考研定積分應用詳解

第六章定積分的應用若能把某個量表示成定積分,我們就可以應用定積分計算這個量1(3)求和，(4)求極限，相應的曲邊梯形被分為n個小窄曲邊梯形，小窄曲邊梯形的面積為則(2)計算的近似值，而第i個(1)把區(qū)間[a,b]分成n個長度為的小區(qū)間得A的近似值,得A的精確值.回顧：曲邊梯形的面積表示為定積分的步驟：abxyo2abxyo對以上過程進行簡化:的面積，則取面積元素若用表示任一小區(qū)間上的窄曲邊梯形這種簡化以后的定積分方法叫“微元法”或“元素法”3一、定積分的元素法1.什么問題可以用定積分（元素法）解決?表示為1)所求量U是與區(qū)間[a,b]上有定義的f(x)

有關的2)U對區(qū)間[a,b]

具有可加性,即可通過“大化小,常代變,近似和,取極限”定積分定義一個整體量;4第一步，根據(jù)具體情況，選取積分變量，確定x的變化區(qū)間[a,b].第二步，把區(qū)間[a,b]分成n個小區(qū)間，取一代表區(qū)間求出該區(qū)間上所求量的部分量的稱為量U的微元.第三步，寫出定積分的表達式：近似表達式這個方法通常叫做元素法．元素的幾何形狀常取為:

條,帶,段,環(huán),扇,片,殼等先作圖2.應用定積分的元素法解決問題的具體步驟是：53.使用元素法時應注意：

(1)U是與一個變量x的變化區(qū)間[a,b]有關的量.(2)U對于區(qū)間[a,b]具有可加性，則U相應地分成許多即如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間，部分量，而U等于所有部分量之和.則U在[a,b]上的值可由定積分示為(3)在[a,b]中任取的小區(qū)間上的部分量與區(qū)間長度可以通過x的某函數(shù)乘積近似表來計算.61.直角坐標系下平面圖形面積的計算梯形的面積為A.X型(2)由曲線所圍圖形的面積.其面積元素為：則面積為上曲線下曲線二、定積分在幾何學上的應用7(4)由曲線所圍圖形的面積.其面積元素為：則面積為右曲線左曲線xoycdxyocdy+dyyy+dyy的面積A.Y型8總之9★回顧：極坐標系1.極坐標系的定義：在平面上取定一點o，叫做極點.從極點出發(fā)引一條射線Ox,叫極軸，并取定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時針方向作正方向),這樣就建立了一個平面極坐標系.x1234o.2.極坐標與直角坐標的互化xoyyx10過點M(a,0)且垂直于極軸的直線的極坐標方程

過極點且傾角為的射線的極坐標方程為xoyxo.Mby極坐標與直角坐標的關系:軸的直線方程為過點M且平行于極3.幾個常用曲線的極坐標方程xoyM(a,0)11xory圓極坐標方程oxy2aoxy2a圓極坐標方程圓極坐標方程122.極坐標系下平面圖形面積的計算求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.解:在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為133.已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則在小區(qū)間的體積元素為：立體體積為：上連續(xù),xA(x)xab14(1)曲邊梯形旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積為：(2)曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積為：4.旋轉(zhuǎn)體的體積15abyxoxdx生成的旋轉(zhuǎn)的體積.求旋轉(zhuǎn)體體積x+dx內(nèi)表面積：—柱殼法16abyxoxdx生成的旋轉(zhuǎn)的體積.求旋轉(zhuǎn)體體積—柱殼法x+dx底面積：17圍成的曲邊梯形繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所以：由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線而成的立體的體積.而成的立體的體積.185.弧長(數(shù)1、數(shù)2)yxoab(2)參數(shù)方程(3)極坐標方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小196.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(數(shù)1、數(shù)2)設平面光滑曲線求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積取側(cè)面積元素:(注意在不同坐標系下ds的表達式)20X型Y型請熟記以下公式：21注意：1)以上公式都要求2)復雜圖形應學會分割.3)不能用公式時應會元素法.4)若曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程則上述公式可以用定積分的換元法處理.5)若曲邊梯形的曲邊為極坐標方程則可轉(zhuǎn)化為直角坐標系下的參數(shù)方程：6)與弧長有關時,其限應上大下小.22解:典型例題分析23解:24xyoAB解：依題意有25例4.計算拋物線解：如圖，求兩曲線的交點26而成的旋轉(zhuǎn)體的體積.分析：

無公式可用,可用元素法.如圖:例5.

解法1:選擇y作積分變量,解法2:選擇x作積分變量,27思考:過坐標原點作曲線軸圍成平面圖形D.解:

(1)設切點的橫坐標為則所求切線方程為由切線過原點知的切線.該切線與故切線方程為1(2003考研)(1)求D的面積;(2)求D繞直線x

=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.28(2)求D繞直線x

=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(2)切線、x軸及直線所圍三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為：曲線、x軸及直線所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為：得旋轉(zhuǎn)體體積為：129解:30解:31解:32解:33(1)求由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.(2)計算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.(3)計算擺線的一拱的長度.練習題：34提示:計算擺線平面圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解：繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為P280例8用柱殼法求較好35證:設正弦線的弧長等于設橢圓的弧長等于例7.證明正弦線的弧長等于橢圓的周長.故原結(jié)論成立.36試用定積分求圓上半圓為下求體積:解:方法1利用對稱性而成的環(huán)體體積V及表面積S.方法2用柱殼法例8.37上半圓為下解:求側(cè)面積:試用定積分求圓而成的環(huán)體體積V及表面積S.例8.38解：如圖立體的體積.例9.39例10.在x≥0時為連續(xù)的非負函數(shù),旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則故40思考:求曲線與x軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解：

利用對稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限41回顧：變力沿直線所作的功二、定積分在物理上的應用設物體在連續(xù)變力F(x)作用下沿x軸從xa移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為解：4201x解:設木板對鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時所作的功為例1.用鐵錘將一鐵釘擊入木板,設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比,在擊第一次時,將鐵釘擊入木板1厘米,如果鐵錘每次