空間力系的簡化與平衡

第三章空間力系空間力系實(shí)例

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)

力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對軸之矩?？臻g力系平衡方程的應(yīng)用。常見的空間約束及約束反力。

⒉難點(diǎn)

空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)

力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對軸之矩。空間力系平衡方程的應(yīng)用。常見的空間約束及約束反力。

⒉難點(diǎn)

空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。

本章重點(diǎn)、難點(diǎn)

⒈重點(diǎn)

力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影和力對軸之矩?？臻g力系平衡方程的應(yīng)用。常見的空間約束及約束反力。

⒉難點(diǎn)

空間矢量的運(yùn)算，空間結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系與立體圖。空間力系平衡方程的應(yīng)用。第一節(jié)空間力系一、空間匯交力系

（一）.力在空間的表示1.直接投影法2.二次投影法力的解析表示可寫為習(xí)題已知：F1=500N，F(xiàn)2=1000N，F(xiàn)3=1500N，求：各力在坐標(biāo)軸上的投影。解：F1、F2可用直接投影法4m2.5m3mxyzF1F2F3對F3應(yīng)采用二次投影法4m2.5m3mxyzF1F2F3（二）.空間匯交力系的合成與平衡空間匯交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。平衡條件平衡方程例題3－1三根直桿AD，BD，CD在點(diǎn)D處互相聯(lián)結(jié)構(gòu)成支架如圖所示，纜索ED繞固定在點(diǎn)D處的滑輪提升一重量為500kN的載荷。設(shè)ABC組成等邊三角形，各桿和纜索ED與地面的夾角均為60°，求平衡時各桿的軸向壓力。解：以點(diǎn)D為研究對象，受力如圖所示。SCSASBWDCABEWOyxz例題3－2桿OD的頂端作用有三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，其方向如圖3-4所示，各力大小為F1＝100N，F(xiàn)2＝150N，F(xiàn)3＝300N。求三力的合力。解：求出三個力在坐標(biāo)軸上的投影和ADBCO343xyzF3F1F2334ABCEDxyzP例題3－3已知：物重P=10kN，EB與CD垂直,CE=EB=DE；q＝30o，求：桿受力及繩拉力解：畫受力圖如圖，列平衡方程結(jié)果：F2F1FA習(xí)題空氣動力天平如圖所示為空氣動力天平上測定模型所受阻力用的一個懸掛節(jié)點(diǎn)O，其上作用有鉛直載荷F。鋼絲OA和OB所構(gòu)成的平面垂直于鉛直平面Oyz，并與該平面相交于OD，而鋼絲OC則沿水平軸y。已知OD與軸z間的夾角為，又∠AOD=∠BOD=，試求各鋼絲中的拉力。αyzxβαABCDFO聯(lián)立求解可得：列平衡方程：αyzxβαABCDFF1OF2F3取O點(diǎn)為研究對象，受力分析如圖所示，解：習(xí)題已知：P=1000N,BCO是同一水平面內(nèi)的等腰直角三角形，各桿重不計(jì).求：三根桿所受力.解：各桿均為二力桿，取球鉸O，畫受力圖建坐標(biāo)系如圖。由解得（壓）（拉）ABCOGDPFOCFOBFOAxzy習(xí)題已知：圖示起重三腳架，重物重量為20kN，三桿各長為2.5m，AO=BO=CO=1.5m。桿的重量不計(jì)。求：各桿的所受的力。120°90°150°ABCDO60°ABCDPFADFCDFBDOxyzθθθ解：取銷釘D為研究對象解出得FAD=10.56kN,FBD=5.28kN,FCD=9.14kN習(xí)題桅桿式起重機(jī)可簡化為如圖所示結(jié)構(gòu)。AC為立柱，BC，CD和CE均為鋼索，AB為起重桿。A端可簡化為球鉸鏈約束。設(shè)B點(diǎn)滑輪上起吊重物的重量G=20kN，AD=AE=6m，其余尺寸如圖。起重桿所在平面ABC與對稱面ACG重合。不計(jì)立柱和起重桿的自重，求起重桿AB、立柱AC和鋼索CD，CE所受的力。CA5mBDEG1.先取滑輪B為研究對象。注意，起重桿AB為桁架構(gòu)件，兩端鉸接，不計(jì)自重，它是一個二力構(gòu)件，把滑輪B簡化為一點(diǎn)，它的受力圖如圖所示。xyBGFABFBC解：

這是一平面匯交力系，列平衡方程解得CA5mBDEG2.再選取C點(diǎn)為研究對象，它的受力圖如圖所示。

此力系在Axy平面上投影為一平面匯交力系，其中：xzAy先列出對Az軸的投影方程

這是一空間匯交力系，作直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，把力系中各力投影到Axy平面和Az軸上。CFACFCEFCD列平衡方程由此解得所求結(jié)果如下：xzAyCFACFCEFCD二、空間的力矩力偶矩

