初、高中數(shù)學(xué)銜接

初、高中數(shù)學(xué)銜接

問題研究連春興我準(zhǔn)備與大家交流三個(gè)問題：一、初高中不銜接原因分析二、數(shù)學(xué)后進(jìn)生成因分析三、初中教師應(yīng)該具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一、初高中不銜接原因分析高一新生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，大量產(chǎn)生高一數(shù)學(xué)差生，兩極分化嚴(yán)重，這是一個(gè)長(zhǎng)期困擾教師的問題.經(jīng)過我多年的觀察，它涉及的因素很多，現(xiàn)羅列幾個(gè)，不全、不對(duì)處請(qǐng)各位老師指正。1不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀經(jīng)過初中三年、特別是中考前的強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生普遍認(rèn)為，數(shù)學(xué)由公式、概念、定理組成，背好公式，大量做題就行了.而對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)背后所蘊(yùn)含的思想方法，如函數(shù)與方程、劃歸、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)思想，知之甚少。如用一個(gè)定長(zhǎng)的鐵絲做一個(gè)矩形，邊長(zhǎng)多少時(shí)，面積最大？把函數(shù)思想方法分解：定一個(gè)邊長(zhǎng)，得一個(gè)面積----對(duì)應(yīng)思想；用解析式刻畫-------建模思想；配方求最大值-------優(yōu)化思想；有沒有最小值-------極限思想。如果這個(gè)過程，被一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式所替代-----學(xué)生絕對(duì)不會(huì)去欣賞數(shù)學(xué)，也不會(huì)解決了這個(gè)問題后，驕傲的認(rèn)為自己能力的精進(jìn)，一定把數(shù)學(xué)看成是公式的組合，自己只不過是套了一步公式而已。2不良習(xí)慣有一批學(xué)生認(rèn)為，自己在初中時(shí)，初一、二雖然沒好好念，初三最后幾個(gè)月拼一把，就考上了高中。讀高中不過如此，高三再下功夫。結(jié)果因?yàn)槌?、高中課堂知識(shí)容量、難度等方面的差異，想法落空。這從一個(gè)角度反映出初中吃不飽，高中吃不了問題嚴(yán)重。3初高中數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)思維水平的要求差異初中：抽象思維水平以“經(jīng)驗(yàn)型”占主導(dǎo)；高一：抽象思維水平從“經(jīng)驗(yàn)型”占主導(dǎo)，逐步過渡、發(fā)展到“理論型”占主導(dǎo)。主要表現(xiàn)在邏輯思維、空間想象、符號(hào)系統(tǒng)的準(zhǔn)確運(yùn)用等。高中數(shù)學(xué)相比初中數(shù)學(xué)，對(duì)同學(xué)們理性思維水平的要求，可謂爬了一個(gè)“陡坡”。思維水平的神奇發(fā)展，不是天上掉下來的，需要“客觀”的引導(dǎo)，更需要“主觀”的努力，相當(dāng)一部分學(xué)生過渡的不好。學(xué)習(xí)困難集中表現(xiàn)在高一數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上。4初高中學(xué)習(xí)環(huán)境的差異高中是非義務(wù)教育階段，教師的管理一般沒有初中老師“細(xì)”，更多時(shí)候靠自覺，靠學(xué)習(xí)主動(dòng)性。初中課堂教學(xué)一般知識(shí)容量小，有時(shí)間重復(fù)練習(xí)，所以，對(duì)不理解的知識(shí)依靠記憶、模仿訓(xùn)練，可以過關(guān)。學(xué)高中數(shù)學(xué)雖然還離不開記憶與模仿，但更需要“深入理解”。升入高一后，課堂教學(xué)容量、知識(shí)難度，與初中教學(xué)相比，是一個(gè)大的飛躍。一方面，重復(fù)練習(xí)時(shí)間比初中少；另一方面，即使重復(fù)練習(xí)也不如初中管用。由此導(dǎo)致許多同學(xué)不適應(yīng)。我們把“用結(jié)論”喻為“打槍”，把“推導(dǎo)結(jié)論”喻為“造槍”，在初中階段，如果學(xué)習(xí)標(biāo)準(zhǔn)不高，憑著會(huì)“打槍”，也許能考一個(gè)過得去的成績(jī)。但要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，能熟練的“打槍”固然重要，更需要的卻是富于創(chuàng)意的“造槍”。譬如配方法，在用它造出“一元二次方程求根公式”和“二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式”這兩把“槍”后，學(xué)生就把關(guān)注點(diǎn)放在了“打槍”上，卻把“造槍過程”束之高閣了。而高中則必然，“造槍”能力的考查比比皆是。運(yùn)用該定理如何“造槍”？5初高中技能要求的差異如十字相乘方法因式分解；運(yùn)用韋達(dá)定理解決問題；等。二、數(shù)學(xué)后進(jìn)生成因分析高一出現(xiàn)大量后進(jìn)生，固然有上述主觀與客觀方面的原因。但在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，一個(gè)學(xué)生，從上小學(xué)到高中十年，即使不在初高中銜接階段，也有許多學(xué)習(xí)后進(jìn)生出現(xiàn)。這些后進(jìn)生，我們可以說出許多差，如：學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差------

