復(fù)旦大學(xué)大學(xué)物理力學(xué)課件Ch1

運(yùn)動(dòng)學(xué)——研究物體位置隨時(shí)間變化的規(guī)律主要內(nèi)容有：三個(gè)概念：質(zhì)點(diǎn)、參考系、坐標(biāo)系四個(gè)物理量：位置矢量、位移、速度、加速度第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)：微分，積分，矢量質(zhì)點(diǎn)1.物體的大小、形狀可忽略時(shí)2.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物體各部分運(yùn)動(dòng)相同(如物體的平動(dòng))而真實(shí)物體可以看成無(wú)窮多質(zhì)點(diǎn)的集合物體可以看作質(zhì)點(diǎn)：具有該物體相同的質(zhì)量的“點(diǎn)”地——日間距：

1.5×108km地球半徑：

6.37×

103km太陽(yáng)地球質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的兩類問(wèn)題：

第二類問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度（或加速度）以及初始狀態(tài)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（第一類問(wèn)題的逆運(yùn)算）——用積分方法求解。

第一類問(wèn)題：已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度和加速度，從而得知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全部情況——用微分方法求解；參考系對(duì)于同一種運(yùn)動(dòng)，由于參照系選擇的不同而有不同的描寫運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性宇宙中的一切物體都在運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有絕對(duì)靜止的物體，這叫運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)性。為了描述一個(gè)物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)，必須選另一個(gè)物體作參照物，物體的空間位置才能相對(duì)地確定。被選作參照的物體稱為參照系。參考系的選擇是任意的,視描述運(yùn)動(dòng)的方便而定。注意參考系不一定是靜止的。坐標(biāo)系坐標(biāo)系：由固結(jié)在參考系上的一組有刻度的射線、曲線或角度表示。

坐標(biāo)系為參考系的數(shù)學(xué)抽象（兩者相對(duì)靜止）

坐標(biāo)系可任選，以描述方便為原則*在同一參考系中，用不同的坐標(biāo)系描述同一物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，其數(shù)學(xué)表述不同－與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)。只有參照系不能定量地描述物體的位置，要在參照系上固定一個(gè)坐標(biāo)系，才能確定質(zhì)點(diǎn)的位置。P(r,α)rαXo?ZXYoθ?P(ρ,θ,z)zρ自然坐標(biāo)系OP常用的坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系球坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系極坐標(biāo)系(r,,)r(x,y,z)zxyP位置矢量、運(yùn)動(dòng)方程、位移1、位置矢量基本概念從原點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)所在的位置P點(diǎn)的有向線段，叫做位置矢量或位矢。說(shuō)明位置矢量是矢量：有大小和方向；具有瞬時(shí)性；具有相對(duì)性；單位：米（m）zOxyP(x,y,z)直角坐標(biāo)系2、運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，它相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的位置矢量r是隨時(shí)間變化的。因此，r是時(shí)間的函數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的重要任務(wù)之一，就是找出各種具體運(yùn)動(dòng)所遵循的運(yùn)動(dòng)軌道方程。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，在坐標(biāo)系中描繪的曲線稱為運(yùn)動(dòng)的軌跡。軌跡是直線：直線運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線：曲線運(yùn)動(dòng)x·zyz(t)y(t)x(t)r(t)P(t)0例1：平拋運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程例2：圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程軌跡方程分量形式消去參數(shù)t質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡(軌道)方程3、位移定義：把由始點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段定義為質(zhì)點(diǎn)的位移矢量，簡(jiǎn)稱位移。它是描述質(zhì)點(diǎn)位置變化的物理量。計(jì)算xyzOP1P2位移滿足矢量疊加性質(zhì)yxzOCAB即在t1+t2時(shí)間內(nèi)的總位移滿足位移與路程s不同當(dāng)時(shí)間間隔很小時(shí)：記為：a.位移是矢量：是指位置矢量的變化路程是標(biāo)量：是指運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度sb.OAB不改變方向的直線運(yùn)動(dòng):速度1、平均速度xyzO2．瞬時(shí)速度定義：平均速度的極限值稱為瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度3、關(guān)于速度的說(shuō)明速度是矢量，有大小和方向勻速運(yùn)動(dòng)：速度為恒量變速運(yùn)動(dòng)：速度為變量速度具有瞬時(shí)性；具有相對(duì)性；單位：m·s-1

