平面幾何中的最值

平面幾何中的最值江蘇省泗陽縣李口中學(xué)沈正中在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題。如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率。在平面幾何問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題,稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：一、應(yīng)用幾何性質(zhì)：1.三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；2.兩點(diǎn)間線段最短；3.連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；4.定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。二、運(yùn)用代數(shù)證法：1.運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；2.運(yùn)用一元二次方程根的判別式。下面介紹幾例?！绢}例1】①圖1所示，A、B兩點(diǎn)在直線/的同側(cè)，在直線，上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。②圖2所示，A、B兩點(diǎn)在直線/的兩側(cè)，在直線，上取一點(diǎn)P，使PA-PB最大。【解答】①圖1中，在直線I上任取一點(diǎn)P',再取點(diǎn)A關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)A、連AP\AT\A，B、BP\則AP，=A，P\在△A，BP，中,A'P'+BP'>A'B,當(dāng)P'在A，B與直線，的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí),A"+BP，=AB即A，P+BP=A'B,此時(shí)PA+PB最小。②圖2中，在直線Z上任取一點(diǎn)P,再取點(diǎn)B關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)B，，連AB、并延長(zhǎng)交,于P,連AP，、BP\BT\BP,則PB=P，B,PB，=PB,所以AB9=PA-PBoP，A—P，B，VAB\所以即PA-PB最大。P,A-P,B=P,A-P,B\在左AB，P，中,唯有P，在p點(diǎn)時(shí)，才有P，A—P，B，=AB\【題例2】如圖3所示，已知直角AAOB中，直角頂點(diǎn)o在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延長(zhǎng)AO,B0分別與單位圓交于C,D.試求四邊形ABCD面積的最小值?！窘獯稹吭O(shè)。。與AB相切于E,有OE=1,從而(A0-BO)2『AO2+BO2AB22=—AO2+B02AB=0E?AB=A0?0B=2即ABN2。當(dāng)AO=BO時(shí)，AB有最小值2.從而111Sy=ZAC*BD=E(1+OA)(1+BO)==(1+AO+BO+AO?BO)乙乙z〉：(l+2jAO?BO+A0.BO)=-(1+^A.O*BO)2=y(l+JOE*AB)2」22=!(1+庭)2〉!(1+構(gòu)2=；(3+2龍)。所以，當(dāng)AO=OB時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為;(3+2々口【題例3】如圖4所示，已知在正三角形ABC內(nèi)(包括邊上)有兩點(diǎn)P,Qo求證：PQWAB?！窘獯稹吭O(shè)過P,Q的直線與AB,AC分別交于P”Qi，連結(jié)PiC,顯然,PQWPIQI。因?yàn)樨癆Q】P]+NP]QiC=180。，所以ZAQjPi和ZPiQiC中至少有一個(gè)直角或飩角。若ZAQ]P|N90。，則PQMP]Q|WAP]WAB；若匕PQCN90。,則PQWPiQiWPiC。同理，ZAP?和匕BPiC中也至少有一個(gè)直角或鈍角，不妨設(shè)匕BP1CN90。，貝IJP|CWBC=AB。對(duì)于P,Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類似的討論，因此，PQWAB?！绢}例4】如圖5所示，已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問P在什么位置時(shí)，PA+PB最大？c【解答】因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，,當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然PA+PB漸小，在極限狀況（P與A重合時(shí)）等于AB。因AR此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB取圖§最大值。設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB,PA,延長(zhǎng)AP到C,使PC=PA,連CB,則CB是切線。為了證PA+PB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)F,連FA,PB,延長(zhǎng)AP倒以使P'C'=BP‘,連C'B,CC\則匕P'C'B=NP'BC=Z：PCB=45。，所以A,B,C,C四點(diǎn)共圓，故有ZCCrA=ZCBA=90°,所以在△ACC，中，AOAC,即PA+PB〉P，A+PB?！绢}例5】如圖6所示，己知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形,試問怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長(zhǎng)最大？【解答】本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長(zhǎng)，可設(shè)半圓半徑為R.由于AB〃CD,必有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么只須求梯形ABDC的半周長(zhǎng)u=x+y+R的最大值即可。作DE_LAB于E,則X2=BD2=ABBE=2R(R-y)=2R2-2Ry,由此香2身-妒x2一Q+2&+2R2一十R=十R。2R2-所以u(píng)=x+y+R=x+―—一2R所以求u的最大值，只須求-X2+2RX+2R2最大值即可。-X2+2RX+2R2=3R2-(x-R)2^3R2,2_22_p2T>上式只有當(dāng)X=R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有y=^/=苴/=與所以2y=R=xo所以把半圓三等分，便可得到梯形