自動(dòng)控制原理第6章 頻率特性分析法

第5章線性系統(tǒng)的頻域分析內(nèi)容提要頻率特性是研究控制系統(tǒng)的一種工程方法，應(yīng)用頻率特性可間接地分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。本章主要介紹典型環(huán)節(jié)的頻率特性、開環(huán)頻率特性、最小相位系統(tǒng)、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、閉環(huán)頻率特性及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。知識(shí)要點(diǎn)開環(huán)頻率特性、極坐標(biāo)圖、Bode圖、Nyquist穩(wěn)定判據(jù)、對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)、相對(duì)穩(wěn)定性、閉環(huán)頻率特性、等M圓、等N圓及用品類特性分析系統(tǒng)品質(zhì)。時(shí)域分析方法的缺陷：（1）對(duì)于高階或較為復(fù)雜的系統(tǒng)難以求解和定量分析；（2）某些元件或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型難以求出時(shí)，系統(tǒng)的分析將無法進(jìn)行；（3）系統(tǒng)的參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)性能的變化難以直接判斷，而需重新求解系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，才能得到結(jié)果；（4）系統(tǒng)的性能不滿足技術(shù)要求時(shí)，無法方便地確定應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期的結(jié)果；（5）必須由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

根軌跡法根據(jù)圖形的變化趨勢(shì)即可得到系統(tǒng)性能隨某一參數(shù)變化的全部信息，從而可以獲得應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期效果，是一種非常實(shí)用的求取閉環(huán)特征方程式根和定性分析系統(tǒng)性能的圖解法，特別適用于高階系統(tǒng)的分析求解。但對(duì)于高頻噪聲問題、難以建立數(shù)學(xué)模型等問題仍然無能為力。

§5.1引言頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)：(1)頻域分析法可以根據(jù)開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能，并能較方便地分析系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響，從而進(jìn)一步提出改善系統(tǒng)性能的途徑。(2)除了一些超低頻的熱工系統(tǒng)，頻率特性都可以方便地由實(shí)驗(yàn)確定。(3)頻率特性主要適用于線性定常系統(tǒng)。在線性定常系統(tǒng)中，頻率特性與輸入正弦信號(hào)的幅值和相位無關(guān)。(4)這種方法也可以有條件地推廣應(yīng)用到非線性系統(tǒng)中。利用頻率特性進(jìn)行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的圖解法，可方便地用于工程中的系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)?！?.2頻率特性的基本概念6.2.1頻率響應(yīng)與頻率特性的定義RC網(wǎng)絡(luò)圖示電路的傳遞函數(shù)為設(shè)輸入電壓Ruiu0CRuC令T=RC，則可得電容兩端的輸出電壓為對(duì)上式兩端取拉氏反變換得式中：當(dāng)t→∞時(shí)，于是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解為可見，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的倍，相角比輸入遲后。其中：，3.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解的幅值之比A(ω)是ω的函數(shù)，其比值為4.為輸出穩(wěn)態(tài)解與輸入信號(hào)的相位差，也是ω的函數(shù)，其值為6.2.2頻率特性的物理意義

線性定常系統(tǒng)（或元件）在正弦輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的復(fù)數(shù)比叫做系統(tǒng)（或元件）的頻率特性，記為G(jω)。

記輸入信號(hào)為

輸出信號(hào)為

則其中RC電路的頻率特性在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量。用G(jω)表示這一向量，則

根據(jù)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)定義，有稱為電路的頻率特性。是的幅值,是的相角，和都是輸入信號(hào)頻率故它們分別被稱為電路的頻率特性的物理意義是：當(dāng)一頻率為它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路的輸出與輸入的幅值之比。它表示在穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的相位差。由于的函數(shù),幅頻特性和相頻特性。在穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路的輸出與輸入之比；或者說輸出與輸入的幅值之比和相位之差。

的正弦信號(hào)加到電路的輸入端后，§6.3頻率特性圖示法幅相頻率特性（極坐標(biāo)圖、奈氏圖）G(jω)隨ω從0變至+∞時(shí)在復(fù)平面上連續(xù)變化而形成的一條曲線。對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）由采用對(duì)數(shù)分度作圖的對(duì)數(shù)幅頻特性和采用線性分度作圖的對(duì)數(shù)相拼特性兩條曲線組成。對(duì)數(shù)幅相特性（尼氏圖）