1.力對點(diǎn)的矩

(1).定義:設(shè)空間一力F作用在點(diǎn)A,則定義力F對空間任一點(diǎn)O的矩為矢量的大小方向與矩心的選擇有關(guān),因此力對點(diǎn)的矩應(yīng)畫在矩心處.(2).的解析表達(dá)式2.力對軸的矩(1).定義空間力對軸的矩是個代數(shù)量,它等于這個力在垂直于該軸的平面內(nèi)的投影對于這平面與該軸交點(diǎn)的矩.其正負(fù)由右手螺旋規(guī)則來確定,拇指方向與該軸方向一致為正,反之為負(fù)(2).力對軸的矩表達(dá)式同理(3).力對點(diǎn)的矩和力對軸的矩之間的關(guān)系比較力對點(diǎn)的矩和力對于軸的矩的關(guān)系式得投影關(guān)系例題3－4手柄ABCE在平面Axy內(nèi)，在D處作用一個力F，它垂直y軸，偏離鉛垂線的角度為α，若CD=a，BC∥x軸，CE∥y軸，AB=BC=l。求力F對x、y和z三軸的矩。顯然，

Fx=Fsinα

Fz

=Fcosα由合力矩定理可得：解法1將力F沿坐標(biāo)軸分解為Fx和Fz。FxFzMx(F)=M

x(Fz

)=-F

z(AB+CD)=-F(l+a)cosαM

y(F)=M

y(Fz)=-F

z(BC)=-FlcosαM

z(F

)=M

z(Fx)=-F

x(AB+CD)=-F(l+a)sinαFxFzFxFz解法2直接套用力對軸之矩的解析表達(dá)式：力在x、y、z軸的投影為Fx=FsinαFY=0FZ=-FcosαM

x(F)=yFZ－zFY=(l+a)(-Fcosα)-0=-F(l+a)cosαM

y

(F)=zFX－xFZ=0-(-l)(-Fcosα)=-FlcosαM

z

(F)=xFY－yFX=0-(l+a)(Fsinα)=-F(l+a)sinαFxFzFxFzFxFz習(xí)題在直角彎桿的C端作用著力F，試求該力對坐標(biāo)軸以及坐標(biāo)原點(diǎn)O的矩。已知OA=a=6m，AB=b=4m，BC=c=3m，=30o,=60o。

解：由圖示可以求出力F在各坐標(biāo)軸上的投影和力F作用點(diǎn)C

的坐標(biāo)分別為：x=b=4my=a=6mz=c=－3m則可求得力F對坐標(biāo)軸之矩：力F

對原點(diǎn)O之矩的方向余弦：力F

對原點(diǎn)O之矩大?。毫?xí)題圖示柱截面，在A點(diǎn)受力P作用。已知P＝100kN，A點(diǎn)位置如圖所示。求該力對三個坐標(biāo)軸的矩。xyzPAO100mm250mmFAB(1)力偶矩的大??；(2)力偶的轉(zhuǎn)向；(3)力偶作用面的方位。M自由矢量M空間力偶的等效條件兩個力偶的力偶矩矢相等，則它們是等效的。3.空間力偶的定義方向用右手定則判定三、空間力偶系的簡化與平衡條件M=M1+M2+…+Mn=∑Mi合力偶矩矢：平衡條件平衡方程四、空間任意力系的簡化zABCF1F2F3OxyOyxzM2M1M3MO主矢MO主矩五、空間一般力系簡化結(jié)果的討論OxyzA(4,9,5)534ijk解：1、先求F的三個方向余弦F2545434),cos(222-=++-=iF215435),cos(222-=++-=jF2535433),cos(222=++=kF習(xí)題圖中力F的大小為10kN，求的力F在x、y、z三坐標(biāo)軸的投影，以及對三坐標(biāo)軸的矩和對O點(diǎn)的矩。(長度單位為m)2、求力的投影（F=10kN）3、求力對軸的矩OxyzA(4,9,5)534FijkFF（求力對軸的矩也完全可以先將力F分解為三個分力，再由合力矩定理分別求出力對軸的矩）4、求力F對O點(diǎn)的矩也可以按如下方法求解：五、空間任意力系的平衡條件空間任意力系平衡的充要條件：該力系的主矢、主矩分別為零.空間平行力系的平衡方程空間任意力系平衡的充要條件：所有各力在三個坐標(biāo)軸中每一個軸上的投影的代數(shù)和等于零，以及這些力對于每一個坐標(biāo)軸的矩的代數(shù)和也等于零.平衡方程：下面簡單介紹空間約束的類型約束反力未知量約束類型AFAAFAzFAyA徑向軸承圓柱鉸鏈鐵軌蝶鉸鏈約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形鉸鏈止推軸承導(dǎo)向軸承萬向接頭約束反力未知量約束類型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy帶有銷子的夾板導(dǎo)軌空間的固定端支座習(xí)題圖示為三輪小車,自重P=8KN,作用于點(diǎn)E,載荷P1=10KN,作用點(diǎn)c,求小車靜止時地面對車輪的反力.xzy2m0.2m1.2m0.6m0.6m0.2mCDABEP1FDFBPFA解:以小事為研究對象,受力如圖,其中P和P1是主動,FA,FB,FD為地面的約束力,此5個力相互平行,構(gòu)成空間平行力系.-P1-P+FA+FB+FD=0-0.2P1-1.2P+2FD=00.8P1+0.6P-0.6FD-1.2FB=0聯(lián)立求解有:FD=5.8(KN)FB=7.777(KN)FA=4.423(KN)注意:本題中出現(xiàn)了空間平行力系,獨(dú)立平衡方程的數(shù)量有空間任意力系的6個－>3個。DBAyz200200200FF2F1FAzFAxFBzFBx習(xí)題如圖,皮帶輪上皮帶的拉力F2=2F1,曲柄上作用有鉛垂力F=200N,已知皮帶輪的直徑D=400mm,曲柄長R=300mm,皮帶1和皮帶2與鉛垂線間夾角分別為α和β,α=30°,β

