/ADE=/HBE是解題的重點(diǎn).京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班兩個(gè)等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如圖1擺放，此中D點(diǎn)在AB上，連接BE.(1)則：「=1，/CBE=45度；AD---------------------當(dāng)把△DEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的地址時(shí)(D點(diǎn)在BC上),連接AD并延長交BE于點(diǎn)F,連接FC,則常亠，/旳=雖度;把厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的地址時(shí)，央求出/CFE的度數(shù)135°.魚：三一三圓周角定理；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形；確立圓的條件.(1)先證明/ACD=/BCE,再依據(jù)邊角邊定理證明△ACDBCE，爾后依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等和對(duì)應(yīng)角相等解答;(2)依據(jù)(1)的思路證明△ACD和厶BCE全等，再依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得BE=AD，對(duì)應(yīng)角相等得/DAC=/DBF，又AC丄CD，所以AF丄BF，進(jìn)而能夠獲得C、E、F、D四點(diǎn)共圓，依據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可求出/CFE=/CDE=45°(3)同(2)的思路，證明C、F、D、E四點(diǎn)共圓，得出/CFD=/CED=45°,/而DEF=90°,所/以CFE的度數(shù)即可求出.解答：解：(1)???△ABC和厶DCE是等腰三角形,???AC=BC,CD=CE,???/ACB=/DCE=90°???/ACB-ZBCD=/DCE-/BCD,即/ACD=ZBCE,AC=BC在厶ACD和厶BCE中，"/ACD二/BCE,LCD<E???△ACD◎△BCE(SAS),BE=AD,ZCBE=ZCAD=45°所以1?=1,ZCBE=45°AD「JA(2)同(1)可得BE=ADZCBE=ZCAD；又TZACD=90°ZADC=ZBDF,?ZBFD=ZACD=90°又TZDCE=90°京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班C、E、F、D四點(diǎn)共圓，ZCFE=ZCDE=45°同(2)可得ZBFA=90°京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班???/DFE=90°又???/DCE=90°C、F、D、E四點(diǎn)共圓，???/CFD=/CED=45°???/CFE=/CFD+/DFE=45°90°=135°評(píng)論：此題綜合考察了等邊同等角的性質(zhì)，三角形全等的判斷和全等三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓以及同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈便運(yùn)用.已知△ABC為邊長為10的等邊三角形，D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn):圖1圖2①如圖1，點(diǎn)E在AC上，且BD=CE,BE交AD于F,當(dāng)D點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，/AFE的大小可否變化？若不變，央求出其度數(shù).②如圖2，過點(diǎn)D作/ADG=60。與/ACB的外角均分線交于G,當(dāng)點(diǎn)D在BC上滑動(dòng)時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：①DC+CG的值為定值；②DGCD的值為定值.此中有且只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論加以證明并求出其值.等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì).研究型.①/AFE的大小不變，其度數(shù)為60°原因以下：由三角形ABC為等邊三角形，獲得三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，都為60°可得出AB=BC，/ABD=/C,再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD與三角形BCE全等，依據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出/BAD=/CBE，在三角形ABD中，由/ABD為60°得到/BAD+/ADB的度數(shù)，等量代換可得出/CBE+/ADB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出/BFD的度數(shù)，依據(jù)對(duì)應(yīng)角相等可得出/AFE=/BFD，可得出/AFE的度數(shù)不變；②連接AG,以下列圖，由三角形ABC為等邊三角形，得出三條邊相等，三個(gè)內(nèi)角都相等，都為60°再由CG為外角均分線，得出/ACG也為60°由/ADG為60°可得出A,D,C,G四點(diǎn)共圓，依據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)可得出/DAG與/DCG互補(bǔ)，而/DCG為120°可得出/DAG為60°依據(jù)/BAD+/DAC=/DAC+/CAG=60°利用等式的性質(zhì)獲得/BAD=/CAG,利用ASA可證明三角形ABD與三角形ACG全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代換可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可獲得DC+CG為定值10,得證.