橫坐標(biāo)為相位，縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)幅值，且縱、橫坐標(biāo)均為線性分度。幅相頻率特性可以表示成：代數(shù)形式、極坐標(biāo)形式6.3.1幅相頻率特性（奈氏圖）1）代數(shù)形式設(shè)系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為令s=jω，可得系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性這就是系統(tǒng)頻率特性的代數(shù)形式，其中P(ω)是頻率特性的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性，Q(ω)為頻率特性的虛部，稱為虛頻特性。

2）極坐標(biāo)形式將上式表示成指數(shù)形式:式中A(ω)－復(fù)數(shù)頻率特性的模，即幅頻特性

(ω)－復(fù)數(shù)頻率特性的幅角或相位移，即相頻特性奈氏圖6.3.2對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）對(duì)數(shù)頻率特性是將頻率特性表示在對(duì)數(shù)坐標(biāo)中。對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)，得

上面就是對(duì)數(shù)頻率特性的表達(dá)式。習(xí)慣上，一般不考慮0.434這個(gè)系數(shù)，而只用相角位移本身。

Bode圖6.3.3對(duì)數(shù)幅相特性（尼氏圖）將對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性繪在一個(gè)平面上，以對(duì)數(shù)幅值作縱坐標(biāo)（單位為分貝）、以相位移作橫坐標(biāo)（單位為度）、以頻率為參變量。這種圖稱為對(duì)數(shù)幅—相頻率特性，也稱為尼柯爾斯圖，或尼氏圖。

一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析。微分方程頻率特性傳遞函數(shù)系統(tǒng)6.3.4頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系比較頻率特性與傳遞函數(shù)具有十分相的形式

§6.4

典型環(huán)節(jié)的頻率特性6.4.1控制系統(tǒng)中常見的典型環(huán)節(jié)—積分環(huán)節(jié)其中—比例環(huán)節(jié)—振蕩環(huán)節(jié)—慣性環(huán)節(jié)—微分環(huán)節(jié)6.4.2典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)及頻率特性1、比例環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖2、積分環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖3、慣性環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖4、振蕩環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖見書P136、1375、微分環(huán)節(jié)（以一階微分為例）1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖Bode圖6、延遲環(huán)節(jié)1）傳遞函數(shù)2）頻率特性實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性對(duì)數(shù)幅頻特性奈氏圖§5.3系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈氏判據(jù)5.3.1開環(huán)幅相頻率特性（奈氏圖）的繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的一般形式為

開環(huán)系統(tǒng)的幅頻、相頻特性表示為：用不同的ω值分別代入以上各式，就可以逐點(diǎn)描繪系統(tǒng)的開環(huán)幅相特性?？捎脧?fù)數(shù)運(yùn)算求得它的實(shí)頻和虛頻特性。,繪制開環(huán)奈氏圖的基本步驟：1、確定開環(huán)極坐標(biāo)曲線的起點(diǎn)()；2、確定開環(huán)極坐標(biāo)曲線的終點(diǎn)()；3、確定開環(huán)極坐標(biāo)曲線與負(fù)虛軸與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)；4、分析開環(huán)極坐標(biāo)曲線的變化范圍及特點(diǎn)；5、綜上，概略地繪出系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)曲線。1、起點(diǎn)：起點(diǎn)與系統(tǒng)的類型有關(guān)，即與系統(tǒng)的積分個(gè)數(shù)有關(guān)。結(jié)論：若系統(tǒng)有v個(gè)積分環(huán)節(jié)，則開環(huán)幅相特性開始于相位為，幅值為的地方。注意：實(shí)際的起點(diǎn)可能在坐標(biāo)軸的任意一邊，這要用求漸近線的方法來確定。即特性總是以順時(shí)針方向趨于原點(diǎn)，并以的角度終止于原點(diǎn)，如下圖所示。

2、終點(diǎn)：一般實(shí)際系統(tǒng)3、幅相特性與負(fù)實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)。特性與虛軸的交點(diǎn)的頻率由下式求出

