2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 第二節(jié) 平面向量的線性運(yùn)算(第一課時(shí))示范教案 新人教A版必修4

2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第二節(jié)平面向量的線性運(yùn)算（第一課時(shí)）示范教案新人教A版必修4教學(xué)分析《向量》這一章是前一輪教材中新增的內(nèi)容．高考考綱有明確說明，同時(shí)新課標(biāo)也提出向量是數(shù)學(xué)的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在兩個(gè)方面：①向量的基本概念和基本運(yùn)算；②向量作為工具的應(yīng)用．另外，在今后學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的三角形式與向量形式時(shí)，還要用到向量的有關(guān)知識及思想方法，向量也是將來學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)以及力學(xué)、電學(xué)等學(xué)科的重要工具．教材的第2.1節(jié)通過物理實(shí)例引入了向量的概念，介紹了向量的模、相等的向量、單位向量、零向量以及平行向量等基本概念．而本節(jié)課是繼向量基本概念的第一節(jié)課．向量的加法是向量的第一運(yùn)算，是最基本、最重要的運(yùn)算，是學(xué)習(xí)向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)．它在本單元的教學(xué)中起著承前啟后的作用，同時(shí)它在實(shí)際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用．正如第二章的引言中所說：如果沒有運(yùn)算，向量只是一個(gè)“路標(biāo)”，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限．學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在高一學(xué)習(xí)物理中的位移和力等知識時(shí)，已初步了解了矢量的合成，而物理學(xué)中的矢量相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的向量，這為學(xué)生學(xué)習(xí)向量知識提供了實(shí)際背景．設(shè)計(jì)理念教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)．學(xué)是中心，會學(xué)是目的．因此，在教學(xué)中要不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)．在教學(xué)過程中，從教材和學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，按照學(xué)生認(rèn)知活動的規(guī)律，精練、系統(tǒng)、生動地講授知識，發(fā)展學(xué)生的智能，陶冶學(xué)生的道德情操；要充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，運(yùn)用各種教學(xué)手段，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和積極性，啟發(fā)學(xué)生開展積極的思維活動，通過比較、分析、抽象、概括，得出結(jié)論；進(jìn)一步理解、掌握和運(yùn)用知識，從而使學(xué)生的智力、能力和其他心理品質(zhì)得到發(fā)展．教學(xué)目標(biāo)根據(jù)新課標(biāo)的要求：培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題，本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問題聯(lián)系緊密，更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識．集本節(jié)教材的特點(diǎn)和高一學(xué)生對矢量的認(rèn)知特點(diǎn)，我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：1．理解向量加法的意義，掌握向量加法的幾何表示法，理解向量加法的運(yùn)算律．2．理解和體驗(yàn)實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)概念的過程和思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識．3．培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力．4．進(jìn)行辯證唯物主義思想教育、數(shù)學(xué)審美教育，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：兩個(gè)向量的和的概念及其幾何意義．(兩個(gè)向量的和的概念是向量加法的基礎(chǔ)，而向量加法是向量運(yùn)算的基礎(chǔ)．向量的線性運(yùn)算的另一個(gè)特點(diǎn)是它有深刻的物理背景和幾何意義，因此在引入一種向量運(yùn)算后，總是要考查一下它的幾何意義，正因?yàn)橄蛄康膸缀我饬x，使得向量在解決幾何問題時(shí)可以發(fā)揮很好的作用．)2．教學(xué)難點(diǎn)：向量加法的運(yùn)算律．