=60°.其它尺寸如圖,求皮帶拉力和軸承反力.解:以整個軸為研究對象。選取坐標(biāo)系如圖,列出平衡方程.聯(lián)立求解,得:習(xí)題已知：Fx＝4.25N,Fy=6.8N,Fz=17N,Fr=0.36Ft,R=50mm,r=30mm,各尺寸如圖所示。求1、Fr，F(xiàn)t；2、A、B處約束力；3/O處約束力。解：研究對象1：主軸及工件，受力圖如圖又：研究對象2：工件受力圖如圖列平衡方程習(xí)題已知：圖示起重三腳架，重物重量為20kN，三桿各長為2.5m，AO=BO=CO=1.5m。桿的重量不計(jì)。求：各桿的所受的力。120°90°150°ABCDO60°ABCDPFADFCDFBDOxyzθθθ解：取銷釘D為研究對象解出得FAD=10.56kN,FBD=5.28kN,FCD=9.14kN習(xí)題

已知：Q=100kN，P=20kN，等邊△ABC邊長a=5m，HD＝l=3.5m，=30°，求：各輪的支持力。又當(dāng)=0°時，最大載重Pmax是多少。解:取起重機(jī)為研究對象CABEHDy

xPAB,CDQHz30°FA=19.3kNFC=46.8kNFB=53.9kN（2）當(dāng)=0°，由上式第一個方程得：為確保安全，必須：FA≥0FAFCFB習(xí)題起重機(jī)裝在三輪小車ABC上如圖所示。已知AD＝DB＝1m，CD＝1.5m，CM＝1m。起重機(jī)為平衡錘F所平衡。機(jī)身連同平衡錘共重G＝100kN，作用在E點(diǎn)；E點(diǎn)在平面LMNF之內(nèi)，它到機(jī)身軸線MN的距離EH＝0.5m。所舉重物Q＝30kN。試求當(dāng)起重機(jī)的LMN平面平行于AB的位置時，車輪對軌道的壓力。HD4mMLQBEGCFAN解：取三輪車為研究對象。FNAFNBFNC習(xí)題空心樓板ABCD重Q=2.8kN，一端支承在AB中點(diǎn)E，在另一端H、G兩處用繩懸掛如圖所示。已知HD＝GC＝AD/8。求H、G兩處繩索的拉力及E處的反力。EGB△AHCDNE=1.2kNT=0.8kN解：取樓板為研究對象NETTMHG＝NE×AH－Q×3AD/8=0FZ=NE+2T-Q=0習(xí)題立柱AC在A處用球鉸與地面相接，B處用兩條等長的繩索BD、BE牽拉，C處作用一力Q，其大小為Q＝8.4kN，尺寸如圖所示，求A處的約束反力及繩索的張力。10m6mDAB6mxzQCE6m7myTDTEXAYAZA解：取系統(tǒng)為研究對象習(xí)題已知：a=300mm，b=400mm，c=600mm，R=250mm，r=100mm，P=10kN，F(xiàn)1=2F2。F1和F2水平求：A、B處反力。abcABPF1F2xzyRrFAxFAzFBxFBzxzy20075ABFyFzFx習(xí)題鏜刀桿的刀頭在鏜削工件時受到切向力Fz，徑向力Fy，軸向力Fx的作用。各力的大小Fz=5000N，F(xiàn)y=1500N，F(xiàn)x=750N，而刀尖B的坐標(biāo)x=200mm，y=75mm，z=0。如果不計(jì)刀桿的重量，試求刀桿根部A的約束反力的各個分量。xzyABFAxFxMAxFAyFAzMAyMAzFyFz解：1.取鏜刀桿為研究對象,受力分析如圖。2.列平衡方程。3.聯(lián)立求解。解：給各桿編號①②③④⑤⑥受力分析，假定各桿均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6∑MAB=0∑MAE

