初、高中數(shù)學(xué)銜接

初、高中數(shù)學(xué)銜接

問題研究連春興我準備與大家交流三個問題：一、初高中不銜接原因分析二、數(shù)學(xué)后進生成因分析三、初中教師應(yīng)該具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)一、初高中不銜接原因分析高一新生不適應(yīng)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，大量產(chǎn)生高一數(shù)學(xué)差生，兩極分化嚴重，這是一個長期困擾教師的問題.經(jīng)過我多年的觀察，它涉及的因素很多，現(xiàn)羅列幾個，不全、不對處請各位老師指正。1不當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)觀經(jīng)過初中三年、特別是中考前的強化訓(xùn)練，學(xué)生普遍認為，數(shù)學(xué)由公式、概念、定理組成，背好公式，大量做題就行了.而對數(shù)學(xué)知識背后所蘊含的思想方法，如函數(shù)與方程、劃歸、數(shù)形結(jié)合、隨機、統(tǒng)計等數(shù)學(xué)思想，知之甚少。如用一個定長的鐵絲做一個矩形，邊長多少時，面積最大？把函數(shù)思想方法分解：定一個邊長，得一個面積----對應(yīng)思想；用解析式刻畫-------建模思想；配方求最大值-------優(yōu)化思想；有沒有最小值-------極限思想。如果這個過程，被一個頂點坐標公式所替代-----學(xué)生絕對不會去欣賞數(shù)學(xué)，也不會解決了這個問題后，驕傲的認為自己能力的精進，一定把數(shù)學(xué)看成是公式的組合，自己只不過是套了一步公式而已。2不良習(xí)慣有一批學(xué)生認為，自己在初中時，初一、二雖然沒好好念，初三最后幾個月拼一把，就考上了高中。讀高中不過如此，高三再下功夫。結(jié)果因為初、高中課堂知識容量、難度等方面的差異，想法落空。這從一個角度反映出初中吃不飽，高中吃不了問題嚴重。3初高中數(shù)學(xué)知識對思維水平的要求差異初中：抽象思維水平以“經(jīng)驗型”占主導(dǎo)；高一：抽象思維水平從“經(jīng)驗型”占主導(dǎo)，逐步過渡、發(fā)展到“理論型”占主導(dǎo)。主要表現(xiàn)在邏輯思維、空間想象、符號系統(tǒng)的準確運用等。高中數(shù)學(xué)相比初中數(shù)學(xué)，對同學(xué)們理性思維水平的要求，可謂爬了一個“陡坡”。思維水平的神奇發(fā)展，不是天上掉下來的，需要“客觀”的引導(dǎo)，更需要“主觀”的努力，相當(dāng)一部分學(xué)生過渡的不好。學(xué)習(xí)困難集中表現(xiàn)在高一數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上。4初高中學(xué)習(xí)環(huán)境的差異高中是非義務(wù)教育階段，教師的管理一般沒有初中老師“細”，更多時候靠自覺，靠學(xué)習(xí)主動性。初中課堂教學(xué)一般知識容量小，有時間重復(fù)練習(xí)，所以，對不理解的知識依靠記憶、模仿訓(xùn)練，可以過關(guān)。學(xué)高中數(shù)學(xué)雖然還離不開記憶與模仿，但更需要“深入理解”。升入高一后，課堂教學(xué)容量、知識難度，與初中教學(xué)相比，是一個大的飛躍。一方面，重復(fù)練習(xí)時間比初中少；另一方面，即使重復(fù)練習(xí)也不如初中管用。由此導(dǎo)致許多同學(xué)不適應(yīng)。我們把“用結(jié)論”喻為“打槍”，把“推導(dǎo)結(jié)論”喻為“造槍”，在初中階段，如果學(xué)習(xí)標準不高，憑著會“打槍”，也許能考一個過得去的成績。但要學(xué)好高中數(shù)學(xué)，能熟練的“打槍”固然重要，更需要的卻是富于創(chuàng)意的“造槍”。譬如配方法，在用它造出“一元二次方程求根公式”和“二次函數(shù)圖象的頂點坐標公式”這兩把“槍”后，學(xué)生就把關(guān)注點放在了“打槍”上，卻把“造槍過程”束之高閣了。而高中則必然，“造槍”能力的考查比比皆是。運用該定理如何“造槍”？5初高中技能要求的差異如十字相乘方法因式分解；運用韋達定理解決問題；等。二、數(shù)學(xué)后進生成因分析高一出現(xiàn)大量后進生，固然有上述主觀與客觀方面的原因。但在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，一個學(xué)生，從上小學(xué)到高中十年，即使不在初高中銜接階段，也有許多學(xué)習(xí)后進生出現(xiàn)。這些后進生，我們可以說出許多差，如：學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差------