解答：解：①AFE/的大小不變，其度數(shù)為60°原因?yàn)????△ABC為等邊三角形，?AB=BC，/ABD=/C=60°在厶ABD和△BCE中，AB=BC-ZABD^ZC,LBD=CE△ABD◎△BCE(SAS),???/BAD=/CBE,又/BAD+/ADB=120°???/CBE+/ADB=120°°京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班???/BFD=60°°京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班則/AFE=/BFD=60°△ABC為等邊三角形,②正確的結(jié)論為：DC+CG的值為定值，原因以下:連接AG,如圖2所示：???AB=BC=AC，/ABD=/ACB=/BAC=60°又CG為/ACB的外角均分線，???/ACG=60°又???/ADG=60°???/ADG=/ACG，即A,D,C,G四點(diǎn)共圓,???/DAG+/DCG=180°/又DCG=120°???/DAG=60°/即DAC+/CAG=60°又???/BAD+/DAC=60°???/BAD=/GAC,在厶ABD和△ACG中,fZB=ZACG=60°?-AB=ACtZBAD=ZCAG?△ABDACG(ASA),?DB=GC，又BC=10,貝UBC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值為定值.評(píng)論：此題考察了等邊三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的條件，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，利用了等量代換及轉(zhuǎn)變的思想，熟練掌握等邊三角形的判斷與性質(zhì)是解此題的重點(diǎn).如圖，點(diǎn)A、C分別在一個(gè)含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點(diǎn)C作BE的垂線CD，過E點(diǎn)作EF上AE交/DCE的角均分線于F點(diǎn)，交HE于P.試判斷△PCE的形狀，并請(qǐng)說明原因；若/HAE=120°AB=3，求EF的長.專題：計(jì)算題；證明題.依據(jù)/PCE=2/DCE=2>90°=45,求°證/CPE=90°爾后即可判斷三角形的形狀.22(2)依據(jù)/HEB=/H=45。得HB=BE,再依據(jù)BA=BC和/HAE=120°利用ASA求證△HAECEF，得京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班AE=EF，又因?yàn)锳E=2AB.爾后即可求得EF.解答：解：(1)△PCE是等腰直角三角形，原因以下：???/PCE=!/DCE=1>90°=45°22/PEC=45°???/PCE=ZPEC/CPE=90°△PCE是等腰直角三角形(2)vZHEB=/H=45°?HB=BE?/BA=BC?AH=CE而/HAE=120°/BAE=60°/AEB=30°又???/AEF=90°?/CEF=120Z°=HAE而/H=/FCE=45°△HAE◎△CEF(ASA)AE=EF又???AE=2AB=2X3=6?EF=6評(píng)論：此題主要考察學(xué)生對(duì)全等三角形的判斷與性質(zhì)和等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，解答(2)的重點(diǎn)是利用ASA求證△HAECEF，此題有必然的拔高難度，屬于中檔題.9.如圖，AD是厶ABC的角均分線，H,G分別在AC,AB上，且HD=BD.求證：/[B與/AHD互補(bǔ)；(2)若/B+2/DGA=180。，請(qǐng)研究線段AG與線段AH、HD之間知足的等量關(guān)系，并加以證明.CG全等三角形的判斷與性質(zhì).證明題.(1)在AB上取一點(diǎn)M,使得AM=AH，連接DM，則利用SAS可得出△AHDAMD，進(jìn)而得出HD=MD=DB，即有/DMB=/B，經(jīng)過這樣的轉(zhuǎn)變可證明/B與/AHD互補(bǔ).(2)由(1)的結(jié)論中得出的/AHD=/AMD，結(jié)合三角形的外角可得出/DGM=/GDM，可將HD轉(zhuǎn)變?yōu)镸G,進(jìn)而在線段AG上可解決問題.京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班解答：證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M,使得AM=AH，連接DM,LAD=AD△AHD◎△AMD,HD=MD，/AHD=/AMD,?/HD=DB,DB=MD,京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班:丄DMB=/B,???/AMD+/DMB=180°???/AHD+/B=180°即/B與/AHD互補(bǔ).(2)由(1)ZAHD=/AMD,HD=MD，/AHD+/B=180°???/B+2/DGA=180°AHD=2//DGA,???