特性與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的頻率由下式求出如果在傳遞函數(shù)的分子中沒有時(shí)間常數(shù)，則當(dāng)ω由0增大到∞過程中，特性的相位角連續(xù)減小，特性平滑地變化。如果在分子中有時(shí)間常數(shù)，則視這些時(shí)間常數(shù)的數(shù)值大小不同，特性的相位角可能不是以同一方向連續(xù)地變化，這時(shí)，特性可能出現(xiàn)凹部。例5-1已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。解：分母有理化并整理得實(shí)頻特性虛頻特性幅頻特性相頻特性1、起點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，，。2、終點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，，。3、與虛軸的交點(diǎn)令，即，得，取時(shí)的若干點(diǎn)，結(jié)果如下表所示：0136…104.40.101.6…00-5.4-3.0-1.9-1.1…0代入中得在G（s）平面上繪出極坐標(biāo)圖如下圖所示：例5-2設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，系統(tǒng)的開環(huán)奈氏曲線。試?yán)L出解：分母有理化并整理得實(shí)頻特性虛頻特性1、起點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，。2、終點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，。3、與負(fù)虛軸的交點(diǎn)令，得，代入中得在G(s)平面上繪出開環(huán)奈氏曲線如下圖所示：例5-3設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為,試?yán)L出開環(huán)奈氏曲線。解：經(jīng)分母有理化可得幅頻特性和相頻特性為這是Ⅰ型系統(tǒng)。解:1、起點(diǎn)

當(dāng)ω＝0時(shí)，可計(jì)算出，，,顯然當(dāng)ω→0時(shí)，G(jω)的漸近線是一條過實(shí)軸上點(diǎn)，且平行于虛軸的直線，即幅相曲線起始于負(fù)虛軸方向的無窮遠(yuǎn)處，它的漸近線是

2.終點(diǎn)

當(dāng)ω→∞時(shí)，，，，。該系統(tǒng)m=0，n=3，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點(diǎn)。3.幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)

令，可得，將此ω1值代入式P(ω)表達(dá)式中，可得幅相曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)為，交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率為。可以證明

開環(huán)奈氏曲線如下圖所示。w＝0w→∞P(ω)jQ(ω)5.3.2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Φ(s)零點(diǎn)極點(diǎn)相同F(xiàn)(s)零點(diǎn)極點(diǎn)相同GK(s)零點(diǎn)極點(diǎn)F(s)有如下特點(diǎn)：(1)其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；(2)零點(diǎn)和極點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同（均為N個(gè)）；(3)F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1，相當(dāng)于在坐標(biāo)平面上平移一個(gè)單位。FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)FReIm[F(s)]BG(b)jwGSA.ZiGSA.Zis(a)奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時(shí)針包圍臨界點(diǎn)(-1,j0)的圈數(shù)R等于開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P，即N＝P，Z＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z≠0，存在閉環(huán)正實(shí)部的特征根，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)Z可按下式確定Z＝P－R例5-6

已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標(biāo)圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解:

系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0。從圖中看到：ω由-∞→+∞變化時(shí)，G(jω)H(jω)曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)，即R=0，Z=P-R=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5-8系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：實(shí)頻特性虛頻特性

開環(huán)系統(tǒng)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為0。當(dāng)ω從－∞～＋∞時(shí)，奈氏曲線不包圍(－1，0)點(diǎn)，即R＝0。Z＝P－R＝0－0＝0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，在右半s平面沒有根。。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)如右圖所示。與負(fù)虛軸的交點(diǎn)：令P(ω)=0，可解得

。代入Q(ω)中可解得例5-9系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為沒有極點(diǎn)位于右半s平面，P=0。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。實(shí)頻特性虛頻特性

開環(huán)系統(tǒng)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為0。當(dāng)ω從－∞～＋∞時(shí)，奈氏曲線以順時(shí)針包圍(－1，0)點(diǎn)2圈，即N＝－2。Z＝P－N＝0－(－2)＝2，Z≠0，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，在右半s平面有2個(gè)根。解：。概略繪制開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的極坐標(biāo)如右圖所示。與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)：令Q(ω)=0，可解得