很多學(xué)習(xí)新知需要的知識是空白；解題技能差-------簡單問題不知從哪里下手；學(xué)習(xí)方法差--------不會聽課，不會問問題；學(xué)習(xí)習(xí)慣差------貪玩，不愛動腦筋，不及時寫作業(yè)…；等等。其實，對一個有良好學(xué)習(xí)愿望的同學(xué)來說，他核心的差應(yīng)該表現(xiàn)在對基礎(chǔ)知識理解不到位而產(chǎn)生的思維活動的盲目性上，即“不會想”。在數(shù)學(xué)差生形成過程中，我們往往：采取“補課”，希望解決學(xué)習(xí)基礎(chǔ)差；通過大量“練題”，希望解決解題技能差；但這樣的補課有一個致命的弊端，就是“強化技能，忽視理解”（社會上各種“強化班”大多沒有擺脫這個弊端）。

我們在教學(xué)中，如果不能糾正“強化技能，忽視理解”的教學(xué)弊端，就難以解決學(xué)生“不會想”的問題。下面通過一組題目對學(xué)生“程序性操作水平與理解層次”的考查，看解題教學(xué)中，如何讓學(xué)生在親身參與，學(xué)會思考。三、初中教師應(yīng)該具備怎樣的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大家都知道教書的“一杯水”與“一桶水”的關(guān)系，要教會學(xué)生“想”，如何積累“一桶水”？在初高中銜接的困難中，來自代數(shù)方面的困難更嚴重，所以，我就幾個代數(shù)問題談?wù)勎业睦斫狻?．如何認識字母表示數(shù)？其實，字母表示數(shù)還有兩個重要作用：其一，設(shè)而必求----設(shè)未知數(shù)，尋求等量關(guān)系，列方程，求未知數(shù)；其二，設(shè)而不求----為方便，設(shè)未知數(shù)表示某些量，最終的求解與未知數(shù)無關(guān)。本題如何解決才是合理的教學(xué)過程？那就是，應(yīng)該把“用字母表示數(shù)”當(dāng)成策略性知識來教。什么是平均速度？是（10+15）/2嗎？非，應(yīng)為“行駛總路程÷行駛總時間”.那么它們總路程、總時間如何表示？“用字母表示數(shù)”又成無奈中被迫選擇的策略，因為只有設(shè)出單程，才能表示時間。教學(xué)中要注意挖掘數(shù)學(xué)的美育元素，觀察不難發(fā)現(xiàn)“a”在功成后隱退，不留名份的情操時，則對“用字母表示數(shù)”的解題策略理解更深刻，更樂于運用，甚至體會到“用字母表示數(shù)”的優(yōu)越，生成對知識、策略初步的評價意識。2．如何認識數(shù)軸與平面直角坐標系？從功能看它們的核心作用在于給一維、二維空間的點定位，為解析幾何奠基；從數(shù)學(xué)發(fā)展的需求看，當(dāng)數(shù)字較少時（如只有正整數(shù)時）把數(shù)串起來的作用、意義不明顯。但初一學(xué)了有理數(shù)以后，把數(shù)找一個從小到大的模型串起來，就很直觀方便，類似于“糖葫蘆”，好拿、好看、好吃。從高中學(xué)習(xí)的需求看，如果學(xué)生情況容許，解決下面問題對高中進一步學(xué)習(xí)是有益的。例2（1）在平面上一個動點的坐標是（x，3）,另一個動點的坐標是（2，y），這兩個動點軌跡是什么？是否有公共點？如有坐標是什么？（2）在平面上一個動點的坐標總相等，動點的軌跡是什么？動點的坐標總相反呢？3．如何認識“絕對值”把“絕對值”和“距離”聯(lián)系起來，不僅直觀解決了絕對值非負的問題，還使后續(xù)學(xué)習(xí)深深受益，解決如下問題易如反掌。例3.（1）求函數(shù)y=︱x-2︱的最小值；（2）若︱x+2︱+︱x-3︱是常數(shù)，求x的取值范圍。（3）若A(a,3),B(b,3),求AB長。4.如何認識無理數(shù)無理數(shù)是超越現(xiàn)實的理性思維的產(chǎn)物，古希臘有一個著名的數(shù)學(xué)學(xué)派——畢達哥拉斯學(xué)派認為世界上只有整數(shù)和分數(shù)，任何線段的長度都可以用兩個整數(shù)的商表示出來，但他的學(xué)生希帕蘇斯卻發(fā)現(xiàn)了正方形的對角線是個例外。課堂上，我們不可能重復(fù)前人的發(fā)現(xiàn)，但我們可以在無理數(shù)的教學(xué)中，滲透理性精神。（5）這樣的數(shù)如此之多，有必要分成一類。