經(jīng)濟(jì)物理-長程相互作用復(fù)雜系統(tǒng)研究前沿簡介

長程相互作用復(fù)雜系統(tǒng)研究前沿簡介

----以經(jīng)濟(jì)物理為例一、金融問題的物理對應(yīng)二、布朗運(yùn)動的表述三、中心極限定理的前提及金融問題四、統(tǒng)計物理的相關(guān)前沿研究五、現(xiàn)今金融主要解決方案六、重要參考資料一、金融問題的物理對應(yīng)物理上的勻速運(yùn)動金融價格（或者是股指等）是隨著時間不斷運(yùn)動變化的……為了滿足可加性：單位時間對數(shù)收益率――對應(yīng)速度我們可以清楚地看到在價格取對數(shù)之后，金融問題的研究可以等效于在物理上對運(yùn)動的研究。因此和金融對數(shù)價格變化規(guī)律類似的物理問題研究可以直接聯(lián)系到金融問題研究上來。后面討論的相關(guān)內(nèi)容都是在價格取對數(shù)后作出的。二、布朗運(yùn)動(BrownianMotion)的表述及金融對應(yīng)1827年植物學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)水中懸浮的微粒不停地做無規(guī)則運(yùn)動。布朗運(yùn)動也數(shù)學(xué)上也被稱為維納過程，是一個隨機(jī)過程。我們可以做這樣一個簡單的假設(shè)，金融產(chǎn)品的價格都隨著時間不停地?zé)o規(guī)則變化著。1905年愛因斯坦根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運(yùn)動的統(tǒng)計理論。直至現(xiàn)在，大部分的統(tǒng)計理論都是基于愛因斯坦建立的擴(kuò)散方程。各類金融成本的計算方法一般都有一個前提假設(shè)：波動呈現(xiàn)布朗過程。如被成為第二次華爾街革命的布萊克（Black）和斯科爾斯（Scholes）提出的關(guān)于期權(quán)定價問題的可行性解決方法的第一條就是假設(shè)金融價格波動服從維納過程。這一成果榮獲1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。通過愛因斯坦的擴(kuò)散方程可以得到了兩條最為重要的統(tǒng)計規(guī)律：位移平方的平均值于時間間隔的關(guān)系：應(yīng)用到金融問題上，我們可以得到不同時間間隔下的對數(shù)收益率平均漲落滿足的關(guān)系。如兩個小時的平均收益率約等于一個小時平均收益率的1.41倍。2、位移的分布函數(shù)滿足高斯分布形式（也被稱為正態(tài)分布）：應(yīng)用到金融問題上，假設(shè)我們知道一個小時的對數(shù)收益率平均漲落值（標(biāo)準(zhǔn)差）為a。則對數(shù)收益率處于區(qū)間[-a,a]的概率為68.3％，處在區(qū)間[-2a,2a]的概率為95.4％等等。通過擴(kuò)散方程我們可以得到所有想得到系統(tǒng)變化規(guī)律，如前面提到的期權(quán)定價解決方法。上面只是先簡單地介紹一下布朗運(yùn)動的重要結(jié)論，然而后面我們將看到布朗運(yùn)動并不能準(zhǔn)確地描述金融價格的變化規(guī)律，上面的兩條結(jié)論并不符合金融實(shí)際。接下去我將從布朗運(yùn)動的前提假設(shè)和實(shí)證結(jié)果兩方面來講述這個問題。三、中心極限定理（CentralLimitTheorem）的前提及金融問題經(jīng)過發(fā)展，愛因斯坦的擴(kuò)散方程在1920s發(fā)展為數(shù)學(xué)上的中心極限定理。對于中心極限定理，數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的前提假設(shè)：1、獨(dú)立同分布:金融表述：每一時刻的價格波動與其他時刻的價格波動無關(guān)，每個個體的金融行為與其他個體的金融行為無關(guān)等等。然而金融系統(tǒng)是長程相關(guān)和長時記憶的。金融問題：保險成本的計算――各個公司各個行業(yè)業(yè)績無關(guān)聯(lián)――導(dǎo)致次級債危機(jī)。2、高次矩發(fā)散:簡單理解：在學(xué)校里面每天變化位置不超過1KM，坐火車飛機(jī)遠(yuǎn)超過100KM。金融表述：短時間內(nèi)價格發(fā)生相對巨大的波動，金融行為突然間表現(xiàn)出極大的異常。然而金融行為異常波動的概率要遠(yuǎn)比高斯分布來得大得多。金融問題：對波動計算不足導(dǎo)致巨大損失。