(設(shè)計(jì)讓學(xué)生先猜想后驗(yàn)證來學(xué)習(xí)運(yùn)算律，需要利用類比的思想進(jìn)行猜測，還要在猜測的基礎(chǔ)上加以驗(yàn)證，有一定難度．)導(dǎo)入新課(約5分鐘)引例：有兩條拖輪牽引一艘輪船，它們的牽引力分別是F1＝3000牛，F(xiàn)2＝2000牛，牽繩之間的夾角θ＝60°.如果只用一條拖輪來牽引，而產(chǎn)生的效果跟原來的相同，試求出這條拖輪的牽引力的大小和方向．圖1在物理中，我們已知道，兩個(gè)不在一條直線的共點(diǎn)力與的合力是以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線所表示的力．這就是說，是與相加所得到的和．設(shè)計(jì)說明引導(dǎo)學(xué)生利用物理中合力的概念，來解決這個(gè)實(shí)際問題，以現(xiàn)有的知識為出發(fā)點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的知識類比、遷移能力．學(xué)情預(yù)設(shè)把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)概念是學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)．(約5分鐘)一般地，把以、為鄰邊的平行四邊形OACB的對角線，叫做與兩個(gè)向量的和，記作＋.求兩個(gè)不平行向量的和可按平行四邊形法則進(jìn)行．問題1：如何求兩個(gè)平行向量的和向量？問題2：任意一個(gè)向量與一個(gè)零向量的和是什么？求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算叫做向量的加法．設(shè)計(jì)說明補(bǔ)充說明兩個(gè)向量和的概念，同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)分類的思想．(約15分鐘)練習(xí)：根據(jù)圖2中所給向量a，b，c畫出向量：(1)a＋b；(2)a＋b＋c.圖2解法一：將兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，應(yīng)用平行四邊形法則畫出兩個(gè)向量的和向量．解法二：將一個(gè)向量的起點(diǎn)與另一向量的終點(diǎn)重合，也可以畫出兩個(gè)向量的和向量．設(shè)計(jì)說明1．學(xué)生通過練習(xí)題(1)可加深對向量加法概念的理解．另外，可由此引出向量加法的三角形法則．圖32．通過對比的方式讓學(xué)生了解向量的加法既可以按照平行四邊形法則進(jìn)行，也可以按照三角形法則進(jìn)行．在向量加法運(yùn)算中，通過向量的平移使兩個(gè)向量首尾相接，可使用三角形法則．引申：求n(n>3)個(gè)向量的和向量．設(shè)計(jì)說明求n(n>3)個(gè)向量的和向量時(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會應(yīng)用首尾相接的三角形法則的優(yōu)越性．學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)生對從特殊到一般的理解較抽象．結(jié)論：求n個(gè)向量的和向量可應(yīng)用多邊形法則．運(yùn)算律的歸納問題：向量的加法既然是一種運(yùn)算，它應(yīng)該具有哪些運(yùn)算律？如何進(jìn)行驗(yàn)證呢？設(shè)計(jì)說明引導(dǎo)學(xué)生類比實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律，得出向量加法的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的類比、遷移歸納能力．(約10分鐘)(1)已知平面內(nèi)有三個(gè)非零向量、、，它們的模都相等，并且兩兩的夾角都是120°，求證：＋＋＝0；(2)在平面內(nèi)能否構(gòu)造三個(gè)非零向量a、b、c，使a＋b＋c＝0；(3)能否說出(2)的實(shí)際模型？設(shè)計(jì)說明題(1)是基本的例題；題(2)是題(1)的拓展；題(3)能體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的思想．(約5分鐘)已知a、b是非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|有什么關(guān)系？設(shè)計(jì)說明設(shè)置這一研討題可以將本節(jié)課與上節(jié)課的知識聯(lián)系起來，并進(jìn)一步滲透分類的思想．(約4分鐘)讓學(xué)生自主回顧和歸納本節(jié)的內(nèi)容．設(shè)計(jì)說明1．向量加法的意義；2.理解實(shí)際問題數(shù)學(xué)化的思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識；3.理解分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)類比、遷移等能力．學(xué)情預(yù)設(shè)要求學(xué)生不僅對知識體系進(jìn)行歸納，還要對本節(jié)課中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)能力進(jìn)行總結(jié)，有一定的難度．(約1分鐘)課本本節(jié)練習(xí)1,2,3,4.設(shè)計(jì)說明1．鞏固所學(xué)的內(nèi)容.2.對所學(xué)內(nèi)容的檢測、反饋與及時(shí)補(bǔ)充不足．本節(jié)課采用“探究——討論”教學(xué)法．“探究——研討”教學(xué)法是美國哈佛大學(xué)教育專家蘭本達(dá)所倡導(dǎo)的．