如果把有限小數(shù)(循環(huán)節(jié)為0)和無限循環(huán)小數(shù)都視為無限循環(huán)小數(shù)，那么我們學(xué)過的數(shù)就可分為兩類：我們既然稱無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，就可稱無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù)，它們統(tǒng)稱實數(shù)。有了實數(shù)，才建立了數(shù)軸上任意點與實數(shù)之間的一一對應(yīng)，否則數(shù)軸千瘡百孔。5.如何認識比例與方程組6.如何認識因式分解把代數(shù)式“和差化積”，是乘法的逆向變形，其主要目的有二：（1）約分、化簡；（加減法不能約分）（2）解方程，找函數(shù)零點。從目的不難看出因式分解的的重要，特別是分解二次三項式，不論教材、課標如何定位，高中數(shù)學(xué)絕對離不開。建議分兩個層次掌握十字相乘方法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd7.如何認識一元二次方程的判別式8.如何認識韋達定理(1)對稱與和諧挖掘數(shù)學(xué)美感，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)習(xí)效率，增強美育熏陶的重要舉措，通常提數(shù)學(xué)美感，考慮“形”的方面多一些，考慮“數(shù)”的方面少一些。談美感，離不開“對稱”，“形的對稱”有軸對稱、中心對稱.那么，“數(shù)的對稱”如何理解？韋達定理怎樣體現(xiàn)出數(shù)學(xué)美感與“數(shù)的對稱”？(2)實用與高效龐加萊曾這樣論述過數(shù)學(xué)和美學(xué)：“數(shù)學(xué)的優(yōu)美感，不過就是問題的解答適合我們心靈需要而產(chǎn)生的一種滿足感。”在使用韋達定理解決一些問題時，數(shù)學(xué)規(guī)律所表現(xiàn)出的美妙往往震撼我們心靈。例9.已知x+y=a+b,x2+y2=a2+b2，求證：xn+yn=an+bn解法分析方法1：運用代入消元法解關(guān)于x,y的二元方程組，然后證明；（或關(guān)于a,b的方程組）方法2：運用配方得xy,構(gòu)造以x,y為根的二次方程，得x,y.(3)拓展與推廣韋達---生活在16世紀的法國，后世尊稱“代數(shù)之父”，他發(fā)現(xiàn)了代數(shù)方程的根系關(guān)系。關(guān)于一元n次方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0，1779年，高斯證明了代數(shù)基本定理：該方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)存在n的根。關(guān)于n個根的韋達定理是：9.如何認識條件極值例10.x,y,z是非負有理數(shù)，且3x+2y+z=5,x+y-z=2,求s=2x+y-z的最大、最小值。方法1：把三個方程視為三元一次方程組，解出x,y,z(用s表示)，然后利用是非負有理數(shù)，聯(lián)立不等式組，解出s的最大、最小值。方法2：聯(lián)立前兩個方程，解出y,z(用x表示)，代入S的表達式，構(gòu)成x的函數(shù)，利用y,z是非負有理數(shù)，聯(lián)立不等式組，得到x的取值范圍（定義域），根據(jù)函數(shù)圖像意義，找到s的最大、最小值。例11.已知x-y=1,求x2+y2的最小值。方法1：代入消元得二次函數(shù)“x2+(x-1)2=2（x-1/2)2+1/2”,求得最小值1/2。方法2：把“x-y=1”視為直線（一次函數(shù)y=x-1的圖像）,設(shè)a2=x2+y2,則a為以原點為心的同心圓的半徑，于是，a由大變小，圓與直線由相交變?yōu)橄嗲袝r，a2為取到的最小值1/2.10.如何認識函數(shù)圖像的作用11.如何認識初高中函數(shù)概念的異同①兩種函數(shù)的定義初中函數(shù)定義----“變量說”：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，都有唯一的y值與之對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。高中函數(shù)定義---“集合對應(yīng)說”：設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。相同點：比對兩個定義，當(dāng)高中函數(shù)定義去掉“兩個數(shù)集”外衣后，可以發(fā)現(xiàn)它們的本質(zhì)是一致的。都是對于x的每一個確定的值，都有唯一的y值與之對應(yīng)。不同點：