。代入P(ω)中可解得由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種簡(jiǎn)易方法用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，一般只需繪制ω從0到＋∞時(shí)的開環(huán)幅相曲線，再加上正實(shí)軸后形成封閉曲線，然后按其包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N(反時(shí)針方向包圍時(shí)為正，順時(shí)針方向包圍時(shí)為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P，再根據(jù)公式Z＝P－2R確定閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根的個(gè)數(shù)。如果Z＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。如果開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)包含v個(gè)積分環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相曲線后應(yīng)從ω＝0＋對(duì)應(yīng)的點(diǎn)開始，反時(shí)針方向補(bǔ)畫v/4個(gè)半徑為無窮大的圓。但圓隨ω增大的方向是順時(shí)針的。例5-10設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖(a)所示，開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由于系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，需要從幅相曲線ω＝0＋對(duì)應(yīng)的點(diǎn)反時(shí)針補(bǔ)畫1/4個(gè)半徑趨于無窮大的圓，如下圖(b)中虛線部分。由幅相曲線看到曲線沒有包圍(-1,j0)點(diǎn)，故R＝0。又因?yàn)殚_環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上沒有極點(diǎn)，即P＝0，因此閉環(huán)特征方程位于右半s平面上的根的個(gè)數(shù)Z=P-2R=0-2×0＝0故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(a)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線(b)補(bǔ)畫后的系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線例5-11一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為,試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：這是一個(gè)Ⅱ型系統(tǒng)，開環(huán)幅相曲線如下圖(a)所示。圖中虛線是按v＝2從幅相曲線ω＝0＋對(duì)應(yīng)的點(diǎn)反時(shí)針方向補(bǔ)畫的半徑趨于無窮的半圓。由幅相曲線看到，曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，即R＝－1，而開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為0，即P＝0，因此閉環(huán)特征方程在右半s平面上的根的個(gè)數(shù)Z=P-2R=0-2×(-1)＝2故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-12系統(tǒng),解：繪制奈圖如下：P=0,R=-1,Z=P-2R=0-2×（－1）＝2≠0系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，并有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面的右半部。試由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。5.4.1Bode圖的繪制例：一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為求得頻率特性為§5.4系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制

及對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)幅頻特性具有如下特征：1、對(duì)數(shù)幅頻特性是下降的，表明系統(tǒng)具有低通濾波性能；2、對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線的斜率都是的整數(shù)倍，“—”對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)，“+”對(duì)應(yīng)一階和二階微分環(huán)節(jié)；3、最小相位系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性是一一對(duì)應(yīng)，且唯一確定的；4、曲線低頻段的高度和斜率取決于比例環(huán)節(jié)K的大小和積分環(huán)節(jié)的數(shù)目ν;5、只要過(1,20lgK)做斜率為，即可得到低頻段的漸近線；6、轉(zhuǎn)折頻率處，漸近線的斜率發(fā)生變化，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)的種類。繪制步驟：1、將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成典型環(huán)節(jié)乘積的形式，并將這些典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)化成如下所示的標(biāo)準(zhǔn)形式，即各典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)為1。2、確定K值、ν值和各環(huán)節(jié)的交接頻率

并將交接頻率從小到大標(biāo)注在角頻率ω軸上。3、繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。

把ω→0時(shí)的對(duì)數(shù)幅頻特性稱為對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線低頻漸近線的方程為

當(dāng)ω＝1時(shí)，L(1)=20logK(dB)。由此可繪出過ω＝1，L(1)=20logK(dB)點(diǎn)的斜率為－20νdB的一條直線，即為低頻漸近線。4、以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線的斜率

當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率增加＋20dB/dec；當(dāng)遇到一階微分環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率增加＋40dB/dec；當(dāng)遇到慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率增加－20dB/dec；當(dāng)遇到振蕩環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率時(shí)，斜率增加－40dB/dec；5、高頻漸近線，其斜率為n為極點(diǎn)數(shù)，m為零點(diǎn)數(shù)

6、相頻特性按描點(diǎn)的方法繪制。--必要時(shí)可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對(duì)交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正,以求得更精確的曲線。系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)通過0dB線，即