“探究——研討”教學(xué)法把教學(xué)過程分為兩個(gè)步驟：第一步驟是“探究”．我所設(shè)計(jì)的問題引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法，將有關(guān)材料有層次地提供給學(xué)生，讓學(xué)生獨(dú)立地支配它，進(jìn)而探索、研究它．學(xué)生通過對這些“有結(jié)構(gòu)”的材料進(jìn)行探究，獲得對向量加法的感性認(rèn)識和形成各自對向量加法概念的了解．第二步驟是“研討”，即在探究的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生研討自己在探究中的發(fā)現(xiàn)，通過互相交流、啟發(fā)、補(bǔ)充、爭論，使學(xué)生對向量加法的認(rèn)識從感性的認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，獲得一定水平層次的科學(xué)概念．這節(jié)課主要是教給學(xué)生“動手做，動腦想；多訓(xùn)練，勤鉆研．”的研討式學(xué)習(xí)方法．這樣做，增加了學(xué)生主動參與的機(jī)會，增強(qiáng)了參與意識，教給學(xué)生獲取知識的途徑和思考問題的方法．使學(xué)生真正成為教學(xué)的主體．也只有這樣做，才能使學(xué)生“學(xué)”有新“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”．學(xué)生才會逐步感到數(shù)學(xué)的美，會產(chǎn)生一種成功感，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；也只有這樣做，才能適應(yīng)素質(zhì)教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要．2019-2020年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量第二節(jié)平面向量的線性運(yùn)算（第三課時(shí)）示范教案新人教A版必修4教學(xué)分析向量的數(shù)乘運(yùn)算，其實(shí)是加法運(yùn)算的推廣及簡化，與加法、減法統(tǒng)稱為向量的三大線性運(yùn)算．教學(xué)時(shí)從加法入手，引入數(shù)乘運(yùn)算，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．實(shí)數(shù)與向量的乘積，仍然是一個(gè)向量，既有大小，也有方向．特別是方向與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理．共線向量定理是本章節(jié)中重要的內(nèi)容，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，且容易出錯(cuò)．尤其是定理的前提條件：向量a是非零向量．共線向量定理的應(yīng)用主要用于證明點(diǎn)共線或平行等幾何性質(zhì)，且與后續(xù)的知識有著緊密的聯(lián)系．三維目標(biāo)1．通過經(jīng)歷探究數(shù)乘運(yùn)算法則及幾何意義的過程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律．2．理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判定兩向量是否平行．3．通過探究，體會類比遷移的思想方法，滲透研究新問題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)取精神．通過解決具體問題，體會數(shù)學(xué)在生活中的重要作用．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.實(shí)數(shù)與向量積的意義.2.實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律.3.兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用．教學(xué)難點(diǎn)：對向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用．課時(shí)安排1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.前面兩節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了向量加減法運(yùn)算，這一節(jié)，我們將在加法運(yùn)算基礎(chǔ)上研究相同向量和的簡便計(jì)算及推廣．在代數(shù)運(yùn)算中，a＋a＋a＝3a，故實(shí)數(shù)乘法可以看成是相同實(shí)數(shù)加法的簡便計(jì)算方法，那么相同向量的求和運(yùn)算是否也有類似的簡便計(jì)算．思路2.一物體做勻速直線運(yùn)動，一秒鐘的位移對應(yīng)的向量為a，那么在同一方向上3秒鐘的位移對應(yīng)的向量怎樣表示？是3a嗎？怎樣用圖形表示？由此展開新課．推進(jìn)新課①已知非零向量a，試一試作出a＋a＋a和－a＋－a＋－a.②你能對你的探究結(jié)果作出解釋，并說明它們的幾何意義嗎？③引入向量數(shù)乘運(yùn)算后，你能發(fā)現(xiàn)數(shù)乘向量與原向量之間的位置關(guān)系嗎？怎樣理解兩向量平行？與兩直線平行有什么異同？活動：引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)知識并猜想結(jié)果，對于運(yùn)算律的驗(yàn)證，點(diǎn)撥學(xué)生通過作圖來進(jìn)行．