=0S5=0∑MAC=0S4=0∑MBF

=0S1=0∑MEG=0S3=0∑MFG=0PaBHbADCFGE例題3－12水平均質(zhì)板重P，6根直桿用球鉸將板和地面連接，結(jié)構(gòu)如圖。求由板重引起得各桿內(nèi)力。ACDxyzEB4m2m2m習(xí)題均質(zhì)長方形薄板，重量P=200N，角A由光滑球鉸鏈固定，角B處嵌入固定的光滑水平滑槽內(nèi)，滑槽約束了角B在x,z方向的運(yùn)動，EC為鋼索，將板支持在水平位置上，試求板在A，B處的約束力及鋼索的拉力。解1.以板為對象畫出受力圖.2.列出板的平衡方程空間任意力系，6個獨(dú)立方程。解法一ACDxyzEB4m2m2mP(拉力)ACDxyzEB4m2m2mPl1l2解法二分別取AC，BC，AB，l1，l2，z為矩軸：(拉力)解：以板為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。習(xí)題用六根桿支撐正方形板ABCD如圖所示，水平力沿水平方向作用在A點(diǎn)，不計(jì)板的自重，求各桿的內(nèi)力。P1PFBFAFDFBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mAC例題3－5圖示三輪小車，自重P=8kN，作用于點(diǎn)E，載荷P1=10N，作用于點(diǎn)C。求小車靜止時地面對車輪的反力。P10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0.2mACFBFDFBFDFBFDFBFDPzxyO∑M

x

(F)=0，2FD－1.2P－0.2P1=0FD=5.8kN∑My

(F)=0，1.2FB－0.8P1－0.6P+0.6FD=0FB

=7.8kN∑FZ=0，F(xiàn)A+FB

+FD

－P1－P=0FA=4.4kN適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)軸對簡化計(jì)算非常重要。FAFAFAFA選取坐標(biāo)軸如圖解：以小車為研究對象，受力分析如圖200mm200mm200mmDRFF2βF1αAB習(xí)題在圖中，皮帶的拉力F2=2F1，曲柄上作用有鉛垂力F=2000N。已知皮帶輪的直徑D=400mm，曲柄長R=300mm，α=30o，β=60o。求皮帶拉力和軸承反力?！芚=0，F(xiàn)1sin30o+F2sin60o+XA+XB=0∑Y=0，0=0∑Z=0，ZA+ZB-F-

F1cos30o-F2cos60o=0zyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整個軸為對象，受力分析如圖200mm200mmαβ200mmAB解:選坐標(biāo)軸如圖∑M

x

(F)=0，400ZB-200F+200F1cos30o+200F2cos60o=0∑M

y

(F)=0，F(xiàn)·R-(F2-F1)·D/2=0∑M

z(F)=0，200F1sin30o+200F2sin60o-400XB=0又有：F2=2F1(由于∑Y≡0，所以只有在題設(shè)條件下可解）解得：F1=3000N，F(xiàn)2=6000N，

XA=-1004N，ZA=9397N，XB

=3348N，ZB

=-1700NzyxzxFRDβαF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mmαβ200mmABα=30o，β=60o習(xí)題已知：Fx＝4.25N,Fy=6.8N,Fz=17N,Fr=0.36Ft,R=50mm,r=30mm,各尺寸如圖所示。求1、Fr，F(xiàn)t；2、A、B處約束力；3/O處約束力。習(xí)題均質(zhì)長方形薄板重W=200N，用球形鉸鏈A和蝶形鉸鏈B固定在墻上，并用二力桿EC將板維持水平。求EC桿的拉力和鉸鏈的反力。WZBXBZAYAXATCADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBT解：受力分析如圖∑Fx=0，XA+XB－Tcos30osin30o=0∑Fy=0，YA

－Tcos30ocos30o=0∑Fz

=0，ZA

+ZB－W+Tsin30o=0WZBXBZAYAXATCADBabyxzE30°60°ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBT∑Mz

(F

)=0，X

B·

a=0∑Mx

(F)=0，Z

B·a+Tsin30°·a－W·a/2=0∑My

(F

)=0，W·b/2－Tsin30°·b=0解之得：XA=86.6N，YA=150N，ZA

=100N

X

B

=0，ZB=0，T=200NW=200N習(xí)題如圖所示勻質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置，直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為G，在A