時(shí)的頻率稱為穿越頻率。穿越頻率是開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性的一個(gè)很重要的參量。繪制開環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性時(shí)，可分環(huán)節(jié)繪出各分量的對(duì)數(shù)相頻特性，然后將各分量的縱坐標(biāo)相加，就可以得到系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性。

-也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計(jì)算。不同類型的系統(tǒng)，低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性顯著不同。5.4.2系統(tǒng)類型與開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性1、0型系統(tǒng)

0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式：

對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點(diǎn)：在低頻段，斜率為0dB/十倍頻；低頻段的幅值為20lgK，由之可以確定穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)KP。2、1型系統(tǒng)

1型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式

對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點(diǎn)：

在低頻段的漸進(jìn)線斜率為-20dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0分貝的交點(diǎn)為ωc=K，由之可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)kv=K；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKdB。3、2型系統(tǒng)

2型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性有如下形式

對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻部分如下圖所示

這一特性的特點(diǎn)：

低頻漸進(jìn)線的斜率為-40dB/十倍頻；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）與0分貝的交點(diǎn)為，由之可以確定加速度誤差系數(shù)；低頻漸進(jìn)線（或其延長(zhǎng)線）在ω=1時(shí)的幅值為20lgKdB。例5-14繪制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為的系統(tǒng)Bode圖。解：2、K＝10，ν＝1，交接頻率。3、低頻漸近線的斜率為－20νdB/dec=-20dB/dec。當(dāng)ω＝1時(shí)，L(ω)=20logK＝20dB。即低頻漸近線的斜率為-20，且過點(diǎn)(1，20)。當(dāng)ω＝1時(shí)，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；當(dāng)ω＝2時(shí)，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；φ1、將G(s)中的各因式寫成典型環(huán)節(jié)的標(biāo)準(zhǔn)形式，即當(dāng)ω＝20時(shí)，斜率變?yōu)椋?0dB/dec；4、ω→∞時(shí)，對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為–(n-m)20dB/dec＝－40dB/dec。ω→0時(shí)，φ(0)=-90°；ω→∞時(shí)，φ(∞)=－180°φ則控制系統(tǒng)的Bode圖如下圖所示：例5-15設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為試?yán)L制用分段直線表示的對(duì)數(shù)幅頻特性。K＝10－３，v＝2，各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率:ω1=1/100=0.01，

ω2=1/10=0.1，ω3=1/0.125=8，ω4=1/0.05=20。解：2.低頻漸近線的斜率為－20vdB/dec＝－40dB/dec。當(dāng)ω＝1時(shí)，低頻漸近線的坐標(biāo)，L(1)＝20log10－3＝－60dB，即低頻漸近線過點(diǎn)(1，－60)。3.當(dāng)ω=ω1=0.01時(shí)，斜率變化為0dB/dec；當(dāng)ω=ω2=0.1時(shí)，斜率變化為－20dB/dec；當(dāng)ω=ω3=8時(shí)，斜率變化為－40dB/dec；當(dāng)ω=ω4=20時(shí)，斜率變化為－60dB/dec。這五段直線即是系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻特性。4.由于最小的交接頻率ω＝0.01，分段直線近似表示的第一段只包括ω＜0.01那一部分的低頻漸近線。所以，當(dāng)ω＝1時(shí)，分段直線的縱坐標(biāo)值不等于20logK(但其延長(zhǎng)線的縱坐標(biāo)值在ω＝1時(shí)等于20logK)。ω→∞時(shí)，對(duì)數(shù)頻率特性的高頻漸近線的斜率為

–(n-m)20dB/dec

＝－60dB/dec。近似對(duì)數(shù)幅頻特性如圖所示。1、最小相位傳遞函數(shù)2、非最小相位傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)既無極點(diǎn)也無零點(diǎn)的傳遞函數(shù)在右半s平面內(nèi)有極點(diǎn)和（或）零點(diǎn)的傳遞函數(shù)3、最小相位系統(tǒng)4、非最小相位系統(tǒng)具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng)5.4.3最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例如:最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為式中.則二者的零-極點(diǎn)分布如下圖所示。兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且參見下圖.非最小相位系統(tǒng)

最小相位系統(tǒng)