第一，“集合與對應(yīng)說”強調(diào)“兩個數(shù)集”，且對兩個數(shù)集的要求也不同，對自變量的取值范圍集合A是唯一確定的，而對值域所在的集合B，要求則很寬泛，通常取實數(shù)集R即可，相當(dāng)于打靶，靶子大點沒關(guān)系。第二，“變量說”稱一個變量是另一個變量的函數(shù)；“集合與對應(yīng)說”則稱兩數(shù)集A,B之間的對應(yīng)關(guān)系“f”是集合A到集合B的函數(shù)。②為什么高中要更換定義？在我們認識函數(shù)的過程中，初中函數(shù)定義----“變量說”,為我們認識變量之間的依賴關(guān)系，提供了一個樸實自然的角度:在一個變化過程中，什么量不變，什么量改變，哪個量是主動變化的，變化的量之間有沒有依賴關(guān)系，能否用解析式表達，…這諸多的思考，幾乎都蘊涵在“變量說”中，這樣認識函數(shù)，不論是運用函數(shù)工具解決實際問題，還是在中學(xué)、大學(xué)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，都是很重要的。那么，高中為什么還要更換定義，學(xué)習(xí)函數(shù)的“集合與對應(yīng)說”？

幾個重要原因：①初中定義中沒有定義域約束自變量，要出問題。例：一枚炮彈發(fā)射后，炮彈距地面的高度h(單位：m)隨時間t(單位：s)變化的規(guī)律是h=130t-5t2.請大家計算，當(dāng)t=30s時，h的值。有學(xué)生算得h=-600m,這是一個荒唐的結(jié)果。因為炮彈從發(fā)射到落地爆炸只經(jīng)歷26s，當(dāng)t=30s時，炮彈早已爆炸，即使沒有地球阻力，h=-600m也是不可能的。③“集合與對應(yīng)說”帶來的好處好處之四，把數(shù)集A到B的對應(yīng)關(guān)系抽象表達為“f”，“f(x)”表示“f”作用到“x”身上的一種變換，而非相乘關(guān)系，是學(xué)生理解的難點。我們可以利用它表示函數(shù)值和區(qū)別函數(shù)的優(yōu)勢，來提升學(xué)習(xí)者的情感認同度。關(guān)于函數(shù)概念中，一個需要澄清的問題：

既然