很多學(xué)習(xí)新知需要的知識(shí)是空白；解題技能差-------簡(jiǎn)單問題不知從哪里下手；學(xué)習(xí)方法差--------不會(huì)聽課，不會(huì)問問題；學(xué)習(xí)習(xí)慣差------貪玩，不愛動(dòng)腦筋，不及時(shí)寫作業(yè)…；等等。其實(shí)，對(duì)一個(gè)有良好學(xué)習(xí)愿望的同學(xué)來說，他核心的差應(yīng)該表現(xiàn)在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)理解不到位而產(chǎn)生的思維活動(dòng)的盲目性上，即“不會(huì)想”。在數(shù)學(xué)差生形成過程中，我們往往：采取“補(bǔ)課”，希望解決學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差；通過大量“練題”，希望解決解題技能差；但這樣的補(bǔ)課有一個(gè)致命的弊端，就是“強(qiáng)化技能，忽視理解”（社會(huì)上各種“強(qiáng)化班”大多沒有擺脫這個(gè)弊端）。

我們?cè)诮虒W(xué)中，如果不能糾正“強(qiáng)化技能，忽視理解”的教學(xué)弊端，就難以解決學(xué)生“不會(huì)想”的問題。下面通過一組題目對(duì)學(xué)生“程序性操作水平與理解層次”的考查，看解題教學(xué)中，如何讓學(xué)生在親身參與，學(xué)會(huì)思考。三、初中教師應(yīng)該具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大家都知道教書的“一杯水”與“一桶水”的關(guān)系，要教會(huì)學(xué)生“想”，如何積累“一桶水”？在初高中銜接的困難中，來自代數(shù)方面的困難更嚴(yán)重，所以，我就幾個(gè)代數(shù)問題談?wù)勎业睦斫狻?．如何認(rèn)識(shí)字母表示數(shù)？其實(shí)，字母表示數(shù)還有兩個(gè)重要作用：其一，設(shè)而必求----設(shè)未知數(shù)，尋求等量關(guān)系，列方程，求未知數(shù)；其二，設(shè)而不求----為方便，設(shè)未知數(shù)表示某些量，最終的求解與未知數(shù)無關(guān)。本題如何解決才是合理的教學(xué)過程？那就是，應(yīng)該把“用字母表示數(shù)”當(dāng)成策略性知識(shí)來教。什么是平均速度？是（10+15）/2嗎？非，應(yīng)為“行駛總路程÷行駛總時(shí)間”.那么它們總路程、總時(shí)間如何表示？“用字母表示數(shù)”又成無奈中被迫選擇的策略，因?yàn)橹挥性O(shè)出單程，才能表示時(shí)間。教學(xué)中要注意挖掘數(shù)學(xué)的美育元素，觀察不難發(fā)現(xiàn)“a”在功成后隱退，不留名份的情操時(shí)，則對(duì)“用字母表示數(shù)”的解題策略理解更深刻，更樂于運(yùn)用，甚至體會(huì)到“用字母表示數(shù)”的優(yōu)越，生成對(duì)知識(shí)、策略初步的評(píng)價(jià)意識(shí)。2．如何認(rèn)識(shí)數(shù)軸與平面直角坐標(biāo)系？從功能看它們的核心作用在于給一維、二維空間的點(diǎn)定位，為解析幾何奠基；從數(shù)學(xué)發(fā)展的需求看，當(dāng)數(shù)字較少時(shí)（如只有正整數(shù)時(shí)）把數(shù)串起來的作用、意義不明顯。但初一學(xué)了有理數(shù)以后，把數(shù)找一個(gè)從小到大的模型串起來，就很直觀方便，類似于“糖葫蘆”，好拿、好看、好吃。從高中學(xué)習(xí)的需求看，如果學(xué)生情況容許，解決下面問題對(duì)高中進(jìn)一步學(xué)習(xí)是有益的。例2（1）在平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，3）,另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，y），這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)軌跡是什么？是否有公共點(diǎn)？如有坐標(biāo)是什么？（2）在平面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)總相等，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)總相反呢？3．如何認(rèn)識(shí)“絕對(duì)值”把“絕對(duì)值”和“距離”聯(lián)系起來，不僅直觀解決了絕對(duì)值非負(fù)的問題，還使后續(xù)學(xué)習(xí)深深受益，解決如下問題易如反掌。例3.（1）求函數(shù)y=︱x-2︱的最小值；（2）若︱x+2︱+︱x-3︱是常數(shù)，求x的取值范圍。（3）若A(a,3),B(b,3),求AB長(zhǎng)。4.如何認(rèn)識(shí)無理數(shù)無理數(shù)是超越現(xiàn)實(shí)的理性思維的產(chǎn)物，古希臘有一個(gè)著名的數(shù)學(xué)學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，任何線段的長(zhǎng)度都可以用兩個(gè)整數(shù)的商表示出來，但他的學(xué)生希帕蘇斯卻發(fā)現(xiàn)了正方形的對(duì)角線是個(gè)例外。