相同的幅值特性在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位傳遞函數(shù)（系統(tǒng)）的相角范圍，在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍，都大于最小相位傳遞函數(shù)的相角范圍

最小相位系統(tǒng)，幅頻特性和相頻特性之間具有唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅頻曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相頻曲線被唯一確定這個(gè)結(jié)論對(duì)于非最小相位系統(tǒng)不成立。

反之亦然

表5-1最小相位系統(tǒng)幅頻、相頻對(duì)應(yīng)關(guān)系環(huán)節(jié)幅頻相頻-20dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-20dB/dec→0dB/dec→-40dB/dec→0dB/dec→20dB/dec→………………0dB/dec→n·(-20)dB/dec→0dB/dec→m·(+20)dB/dec→根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性漸進(jìn)曲線確定最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的基本步驟：1、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分或微分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)ν和開環(huán)放大倍數(shù)K。特性低頻段的斜率為-20νdB/dec，低頻段或其延長(zhǎng)線在ω=1時(shí)對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)幅值L(ω)=20lgK。2、確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式。從低頻到高頻對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率變化和轉(zhuǎn)折頻率的大小為所含環(huán)節(jié)的類型和參數(shù)(斜率變化-20dB/dec，對(duì)應(yīng)慣性環(huán)節(jié)；斜率變化-40dB/dec對(duì)應(yīng)二階振蕩環(huán)節(jié)；斜率變化20dB/dec，對(duì)應(yīng)比例微分環(huán)節(jié)；斜率變化40dB/dec對(duì)應(yīng)二階微分環(huán)節(jié)。轉(zhuǎn)折頻率ω的倒數(shù)即為時(shí)間常數(shù))。

3、由給定條件確定傳遞函數(shù)的參數(shù)。

例5-17已知開環(huán)系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖所示。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為0，故由特性斜率=-20v=0知，v=0,系統(tǒng)不含一個(gè)積分環(huán)節(jié)，為0型系統(tǒng)。又ω為1時(shí)最左端直線的縱坐標(biāo)為20dB，由式(2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為ω1=1，ω2=2，ω3=4，ω4=10，

當(dāng)ω=ω1=1時(shí)，近似特性從0變?yōu)椋?0dB/dec，故1是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω2=2時(shí)，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。可求得比例環(huán)節(jié)K＝10。當(dāng)ω=ω3=4時(shí)，近似特性從－40dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故4是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。當(dāng)ω=ω4=10時(shí)，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故10也是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為例5-18已知某最小相位系統(tǒng)的近似對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)H(s)。解：(1)曲線的低頻段的漸近線的斜率為-20，故由特性斜率=-20v=-20知，v=1,系統(tǒng)含積分環(huán)節(jié)，為Ⅰ型系統(tǒng)。(2)轉(zhuǎn)折頻率：從圖中可見各轉(zhuǎn)折頻率為

當(dāng)ω=ω1=5時(shí)，近似特性從-20變?yōu)椋?0dB/dec，故5是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω2=10時(shí)，近似特性從－40dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故10是比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω=ω3=120時(shí)，近似特性又從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故120也是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率。ω1=5，ω2=10，ω3=120。綜上可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為且對(duì)數(shù)頻率特性在時(shí)穿越零分貝線，即，精確求得K=106.4，近似取K=100。故系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.4.4對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)例：例5-20一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為，試用對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線如下圖所示。GK(s)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)，故在對(duì)數(shù)相頻曲線ω為0＋處，補(bǔ)畫了0°到－180°的虛線，作為對(duì)數(shù)相頻曲線的一部分。顯見N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1根據(jù)GK(s)表達(dá)式知道，P＝0。由于Z＝P－2N＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。

例5-21一反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)頻率特性如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,P=0。解：因?yàn)棣停?，故如圖中虛線所示在對(duì)數(shù)相頻特性的低頻段曲線上補(bǔ)作0°到－180°的虛線，作為對(duì)數(shù)相頻曲線的一部分。當(dāng)ω＜ωc