注意：速度為矢量！(1)方向沿A點(diǎn)處軌道的切線方向時(shí)，OsAB(2)大小速度大小與速率相等！OsAB速率(speed)：描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢，即運(yùn)動(dòng)物體在單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的距離。速率是標(biāo)量。

平均速率和瞬時(shí)速率反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不同信息。 也就是說(shuō)，平均速率和瞬時(shí)速率有不同的物理意義，它們強(qiáng)調(diào)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)于運(yùn)動(dòng)快慢的不同方面。（1）平均速率更強(qiáng)調(diào)在一有限時(shí)間段內(nèi)的總體運(yùn)動(dòng)效果；（2）瞬時(shí)速率更強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的細(xì)節(jié)。說(shuō)明某些典型速度大小的量級(jí)單位：（m·s-1)光3.0×108已知類星體最快的退行2.7×108電子繞核的運(yùn)動(dòng)2.2×108太陽(yáng)繞銀河中心的運(yùn)動(dòng)2.0×105地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)3.0×104第二宇宙速度1.1×104第一宇宙速度7.8×103子彈出口速度~7×102地球的自轉(zhuǎn)（赤道）4.6×102空氣分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度（室溫）4.5×102空氣中的聲速3.3×102民航噴氣客機(jī)2.7×102人的最大速度12人的步行1.3蝸牛爬行~10-3冰河移動(dòng)~10-6頭發(fā)生長(zhǎng)3×10-9大陸漂移10-9速度的分量形式直角坐標(biāo)系速率為：速度分量為：xoωy[例1-1]質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

討論質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)。解：速度矢量：位置矢量：xoωy軌跡方程：速度大?。核俣妊厍芯€方向！速度方向圓周運(yùn)動(dòng)！勻速圓周運(yùn)動(dòng)！

例

如圖所示,A、B兩物體由一長(zhǎng)為的剛性細(xì)桿相連,A、B兩物體可在光滑軌道上滑行.如物體A以恒定的速率向左滑行,當(dāng)時(shí),物體B的速率為多少？解建立坐標(biāo)系如圖,OAB為一直角三角形，剛性細(xì)桿的長(zhǎng)度l為一常量ABl物體A

的速度物體B

的速度ABl兩邊求導(dǎo)得即沿軸正向,當(dāng)時(shí)瞬時(shí)加速度

(t0)一加速度定義

設(shè)在t

時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)從A運(yùn)動(dòng)到B，

則質(zhì)點(diǎn)在t

時(shí)間內(nèi)的平均加速度定義為：yxzoAB加速度

平均加速度和瞬時(shí)加速度反映質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度變化的不同信息。也就是說(shuō)，平均加速度和瞬時(shí)加速度有不同的物理意義，它們強(qiáng)調(diào)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中關(guān)于運(yùn)動(dòng)速度變化的不同方面。（1）平均加速度更強(qiáng)調(diào)在一有限時(shí)間段內(nèi)速度變化的總體效果；（2）瞬時(shí)加速度更強(qiáng)調(diào)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度變化的細(xì)節(jié)。說(shuō)明

某些常見(jiàn)事件的加速度/（m/s2）電梯啟動(dòng)1.9飛機(jī)起飛4.9地球表面自由落體9.8月球表面自由落體1.7太陽(yáng)表面自由落體2.7×102使人昏暈約70火箭升空約50~100子彈在槍膛中的運(yùn)動(dòng)約5×105質(zhì)子在加速器中的運(yùn)動(dòng)約1013~10141.直角坐標(biāo)系二加速度的分量形式

