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長程相互作用復(fù)雜系統(tǒng)研究前沿簡介

----以經(jīng)濟(jì)物理為例一、金融問題的物理對(duì)應(yīng)二、布朗運(yùn)動(dòng)的表述三、中心極限定理的前提及金融問題四、統(tǒng)計(jì)物理的相關(guān)前沿研究五、現(xiàn)今金融主要解決方案六、重要參考資料一、金融問題的物理對(duì)應(yīng)物理上的勻速運(yùn)動(dòng)金融價(jià)格(或者是股指等)是隨著時(shí)間不斷運(yùn)動(dòng)變化的……為了滿足可加性:單位時(shí)間對(duì)數(shù)收益率――對(duì)應(yīng)速度我們可以清楚地看到在價(jià)格取對(duì)數(shù)之后,金融問題的研究可以等效于在物理上對(duì)運(yùn)動(dòng)的研究。因此和金融對(duì)數(shù)價(jià)格變化規(guī)律類似的物理問題研究可以直接聯(lián)系到金融問題研究上來。后面討論的相關(guān)內(nèi)容都是在價(jià)格取對(duì)數(shù)后作出的。二、布朗運(yùn)動(dòng)(BrownianMotion)的表述及金融對(duì)應(yīng)1827年植物學(xué)家布朗發(fā)現(xiàn)水中懸浮的微粒不停地做無規(guī)則運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)也數(shù)學(xué)上也被稱為維納過程,是一個(gè)隨機(jī)過程。我們可以做這樣一個(gè)簡單的假設(shè),金融產(chǎn)品的價(jià)格都隨著時(shí)間不停地?zé)o規(guī)則變化著。1905年愛因斯坦根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)理論。直至現(xiàn)在,大部分的統(tǒng)計(jì)理論都是基于愛因斯坦建立的擴(kuò)散方程。各類金融成本的計(jì)算方法一般都有一個(gè)前提假設(shè):波動(dòng)呈現(xiàn)布朗過程。如被成為第二次華爾街革命的布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)提出的關(guān)于期權(quán)定價(jià)問題的可行性解決方法的第一條就是假設(shè)金融價(jià)格波動(dòng)服從維納過程。這一成果榮獲1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。通過愛因斯坦的擴(kuò)散方程可以得到了兩條最為重要的統(tǒng)計(jì)規(guī)律:位移平方的平均值于時(shí)間間隔的關(guān)系:應(yīng)用到金融問題上,我們可以得到不同時(shí)間間隔下的對(duì)數(shù)收益率平均漲落滿足的關(guān)系。如兩個(gè)小時(shí)的平均收益率約等于一個(gè)小時(shí)平均收益率的1.41倍。2、位移的分布函數(shù)滿足高斯分布形式(也被稱為正態(tài)分布):應(yīng)用到金融問題上,假設(shè)我們知道一個(gè)小時(shí)的對(duì)數(shù)收益率平均漲落值(標(biāo)準(zhǔn)差)為a。則對(duì)數(shù)收益率處于區(qū)間[-a,a]的概率為68.3%,處在區(qū)間[-2a,2a]的概率為95.4%等等。通過擴(kuò)散方程我們可以得到所有想得到系統(tǒng)變化規(guī)律,如前面提到的期權(quán)定價(jià)解決方法。上面只是先簡單地介紹一下布朗運(yùn)動(dòng)的重要結(jié)論,然而后面我們將看到布朗運(yùn)動(dòng)并不能準(zhǔn)確地描述金融價(jià)格的變化規(guī)律,上面的兩條結(jié)論并不符合金融實(shí)際。接下去我將從布朗運(yùn)動(dòng)的前提假設(shè)和實(shí)證結(jié)果兩方面來講述這個(gè)問題。三、中心極限定理(CentralLimitTheorem)的前提及金融問題經(jīng)過發(fā)展,愛因斯坦的擴(kuò)散方程在1920s發(fā)展為數(shù)學(xué)上的中心極限定理。對(duì)于中心極限定理,數(shù)學(xué)上有嚴(yán)格的前提假設(shè):1、獨(dú)立同分布:金融表述:每一時(shí)刻的價(jià)格波動(dòng)與其他時(shí)刻的價(jià)格波動(dòng)無關(guān),每個(gè)個(gè)體的金融行為與其他個(gè)體的金融行為無關(guān)等等。然而金融系統(tǒng)是長程相關(guān)和長時(shí)記憶的。金融問題:保險(xiǎn)成本的計(jì)算――各個(gè)公司各個(gè)行業(yè)業(yè)績無關(guān)聯(lián)――導(dǎo)致次級(jí)債危機(jī)。2、高次矩發(fā)散:簡單理解:在學(xué)校里面每天變化位置不超過1KM,坐火車飛機(jī)遠(yuǎn)超過100KM。金融表述:短時(shí)間內(nèi)價(jià)格發(fā)生相對(duì)巨大的波動(dòng),金融行為突然間表現(xiàn)出極大的異常。然而金融行為異常波動(dòng)的概率要遠(yuǎn)比高斯分布來得大得多。金融問題:對(duì)波動(dòng)計(jì)算不足導(dǎo)致巨大損失。