課堂上，我們不可能重復(fù)前人的發(fā)現(xiàn)，但我們可以在無理數(shù)的教學(xué)中，滲透理性精神。（5）這樣的數(shù)如此之多，有必要分成一類。如果把有限小數(shù)(循環(huán)節(jié)為0)和無限循環(huán)小數(shù)都視為無限循環(huán)小數(shù)，那么我們學(xué)過的數(shù)就可分為兩類：我們既然稱無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，就可稱無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，它們統(tǒng)稱實(shí)數(shù)。有了實(shí)數(shù)，才建立了數(shù)軸上任意點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)，否則數(shù)軸千瘡百孔。5.如何認(rèn)識(shí)比例與方程組6.如何認(rèn)識(shí)因式分解把代數(shù)式“和差化積”，是乘法的逆向變形，其主要目的有二：（1）約分、化簡(jiǎn)；（加減法不能約分）（2）解方程，找函數(shù)零點(diǎn)。從目的不難看出因式分解的的重要，特別是分解二次三項(xiàng)式，不論教材、課標(biāo)如何定位，高中數(shù)學(xué)絕對(duì)離不開。建議分兩個(gè)層次掌握十字相乘方法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd7.如何認(rèn)識(shí)一元二次方程的判別式8.如何認(rèn)識(shí)韋達(dá)定理(1)對(duì)稱與和諧挖掘數(shù)學(xué)美感，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)美育熏陶的重要舉措，通常提數(shù)學(xué)美感，考慮“形”的方面多一些，考慮“數(shù)”的方面少一些。談美感，離不開“對(duì)稱”，“形的對(duì)稱”有軸對(duì)稱、中心對(duì)稱.那么，“數(shù)的對(duì)稱”如何理解？韋達(dá)定理怎樣體現(xiàn)出數(shù)學(xué)美感與“數(shù)的對(duì)稱”？(2)實(shí)用與高效龐加萊曾這樣論述過數(shù)學(xué)和美學(xué)：“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足感?！痹谑褂庙f達(dá)定理解決一些問題時(shí)，數(shù)學(xué)規(guī)律所表現(xiàn)出的美妙往往震撼我們心靈。例9.已知x+y=a+b,x2+y2=a2+b2，求證：xn+yn=an+bn解法分析方法1：運(yùn)用代入消元法解關(guān)于x,y的二元方程組，然后證明；（或關(guān)于a,b的方程組）方法2：運(yùn)用配方得xy,構(gòu)造以x,y為根的二次方程，得x,y.(3)拓展與推廣韋達(dá)---生活在16世紀(jì)的法國(guó)，后世尊稱“代數(shù)之父”，他發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程的根系關(guān)系。關(guān)于一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0，1779年，高斯證明了代數(shù)基本定理：該方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)存在n的根。關(guān)于n個(gè)根的韋達(dá)定理是：9.如何認(rèn)識(shí)條件極值例10.x,y,z是非負(fù)有理數(shù)，且3x+2y+z=5,x+y-z=2,求s=2x+y-z的最大、最小值。方法1：把三個(gè)方程視為三元一次方程組，解出x,y,z(用s表示)，然后利用是非負(fù)有理數(shù)，聯(lián)立不等式組，解出s的最大、最小值。方法2：聯(lián)立前兩個(gè)方程，解出y,z(用x表示)，代入S的表達(dá)式，構(gòu)成x的函數(shù)，利用y,z是非負(fù)有理數(shù)，聯(lián)立不等式組，得到x的取值范圍（定義域），根據(jù)函數(shù)圖像意義，找到s的最大、最小值。例11.已知x-y=1,求x2+y2的最小值。方法1：代入消元得二次函數(shù)“x2+(x-1)2=2（x-1/2)2+1/2”,求得最小值1/2。方法2：把“x-y=1”視為直線（一次函數(shù)y=x-1的圖像）,設(shè)a2=x2+y2,則a為以原點(diǎn)為心的同心圓的半徑，于是，a由大變小，圓與直線由相交變?yōu)橄嗲袝r(shí)，a2為取到的最小值1/2.10.如何認(rèn)識(shí)函數(shù)圖像的作用11.如何認(rèn)識(shí)初高中函數(shù)概念的異同①兩種函數(shù)的定義初中函數(shù)定義----“變量說”：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中函數(shù)定義---“集合對(duì)應(yīng)說”：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。相同點(diǎn)：比對(duì)兩個(gè)定義，當(dāng)高中函數(shù)定義去掉“兩個(gè)數(shù)集”外衣后，可以發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)是一致的。都是對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)。不同點(diǎn)：