在這里我們從前提上看到了布朗運(yùn)動并不能準(zhǔn)確地描述金融問題。我們在上面也可以看到，忽視前提而作出的結(jié)論可能會導(dǎo)致無法預(yù)計的災(zāi)難。然而要克服上述兩條基本假設(shè)提出更為合理的理論是一件十分困難的任務(wù)，是各個相關(guān)學(xué)科都在關(guān)心的問題。四、統(tǒng)計物理的相關(guān)前沿研究現(xiàn)今大量現(xiàn)象表明，在具有長程相關(guān)與長時間記憶效應(yīng)的系統(tǒng)里面，運(yùn)動不再滿足中心極限定理的表述方式，而改變?yōu)楦右话愕男问剑何灰破椒降钠骄涤跁r間間隔的關(guān)系：，滿足之前的形式被成為正常擴(kuò)散，滿足上述形式的被成為反常擴(kuò)散。自關(guān)聯(lián)函數(shù)為：會引起整體的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)效應(yīng)。金融對應(yīng)：價格波動的跟風(fēng)效應(yīng)，一定的可預(yù)測性。2.位移的分布函數(shù)滿足q-高斯分布形式（也被稱為TSALLIS分布）：，，分布函數(shù)簡化冪律形式：既人們常說的二八分布。金融對應(yīng)：實(shí)際波動情況被修正，可以精確計算結(jié)果。

簡單的舉幾個例子說明上述現(xiàn)象：1995年標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)對數(shù)波動擴(kuò)散關(guān)系圖：MantegnaRN,StanleyHE1996Nature383,587人的腦電波波動分布形式：PHYSICALREVIEWE76,061903（2007）地震振幅波動圖PHYSICALREVIEWE75,055101（R）（2007）等離子體：PHYSICALREVIEWE75,016405（2007）十只最有價值的紐約證券交易所股票的對數(shù)價格波動分布圖PhysicaA324(2003)89我們可以看到這些具有長程相關(guān)或長時記憶效果的系統(tǒng)，表現(xiàn)出來的性質(zhì)不能被布朗過程所描述。我們還可以看到他們表現(xiàn)出很多和金融價格波動類似的規(guī)律，因而一定程度上可以借鑒來作為研究金融價格波動規(guī)律的參考。五、現(xiàn)今金融主要解決方案--GARCH(GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel)及存在的問題羅伯特·恩格爾(RobertF.Engle)1982年提出ARCH模型，2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。波勒斯勒夫（TimBollerslev）1986年提出GARCH模型(GeneralizedARCH)：從布朗運(yùn)動到GARCH過程，一定程度上解決了中心極限定理前提下有限相關(guān)的問題，能產(chǎn)生形狀和Q-高斯類似的分布函數(shù)，然而并不能給出分布確切的表達(dá)式。但是，GARCH過程本質(zhì)上是從布朗過程演變而來，無法解決二次矩發(fā)散問題，而且結(jié)果是正常擴(kuò)散的，并不能描述反常擴(kuò)散現(xiàn)象。金融描述：GARCH過程可以在一定程度上描述有限距離和時間內(nèi)的價格波動關(guān)聯(lián)，然而無法描述價格的急劇振蕩現(xiàn)象和價格波動的跟風(fēng)效應(yīng)。六、重要的參考資料書：從拋物線談起:混沌動力學(xué)引論(第2版)，郝柏林，2013經(jīng)濟(jì)物理學(xué)導(dǎo)論，曼特尼亞

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斯坦利

，2006金融物理學(xué)導(dǎo)論，周煒星，2007經(jīng)濟(jì)物理學(xué)，黃吉平，2013綜述論文：計量經(jīng)濟(jì)學(xué)的地位、