通過學(xué)生的動手作圖，讓學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律及其幾何意義．教師要引導(dǎo)學(xué)生特別注意0·a＝0，而不是0·a＝0.這個(gè)零向量是一個(gè)特殊的向量，它似乎很不起眼，但又處處存在，稍不注意就會出錯(cuò)，所以要引導(dǎo)學(xué)生正確理解和處理零向量與非零向量之間的關(guān)系．實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加、減運(yùn)算，比如λ＋a，λ－a都無法進(jìn)行．向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是數(shù)乘運(yùn)算的分配律有兩種不同的形式：(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a＋b)＝λa＋λb，數(shù)乘運(yùn)算的關(guān)鍵是等式兩邊向量的模相等，方向相同．判斷兩個(gè)向量是否平行(共線)，實(shí)際上就是看能否找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)實(shí)數(shù)乘以其中一個(gè)向量等于另一個(gè)向量．一定要切實(shí)理解兩向量共線的條件，它是證明幾何中的三點(diǎn)共線和兩直線平行等問題的有效手段．對問題①，學(xué)生通過作圖1可發(fā)現(xiàn)，＝＋＋＝a＋a＋a.類似數(shù)的乘法，可把a(bǔ)＋a＋a記作3a，即＝3a.顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|.同樣，由圖1可知，圖1＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，即(－a)＋(－a)＋(－a)＝3(－a)．顯然3(－a)的方向與a的方向相反，3(－a)的長度是a的長度的3倍，這樣，3(－a)＝－3a.對問題②，上述過程推廣后即為實(shí)數(shù)與向量的積．我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反．由(1)可知，λ＝0時(shí)，λa＝0.根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們可以驗(yàn)證下面的運(yùn)算律．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么1λμa＝λμa；2λ＋μa＝λa＋μa；3λa＋b＝λa＋λb.特別地，我們有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.對問題③，向量共線的等價(jià)條件是：如果a(a≠0)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.推證過程教師可引導(dǎo)學(xué)生自己完成，推證過程如下：對于向量a(a≠0)、b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，那么由向量數(shù)乘的定義，知a與b共線．反過來，已知向量a與b共線，a≠0，且向量b的長度是向量a的長度的μ倍，即|b|＝μ|a|，那么當(dāng)a與b同方向時(shí)，有b＝μa；當(dāng)a與b反方向時(shí)，有b＝－μa.關(guān)于向量共線的條件，教師要點(diǎn)撥學(xué)生作進(jìn)一步深層探究，讓學(xué)生思考，若去掉a≠0這一條件，上述條件成立嗎？其目的是通過0與任意向量的平行來加深對向量共線的等價(jià)條件的認(rèn)識．在判斷兩個(gè)非零向量是否共線時(shí)，只需看這兩個(gè)向量的方向是否相同或相反即可，與這兩個(gè)向量的長度無關(guān)．在沒有指明非零向量的情況下，共線向量可能有以下幾種情況：(1)有一個(gè)為零向量；(2)兩個(gè)都為零向量；(3)同向且模相等；(4)同向且模不等；(5)反向且模相等；(6)反向且模不等．討論結(jié)果：①數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|λ|·|a|確定．②它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮?。巯蛄康钠叫信c直線的平行是不同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒有交點(diǎn)的情況，又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的情形．思路1例1計(jì)算：(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)．活動：本例是數(shù)乘運(yùn)算的簡單應(yīng)用，可讓學(xué)生自己完成，要求學(xué)生熟練運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律．教學(xué)中，點(diǎn)撥學(xué)生不能將本題看作字母的代數(shù)運(yùn)算，可以讓他們在代數(shù)運(yùn)算的同時(shí)說出其幾何意義，使學(xué)生明確向量數(shù)乘運(yùn)算的特點(diǎn)．同時(shí)向?qū)W生點(diǎn)出，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.解：(1)原式＝(－3×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.