在這里我們從前提上看到了布朗運(yùn)動(dòng)并不能準(zhǔn)確地描述金融問題。我們?cè)谏厦嬉部梢钥吹剑鲆暻疤岫鞒龅慕Y(jié)論可能會(huì)導(dǎo)致無法預(yù)計(jì)的災(zāi)難。然而要克服上述兩條基本假設(shè)提出更為合理的理論是一件十分困難的任務(wù),是各個(gè)相關(guān)學(xué)科都在關(guān)心的問題。四、統(tǒng)計(jì)物理的相關(guān)前沿研究現(xiàn)今大量現(xiàn)象表明,在具有長程相關(guān)與長時(shí)間記憶效應(yīng)的系統(tǒng)里面,運(yùn)動(dòng)不再滿足中心極限定理的表述方式,而改變?yōu)楦右话愕男问剑何灰破椒降钠骄涤跁r(shí)間間隔的關(guān)系:,滿足之前的形式被成為正常擴(kuò)散,滿足上述形式的被成為反常擴(kuò)散。自關(guān)聯(lián)函數(shù)為:會(huì)引起整體的正相關(guān)或負(fù)相關(guān)效應(yīng)。金融對(duì)應(yīng):價(jià)格波動(dòng)的跟風(fēng)效應(yīng),一定的可預(yù)測性。2.位移的分布函數(shù)滿足q-高斯分布形式(也被稱為TSALLIS分布):,,分布函數(shù)簡化冪律形式:既人們常說的二八分布。金融對(duì)應(yīng):實(shí)際波動(dòng)情況被修正,可以精確計(jì)算結(jié)果。

簡單的舉幾個(gè)例子說明上述現(xiàn)象:1995年標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)對(duì)數(shù)波動(dòng)擴(kuò)散關(guān)系圖:MantegnaRN,StanleyHE1996Nature383,587人的腦電波波動(dòng)分布形式:PHYSICALREVIEWE76,061903(2007)地震振幅波動(dòng)圖PHYSICALREVIEWE75,055101(R)(2007)等離子體:PHYSICALREVIEWE75,016405(2007)十只最有價(jià)值的紐約證券交易所股票的對(duì)數(shù)價(jià)格波動(dòng)分布圖PhysicaA324(2003)89我們可以看到這些具有長程相關(guān)或長時(shí)記憶效果的系統(tǒng),表現(xiàn)出來的性質(zhì)不能被布朗過程所描述。我們還可以看到他們表現(xiàn)出很多和金融價(jià)格波動(dòng)類似的規(guī)律,因而一定程度上可以借鑒來作為研究金融價(jià)格波動(dòng)規(guī)律的參考。五、現(xiàn)今金融主要解決方案--GARCH(GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroskedasticitymodel)及存在的問題羅伯特·恩格爾(RobertF.Engle)1982年提出ARCH模型,2003年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。波勒斯勒夫(TimBollerslev)1986年提出GARCH模型(GeneralizedARCH):從布朗運(yùn)動(dòng)到GARCH過程,一定程度上解決了中心極限定理前提下有限相關(guān)的問題,能產(chǎn)生形狀和Q-高斯類似的分布函數(shù),然而并不能給出分布確切的表達(dá)式。但是,GARCH過程本質(zhì)上是從布朗過程演變而來,無法解決二次矩發(fā)散問題,而且結(jié)果是正常擴(kuò)散的,并不能描述反常擴(kuò)散現(xiàn)象。金融描述:GARCH過程可以在一定程度上描述有限距離和時(shí)間內(nèi)的價(jià)格波動(dòng)關(guān)聯(lián),然而無法描述價(jià)格的急劇振蕩現(xiàn)象和價(jià)格波動(dòng)的跟風(fēng)效應(yīng)。六、重要的參考資料書:從拋物線談起:混沌動(dòng)力學(xué)引論(第2版),郝柏林,2013經(jīng)濟(jì)物理學(xué)導(dǎo)論,曼特尼亞

,

斯坦利

,2006金融物理學(xué)導(dǎo)論,周煒星,2007經(jīng)濟(jì)物理學(xué),黃吉平,2013綜述論文:計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的地位、

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