/AMD=2/DGM,又???/AMD=/DGM+/GDM,?2/DGM=/DGM+/GDM，即/DGM=/GDM,MD=MG,HD=MG,?/AG=AM+MG,?AG=AH+HD.評(píng)論：此題考察了全等三角形的判斷及性質(zhì)，結(jié)合了等腰三角形的知識(shí)，解決這兩問的重點(diǎn)都是經(jīng)過全等圖形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，將題目涉及的角或邊進(jìn)行轉(zhuǎn)變.10.如圖，在等腰Rt△ABC與等腰Rt△DBE中，/BDE=/ACB=90°且BE在AB邊上，取AE的中點(diǎn)F,CD的中點(diǎn)G,連接GF.(1)FG與DC的地址關(guān)系是FG丄CD,FG與DC的數(shù)目關(guān)系是FG=CD;2(2)若將△BDE繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°其它條件不變，請(qǐng)完成以下列圖，并判斷(1)中的結(jié)論可否依舊成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論.考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：研究型.解析：解析：(1)證FG和CD的大小和地址關(guān)系，我們已知了G是CD的中點(diǎn)，猜想應(yīng)該是FG丄CD,FG=CD.可2經(jīng)過成立三角形連接FD,FC,證三角形DFC是等腰直角三角形來得出上述結(jié)論，可經(jīng)過全等三角形來證明；延長DE交AC于M，連接FM，證明三角形DEF和FMC全等即可.我們發(fā)現(xiàn)BDMC是個(gè)矩形，因此BD=CM=DE.因?yàn)槿切蜠EB和ABC都是等腰直角三角形，/BED=/A=45°所以/AEM=/A=45°這樣我們得出三角形京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班AEM是個(gè)等腰直角三角形，F(xiàn)是斜邊AE的中點(diǎn)，所以MF=EF,/AMF=/BED=45°那么這兩個(gè)角的補(bǔ)角也應(yīng)該相等，由此可得出/DEF=/FMC，這樣就組成了三角形DEF和CMF的全等的全部條件，可獲得DF=FC，即三角形DFC是等腰三角形，下面證直角.依據(jù)兩三角形全等，我們還能夠得出/MFC=/DFE，我們知道/MFC+/CFE=90°因/此DFE+/CFE=/DFC=90°這樣就得出三角形DFC京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班是等腰直角三角形了，也就能得出FG丄CD,FG=2CD的結(jié)論了.2(2)和(1)的證法完整同樣.解答：解：(1)FG丄CD,FG=CD.2延長ED交AC的延長線于M，連接FC、FD、FM,???四邊形BCMD是矩形.CM=BD.又△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，?ED=BD=CM.???/AEM=/A=45°△AEM是等腰直角三角形.又F是AE的中點(diǎn)，MF丄AE,EF=MF，/EDF=/MCF.???在△EFD和厶MFC中rDE=MC'ZDEF=ZCMF,[EFKF-???△EFDMFC.◎△?FD=FC，/EFD=/MFC.又/EFD+/DFM=90°???/MFC+/DFM=90°即CDF△是等腰直角三角形，又G是CD的中點(diǎn)，?FG=2CD,FG丄CD.2如圖1,△ABC中，AG丄BC于點(diǎn)G,以A為直角極點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向厶ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.嘗試究EP與FQ之間的數(shù)目關(guān)系，并證明你的結(jié)論.若連接EF交GA的延長線于H，由(1)中的結(jié)論你能判斷并證明EH與FH的大小關(guān)系嗎？圖2中的△ABC與厶AEF的面積相等嗎？(不用證明)京翰教育初中家教一一專業(yè)對(duì)初中學(xué)生開設(shè)初二數(shù)學(xué)指導(dǎo)補(bǔ)習(xí)班京翰教育北京家教指導(dǎo)-開設(shè)全國中小學(xué)一對(duì)一課外指導(dǎo)班考點(diǎn)：全等三角形的判斷與性質(zhì)；等腰直角三角形.解析：(1)依據(jù)全等三角形的判斷得出△ABGEAP，進(jìn)而求出AG=EP?同理AG=FQ，即EP=FQ.◎△(2)過點(diǎn)E作EP丄GA,FQ丄GA，垂足分別為P、Q.依據(jù)全等三角形的判斷和性質(zhì)即可解題.(3)由(1)、(2)中的全等三角形能夠推知△ABC與厶AEF的面積相等.解答：解：(1)EP=FQ，原因以下：如圖1Rt△ABE是等腰三角形，???EA=BA.???/PEA+/PAE=90°/PAE+/BAG=90°???/PEA=/BAG在厶EAP與厶ABG中，ZEPA=ZAGB=90°'ZPEA-ZGAB,LEA=AB???△EAP◎△ABG(AAS),?EP=AG.同理AG=FQ.?EP=FQ.如圖2,HE=HF.原因：過點(diǎn)E作EP±GA,FQ丄GA，垂足分別為P、Q.由(1)知EP=FQ.在厶EPH與厶FQH中，rZEPH=ZFQH=90°ZE金二ZFHQ(對(duì)頂角相等)，LHE=HF△EPH◎△FQH(AAS).?HE=HF;相等.原因以下：由(1)知，△ABG=△EAP,△FQA=△AGC，則S^ABG=SAEAP，S^FQA=S^AGC.由(2)知，△EPH◎△FQH，則S^EPH=SAFQH,所以ABC=S△ABG+S^AGC=S△EAP—s^EP