點(diǎn)評：運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)算律，解決向量的數(shù)乘．其運(yùn)算過程可以仿照多項(xiàng)式運(yùn)算中的“合并同類項(xiàng)”.變式訓(xùn)練若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.解：∵3m＋2n＝a，①m－3n＝b.②3×②得3m－9n＝3b.③①－③得11n＝a－3b.∴n＝a－b.④將④代入②，有m＝b＋3n＝a＋b.點(diǎn)評：此題可把已知條件看作向量m、n的方程，通過方程組的求解獲得m、n.在此題求解過程中，利用了實(shí)數(shù)與向量的積以及它所滿足的交換律、結(jié)合律，從而解向量的二元一次方程組的方法與解實(shí)數(shù)的二元一次方程組的方法一致.例2如圖2，已知任意兩個(gè)非零向量a、b，試作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？圖2活動：本例給出了利用向量共線判斷三點(diǎn)共線的方法，這是判斷三點(diǎn)共線常用的方法．教學(xué)中可以先引導(dǎo)學(xué)生作圖，通過觀察圖形得到A，B，C三點(diǎn)共線的猜想，再將平面幾何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線．本題只要引導(dǎo)學(xué)生理清思路，具體過程可由學(xué)生自己完成．另外，本題是一個(gè)很好的與信息技術(shù)整合的題材，教學(xué)中可以通過計(jì)算機(jī)作圖，進(jìn)行動態(tài)演示，揭示向量a、b變化過程中，A、B、C三點(diǎn)始終在同一條直線上的規(guī)律．解：如圖3，分別作向量、、，過點(diǎn)A、C作直線AC.觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量a、b怎樣變化，點(diǎn)B始終在直線AC上，猜想A、B、C三點(diǎn)共線．圖3事實(shí)上，因?yàn)椋剑絘＋2b－(a＋b)＝b，而＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，于是＝2.所以A、B、C三點(diǎn)共線．點(diǎn)評：關(guān)于三點(diǎn)共線問題，學(xué)生接觸較多，這里是用向量證明三點(diǎn)共線，方法是必須先證明兩個(gè)向量共線，并且有公共點(diǎn)．教師引導(dǎo)學(xué)生解完后進(jìn)行反思，體會向量證法的新穎獨(dú)特．例3如圖4，ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且＝a，＝b，你能用a、b表示、、和嗎？圖4活動：本例的解答要用到平行四邊形的性質(zhì)．另外，用向量表示幾何元素(點(diǎn)、線段等)是用向量方法證明幾何問題的重要步驟，教學(xué)中可以給學(xué)生明確指出這一點(diǎn)．解：在ABCD中，∵＝＋＝a＋b，＝－＝a－b，又∵平行四邊形的兩條對角線互相平分，∴＝－＝－(a＋b)＝－a－b，＝＝(a－b)＝a－b，＝＝a＋b，＝－＝－＝－a＋b.點(diǎn)評：結(jié)合向量加法和減法的平行四邊形法則和三角形法則，將兩個(gè)向量的和或差表示出來，這是解決這類幾何題的關(guān)鍵．思路2例1凸四邊形ABCD的邊AD、BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：＝(＋)．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，能否構(gòu)造三角形，使EF作為三角形中位線，借助于三角形中位線定理解決，或創(chuàng)造相同起點(diǎn)，以建立向量間關(guān)系．鼓勵(lì)學(xué)生多角度觀察思考問題．證法一：過點(diǎn)C在平面內(nèi)作＝，則四邊形ABGC是平行四邊形，故F為AG中點(diǎn)．(如圖5)圖5∴EF是△ADG的中位線．∴EF綊DG.∴＝.而＝＋＝＋，∴＝(＋)．證法二：如圖6，連接EB、EC，則有＝＋，＝＋，圖6又∵E是AD的中點(diǎn)，∴＋＝0，即有＋＝＋.以與為鄰邊作?EBGC，則由F是BC的中點(diǎn)，可得F也是EG的中點(diǎn)．∴＝＝(＋)＝(＋)．點(diǎn)評：向量的運(yùn)算主要從以下幾個(gè)方面加強(qiáng)練習(xí)：(1)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，畫出草圖幫助解決問題；(2)加強(qiáng)三角形法則和平行四邊形法則的運(yùn)用練習(xí)，做到準(zhǔn)確熟練運(yùn)用．例2已知和是不共線向量，＝t(t∈R)，試用、表示.活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，由＝t(t∈R)知A、B、P三點(diǎn)共線，而＝＋，然后以表示，進(jìn)而建立，的聯(lián)系．本題可讓學(xué)生自己解決，教師適時(shí)點(diǎn)撥．解：＝＋＝＋t·＝＋t·(－)＝(1－t)·＋t·.點(diǎn)評：靈活運(yùn)用向量共線的條件．若令1－t＝m，t＝n，則＝m·＋n·，m＋n＝1.變式訓(xùn)練1．設(shè)兩個(gè)不共線的向量e1、e2，若向量a＝2e1－3e2，向量b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實(shí)數(shù)λ、μ，使向量d＝λa＋μb與向量c共線？解：d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實(shí)數(shù)k使d＝kc，即(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2＝2ke1－9ke2.