時(shí)有L（ω）＞0，且在此頻率范圍內(nèi)，φ（ω）穿越－180°線一次，且為自上向下穿越。顯見N＋＝0，N－＝1。N＝N＋－N－＝－1已知P＝0，Z＝P－2N＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。5.4.5非單位反饋系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析如下圖a所示的非單位反饋系統(tǒng)，可將其閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)寫為：式中，GK(s)＝G(s)H(s)為開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。非單位反饋系統(tǒng)可以看成是傳遞函數(shù)為的環(huán)節(jié)和開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)所組成。如圖b所示。當(dāng)環(huán)節(jié)和單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)都是穩(wěn)定時(shí)，圖a所示的非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。的穩(wěn)定性可由奈氏判據(jù)判別。判別多回路系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，首先應(yīng)判別其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。如上圖所示，內(nèi)環(huán)為非單位反饋時(shí)應(yīng)按上述方法分析。然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)控制系統(tǒng)其余開環(huán)部分在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需多次利用奈氏判據(jù)才能最后確定整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，應(yīng)將其化為可應(yīng)用奈氏判據(jù)的形式，然后再進(jìn)行判別。給定輸入作用下的系統(tǒng)和擾動(dòng)輸入作用下的系統(tǒng)，均可應(yīng)用奈氏判據(jù)。對(duì)于復(fù)合控制系統(tǒng)，只有當(dāng)開環(huán)部分和閉環(huán)部分都是穩(wěn)定的，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。開環(huán)部分的穩(wěn)定性容易判別，閉環(huán)部分的穩(wěn)定性則應(yīng)用奈氏判據(jù)進(jìn)行判別。1.已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L出開環(huán)幅相曲線（奈氏曲線）并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.P188－5－17（3）習(xí)題與作業(yè)§5.5控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.5.1控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性從Nyquist穩(wěn)定判據(jù)可知，若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)沒有右半平面的極點(diǎn)且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高；開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線離(-1,j0)點(diǎn)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低。這就是通常所說的相對(duì)穩(wěn)定性，通過乃氏曲線對(duì)點(diǎn)(-1,j0)的靠近程度來度量，其定量表示為相角裕量和增益裕量Kg。5.5.2增益(幅值)裕量

G(jω)H(jω)曲線與負(fù)實(shí)軸交于g點(diǎn)時(shí)，g點(diǎn)的頻率ωg稱為相位穿越頻率，此時(shí)ωg處的相角為-180°，幅值為|G(jωg)H(jωg)|。定義：開環(huán)頻率特性曲線上，相角等于-180°時(shí)所對(duì)應(yīng)的幅值A(chǔ)(ωg)=|G(jωg)H(jωg)|的倒數(shù)稱為增益(或幅值)裕量，用Kg表示。意義：增益裕量用于表示G(jω)H(jω)曲線在負(fù)實(shí)軸上相對(duì)于(-1,j0)點(diǎn)的靠近程度。表示：

式中ωg滿足∠G(jωg)H(jωg)=-180°增益裕度用分貝數(shù)來表示:

Kg=-20lg|G(jωg)H(jωg)|dB（a）最小相位系統(tǒng)的Nyquist圖（b）對(duì)數(shù)頻率特性應(yīng)用對(duì)于最小相位系統(tǒng)當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|<1或20lg|G(jωg)H(jωg)|<0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|>1或20lg|G(jωg)H(jωg)|>0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)|G(jωg)H(jωg)|=1或20lg|G(jωg)H(jωg)|=0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。結(jié)論增益裕度Kg表示系統(tǒng)到達(dá)臨界狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)增益所允許增大的倍數(shù)。