第一，“集合與對(duì)應(yīng)說”強(qiáng)調(diào)“兩個(gè)數(shù)集”，且對(duì)兩個(gè)數(shù)集的要求也不同，對(duì)自變量的取值范圍集合A是唯一確定的，而對(duì)值域所在的集合B，要求則很寬泛，通常取實(shí)數(shù)集R即可，相當(dāng)于打靶，靶子大點(diǎn)沒關(guān)系。第二，“變量說”稱一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù)；“集合與對(duì)應(yīng)說”則稱兩數(shù)集A,B之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”是集合A到集合B的函數(shù)。②為什么高中要更換定義？在我們認(rèn)識(shí)函數(shù)的過程中，初中函數(shù)定義----“變量說”,為我們認(rèn)識(shí)變量之間的依賴關(guān)系，提供了一個(gè)樸實(shí)自然的角度:在一個(gè)變化過程中，什么量不變，什么量改變，哪個(gè)量是主動(dòng)變化的，變化的量之間有沒有依賴關(guān)系，能否用解析式表達(dá)，…這諸多的思考，幾乎都蘊(yùn)涵在“變量說”中，這樣認(rèn)識(shí)函數(shù)，不論是運(yùn)用函數(shù)工具解決實(shí)際問題，還是在中學(xué)、大學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，都是很重要的。那么，高中為什么還要更換定義，學(xué)習(xí)函數(shù)的“集合與對(duì)應(yīng)說”？

幾個(gè)重要原因：①初中定義中沒有定義域約束自變量，要出問題。例：一枚炮彈發(fā)射后，炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時(shí)間t(單位：s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.請(qǐng)大家計(jì)算，當(dāng)t=30s時(shí)，h的值。有學(xué)生算得h=-600m,這是一個(gè)荒唐的結(jié)果。因?yàn)榕趶棌陌l(fā)射到落地爆炸只經(jīng)歷26s，當(dāng)t=30s時(shí)，炮彈早已爆炸，即使沒有地球阻力，h=-600m也是不可能的。③“集合與對(duì)應(yīng)說”帶來的好處好處之四，把數(shù)集A到B的對(duì)應(yīng)關(guān)系抽象表達(dá)為“f”，“f(x)”表示“f”作用到“x”身上的一種變換，而非相乘關(guān)系，是學(xué)生理解的難點(diǎn)。我們可以利用它表示函數(shù)值和區(qū)別函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，來提升學(xué)習(xí)者的情感認(rèn)同度。關(guān)于函數(shù)概念中，一個(gè)需要澄清的問題：

既然