加速度在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)分量分別等于相應(yīng)速度分量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，或相應(yīng)坐標(biāo)分量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)加速度的大小為加速度與速度的夾角為0或180，質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)。加速度與速度的夾角等于90，質(zhì)點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)。加速度的方向就是時(shí)間t趨近于零時(shí)，速度增量的極限方向。加速度與速度的方向一般不同。加速度與速度的夾角大于90，速率減小。加速度與速度的夾角小于90，速率增大。質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，加速度總是指向軌跡曲線凹的一邊1)加速度是矢量，有大小和方向勻變速運(yùn)動(dòng)：加速度為恒量非勻變速運(yùn)動(dòng)：加速度為變量2)加速度具有瞬時(shí)性3)具有相對(duì)性4)單位：m·s-2

tn總路程：位移：一般形式：速度公式：加速度為恒矢量時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程問(wèn)題：假設(shè)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度a為恒量在t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的r0

，v0，求在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)的位置矢量、位移和速度。1．速度2．位移和位置矢量33例題物體在t0時(shí)刻的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為(x0,v0)，加速度求t時(shí)刻的位置和速度先求t時(shí)刻的速度微分關(guān)系式兩邊積分34再求t時(shí)刻的位置微分關(guān)系式兩邊積分物體運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)與積分常數(shù)一一對(duì)應(yīng)解：由加速度定義

例

有一個(gè)球體在某液體中豎直下落,其初速度為,它的加速度為問(wèn)

此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長(zhǎng)？10曲線可以運(yùn)動(dòng)分解為幾個(gè)垂直方向的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)物體同時(shí)參與兩個(gè)或多個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其總的運(yùn)動(dòng)乃是各個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的合成結(jié)果。運(yùn)動(dòng)的疊加原理或運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理勻速和勻加速直線運(yùn)動(dòng)疊加平拋運(yùn)動(dòng)斜拋運(yùn)動(dòng)初速度vx0=v0cosαvy0=v0sinα初始位置x0=0y0=0加速度ax=0ay=-g軌跡方程運(yùn)動(dòng)方程水平方向：勻速運(yùn)動(dòng)豎直方向：豎直上拋運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線d0α速度vx=v0cosαvy=v0sinα–gt例投籃（已知Ф1，xA，求出手方向及速度）Oxy水平線xAA拋射角無(wú)極大值，但有極小值極小值對(duì)應(yīng)的拋射角自然坐標(biāo)系坐標(biāo):速度:P質(zhì)點(diǎn)速率:自然坐標(biāo)系下的加速度o討論：o大?。簽殚g的夾角方向：o曲率：間的路程。曲率半徑：反映速度大小的變化!反映速度方向的變化!切向加速度分量：法向加速度分量：PP在自然坐標(biāo)系中，總的加速度大小質(zhì)點(diǎn)總的加速度方向與其速度的夾角滿足eeenen自然坐標(biāo)系改變速率的方向改變速率的大小[例]已知運(yùn)動(dòng)方程，求解：平面極坐標(biāo)系por由于所以，和相互垂直，指向徑向，與垂直，指向角增大的方向。在速度與加速度的表達(dá)式中，含有的項(xiàng)為徑向分量，其方向指向矢徑(位矢)方向；含有的項(xiàng)為橫向分量，其方向指向方向，即與垂直的方向。徑向與橫向平面極坐標(biāo)系下的速度I坐標(biāo):速度:大小為解析幾何的方法在直角坐標(biāo)系下于是有：據(jù)定義：有：

為單位矢量。還可以證明：平面極坐標(biāo)系下的速度II平面極坐標(biāo)系下的加速度（不作要求）57徑向速度大小的變化徑向速度方向的變化r增大引起橫向速度的變化角速度增大引起橫向速度的變化橫向速度方向的變化例：轉(zhuǎn)盤上沿徑向運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)：設(shè)質(zhì)點(diǎn)在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)（角速度為）的水平轉(zhuǎn)盤上從t＝0開始自中心出發(fā)以恒定速率u沿半徑運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的軌跡，速度。軌跡方程：阿基米德螺線速度圓周運(yùn)動(dòng)1、定義：角坐標(biāo)隨時(shí)間的變化率2、角速度與線速度的關(guān)系rθxΔSωR三維空間中：?jiǎn)挝唬夯《?秒定義角速度的方向：右手螺旋定則：角速度角加速度ABRdsd