5.5.3相角裕量意義：為了表示系統(tǒng)相角變化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，引入相角裕量的概念引入ωc：ωc稱增益穿越頻率，也稱剪切頻率或截止頻率，在（a）圖中G(jω)H(jω)與單位圓相交于c點(diǎn)，c點(diǎn)處的頻率為ωc。此時(shí)|G(jωc)H(jωc)|=1定義：使系統(tǒng)達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)，尚可增加的滯后相角，稱為系統(tǒng)的相角裕度或相角裕量，表示為應(yīng)用：相角裕量γ為增益穿越頻率ωc處相角與-180°線之距離。對(duì)于最小相位系統(tǒng)當(dāng)γ＞0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)γ＜0時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定增益裕度和相角裕度通常作為設(shè)計(jì)和分析控制系統(tǒng)的頻域指標(biāo)，如果僅用其中之一都不足以說明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。結(jié)論：欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，需滿足例：某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求相角裕度和幅值裕度，并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如圖所示：由曲線2和3可知，K＝2時(shí)，相角裕度和幅值裕度分別是因?yàn)棣茫?，Lg＞0，故對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。K＝20時(shí)，由曲線1和3看到因?yàn)棣茫?，Kg＜0，故對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。求ωc和相角裕度γ的另一種方法由已知的開環(huán)傳遞函數(shù)得按定義由A(ω)＝1就可以求出ωc來，但系統(tǒng)階數(shù)高時(shí)，由A(ω)＝1求ωc是很麻煩的?？梢圆捎媒铺幚淼霓k法求ωc。由圖可知因1＜ωc＜5，故可取，。則。當(dāng)K＝20時(shí)，。當(dāng)K＝2時(shí)，。知道了ωc后，便可利用如下公式求相角裕度。

當(dāng)K＝20，時(shí)，當(dāng)K＝2，時(shí)，。這種求法有一定的誤差，但此方法在要求不太高的情況下，還是很實(shí)用的。為了獲得滿意的過渡過程，通常要求系統(tǒng)有45°－70°的相角裕度。這可以通過減小開環(huán)增益K的辦法來達(dá)到。但是，減小K一般會(huì)使斜坡輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差變大。因此有必要應(yīng)用校正技術(shù)，使系統(tǒng)兼顧穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程的要求?！?.6

閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性5.6.1閉環(huán)頻率特性和開環(huán)頻率特性的關(guān)系在單位負(fù)反饋系統(tǒng)中，開環(huán)和閉環(huán)頻率特性有如下固定的關(guān)系，即：如果單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如下圖所示，則由圖可知ω＝ω１時(shí)，開環(huán)頻率特性而即

，可用圖解計(jì)算法逐點(diǎn)求得不同頻率對(duì)應(yīng)的閉環(huán)幅值和相角，就可求得閉環(huán)頻率特性。但此方法比較麻煩，在工程上常用等M圓和等N圓圖或尼柯爾斯圖線，直接由單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率特性曲線。5.6.2等M圓圖和等N圓圖如果將函數(shù)G(jω)和Φ(jω)表示成下列形式

式中M(ω)和α(ω)分別為閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻和相頻特性，由式可得將方程兩邊平方，經(jīng)變換得若令M為常數(shù)，上式在G(jω)平面上表示一個(gè)圓。圓心為〔M

2/(1－M2

)，0〕，半徑為｜M

/(1－M

2)｜。在G(jω)平面上，等M軌跡是一簇圓.對(duì)于給定的M值，很容易算出它的圓心和半徑。如下圖所示。等M圓圖由圖可見，M＞1時(shí)，等M圓在P＝－直線的左邊，隨著M的增大，M圓愈來愈小，最后收斂于(－1，j0)。當(dāng)M

＜1時(shí)，等M圓在P＝－直線的右邊，隨著M的減少，M圓愈來愈小，最后收斂于原點(diǎn)。下面求G(jω)平面的等N圓圖因?yàn)樵O(shè)即依三角函數(shù)公式得整理得令N為常數(shù)，上述方程表示半徑，圓心為(-0.5，)的圓。無論N等于多少，P＝Q＝0和P＝－1，Q＝0時(shí)，方程總成立，故每個(gè)圓都過原點(diǎn)和(－1，j0)點(diǎn)。下圖是將α作為參變量的等N圓圖。圖上α

＝60°和α

＝－120°，對(duì)應(yīng)同一等N圓圖，這是因?yàn)閠an60°＝tan(－120°)的原因。

利用等M圖和等N圖，由開環(huán)幅相曲線與等M圓和等N圓交點(diǎn)，可得相應(yīng)頻率的M值和N值，即可得在交點(diǎn)頻率處閉環(huán)頻率特性的幅值和相角。如下圖所示，a和b是畫在等M圓圖和等N圓圖上的開環(huán)幅相曲線，c是求得的閉環(huán)頻率特