由2λ＋2μ＝2k及3μ－3λ＝－9k得λ＝－2μ.故存在這樣的實(shí)數(shù)λ和μ，只要λ＝－2μ就能使d與c共線．2．若非零向量a、b滿足|a＋b|＝|b|，則()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C3．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若＝2，＝＋λ，則λ等于()A.B.C．－D．－答案：A本節(jié)練習(xí)解答：1．圖略．2.＝，＝－.點(diǎn)評：本題可先畫一個(gè)示意圖，根據(jù)圖形容易得出正確答案．值得注意的是與反向．3．(1)b＝2a；(2)b＝－a；(3)b＝－a；(4)b＝a.4．(1)共線；(2)共線．5．(1)3a－2b；(2)－a＋b；(3)2ya.6．圖略．1．讓學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：向量的數(shù)乘運(yùn)算法則，向量的數(shù)乘運(yùn)算律，向量共線的條件，體會本節(jié)學(xué)習(xí)中用到的思想方法：特殊到一般，歸納、猜想、類比，分類討論，等價(jià)轉(zhuǎn)化．2．向量及其運(yùn)算與數(shù)及其運(yùn)算可以類比，這種類比是我們提高思想性的有效手段，在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)予以充分的重視，它是我們學(xué)習(xí)中偉大的引路人．課本習(xí)題2.2

A組題11、12.1．本教案的設(shè)計(jì)流程符合新課程理念，充分抓住本節(jié)教學(xué)中的學(xué)生探究、猜想、推證等活動，引導(dǎo)學(xué)生畫出草圖幫助理解題意和解決問題．先由學(xué)生探究向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量(特別地0·a＝0)，它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或縮小，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a方向相反；向量共線定理用來判斷兩個(gè)向量是否共線．然后對所探究的結(jié)果進(jìn)行運(yùn)用拓展．2．向量具有的幾何形式和代數(shù)形式的雙重身份在本節(jié)中得以充分體現(xiàn)，因而成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)交匯點(diǎn)，由此可看出在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的重要地位，也成為近幾年各地高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對平面向量中有關(guān)知識要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理．一、向量的數(shù)乘運(yùn)算律的證明設(shè)a、b為任意向量，λ、μ為任意實(shí)數(shù)，則有(1)λ(μa)＝(λμ)a；

①(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；

②(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

③證明：(1)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則①式顯然成立．如果λ≠0，μ≠0，且a≠0，則根據(jù)向量數(shù)乘的定義，有|λ(μa)|＝|λ||μa|＝|λ||μ||a|，|(λμ)a|＝|λμ||a|＝|λ||μ||a|.所以|λ(μa)|＝|(λμ)a|.如果λ、μ同號，則①式兩邊向量的方向都與a同向；如果λ、μ異號，則①式兩邊向量的方向都與a反向．因此，向量λ(μa)與(λμ)a有相等的模和相同的方向，所以這兩個(gè)向量相等．(2)如果λ＝0或μ＝0或a＝0，則②顯然成立．如果λ≠0，μ≠0且a≠0，可分如下兩種情況：當(dāng)λ、μ同號時(shí)，則λa和μa同向，所以|(λ＋μ)a|＝|λ＋μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，|λa＋μa|＝|λa|＋|μa|＝|λ||a|＋|μ||a|＝(|λ|＋|μ|)|a|，即有|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.由λ、μ同號，知②式兩邊向量的方向或都與a同向，或都與a反向，即②式兩邊向量的方向相同．綜上所述，②式成立．如果λ、μ異號，當(dāng)λ>μ時(shí)，②式兩邊向量的方向都與λa的方向相同；當(dāng)λ<μ時(shí)，②式兩邊向量的方向都與μa的方向相同．還可證|(λ＋μ)a|＝|λa＋μa|.因此②式也成立．(3)當(dāng)a＝0，b＝0中至少有一個(gè)成立，或λ＝0，λ＝1時(shí)，③式顯然成立.當(dāng)a≠0，b≠0且λ≠0，λ≠1時(shí)，可分如下兩種情況：當(dāng)λ>0且λ≠1時(shí)如圖7，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O作＝a，＝b，＝λa，＝λb，則＝a＋b，＝λa＋λb.圖7由作法知∥，有∠OAB＝∠OA1B1，||＝λ||.所以＝＝λ.所以△AOB∽△A1OB1.所以＝λ，∠AOB＝∠A1OB1.因此O、B、B1在同一條直線上，||＝|λ|，與λ的方向也相同．所以λ(a＋b)＝λa＋λb.當(dāng)λ<0時(shí)，由圖8可類似證明λ(a＋b)＝λa＋λb.圖8所以③式也成立．二、備用習(xí)題1.[(2a＋