質(zhì)點(diǎn)作勻加速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角位置、角位移、角速度和角加速度等角量間的關(guān)系與質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)中各個(gè)線量間的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)，即勻變速率直線運(yùn)動(dòng)勻加速圓周運(yùn)動(dòng)[例]質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)沿半徑為R的圓軌道運(yùn)動(dòng)。已知質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)的加速度為，式中為質(zhì)點(diǎn)相對(duì)O點(diǎn)的位矢，A為常系數(shù)，分別計(jì)算質(zhì)點(diǎn)在P點(diǎn)處的oP2RsoP2Rs解：相對(duì)運(yùn)動(dòng)研究的問(wèn)題:在兩個(gè)參考系中考察同一物理事件，會(huì)有不同的表示形式。小船運(yùn)動(dòng)以地球?yàn)閰⒄障档厍蛟铝烈蕴?yáng)為參照系太陽(yáng)月亮地球軌道兩個(gè)相對(duì)平動(dòng)參照系對(duì)質(zhì)點(diǎn)位置（矢量）描述的相對(duì)性!一運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性y'yoPo'xx'[S][S'](x,y,z)(x',y',z'

)y'S'相對(duì)

S平動(dòng)，速度為這個(gè)式子成立是有前提的！注意

由于和是參考系S中的觀測(cè)值，而是參考系S’中的觀測(cè)值，因此，上述在不同參考系中的觀測(cè)值放在一起相加是有問(wèn)題的。只有當(dāng)不同參考系中對(duì)同一空間距離的測(cè)量值是相同的前提下，上述矢量疊加才可能成立。

在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，我們假設(shè)：空間兩點(diǎn)間的距離不管從哪個(gè)參考系測(cè)量，結(jié)果都相同，這稱為空間間隔的絕對(duì)性。

在狹義相對(duì)論中我們會(huì)知道這個(gè)假設(shè)只是一個(gè)近似，即只有當(dāng)兩個(gè)參考系的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光在真空中的傳播速度時(shí)，上述假設(shè)才成立。關(guān)于時(shí)間，也有類似的假設(shè)！

即：對(duì)相同的兩個(gè)物理事件的時(shí)間間隔的測(cè)量與具體的參考系無(wú)關(guān)。這一假設(shè)稱為時(shí)間間隔的絕對(duì)性。

也就是說(shuō)，在牛頓力學(xué)范圍內(nèi)，對(duì)空間間隔和時(shí)間的測(cè)量都是絕對(duì)的，與參考系無(wú)關(guān)。

上述關(guān)于空間和時(shí)間的論斷構(gòu)成牛頓力學(xué)（經(jīng)典力學(xué)）的絕對(duì)時(shí)空觀。利用速度和加速度定義：牽連速度S參考系時(shí)間如果則：牽連加速度同理伽利略變換

由于運(yùn)動(dòng)描述的相對(duì)性，對(duì)一定的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，我們可以依方便來(lái)選擇參考系，從而使問(wèn)題變得簡(jiǎn)單。同時(shí)，在討論過(guò)程中我們還利用了經(jīng)典力學(xué)關(guān)于時(shí)空理論的基本假設(shè)，即時(shí)空間隔的絕對(duì)性。

例

一列火車在雨中以20m.s－1的速度大小向正南方向行駛。在地面上的觀測(cè)者測(cè)得雨滴被風(fēng)吹向南方，其徑跡與豎直方向夾角為45°，而火車上的觀測(cè)者看到的雨滴徑跡是沿豎直方向的。求雨滴相對(duì)于地面的速度大小。火車前進(jìn)方向解：首先，我們選擇地面和火車分別為S和S‘參考系，以雨滴為研究對(duì)象。如圖所示，設(shè)、分別為雨滴相對(duì)于兩個(gè)參考系的運(yùn)動(dòng)速度，為兩參考系相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度。根據(jù)題設(shè)條件知道三個(gè)速度構(gòu)成如圖所示直角三角形?；疖嚽斑M(jìn)方向雨滴對(duì)地的速度大小為[例]邊長(zhǎng)為l的正三角形的頂點(diǎn)各有一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，從某一時(shí)刻同時(shí)開始并保持相對(duì)于地面的勻速率運(yùn)動(dòng)，速度