工程制圖第一章幾何元素間的相對關系

§1.4

直線與平面、平面與平面的相對關系1.4.1平行問題1.4.2相交問題1.4.3垂直問題基本要求1.4.4平面上的最大斜度線基本要求（四）點、線、面綜合題

1．熟練掌握點、線、面的基本作圖方法；

2．能對一般畫法幾何綜合題進行空間分析，了解綜合題的一般解題步驟和方法。（一）平行問題

1．熟悉線、面平行，面、面平行的幾何條件；

2．熟練掌握線、面平行，面、面平行的投影特性及作圖方法。（二）相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點的求法和作兩個面的交線（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．掌握利用重影點判別投影可見性的方法。（三）垂直問題

掌握線面垂直、面面垂直的投影特性及作圖方法。1.4.1平行問題幾何條件

若平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與該平面平行。有關線、面平行的作圖問題有：判別已知線面是否平行；作直線與已知平面平行；包含已知直線作平面與另一已知直線平行。一、直線與平面相互平行

若一直線平行于屬于定平面內的一直線，則該直線與平面平行。[例題1]試判斷直線AB是否平行于定平面

fgfg結論：直線AB不平行于定平面[例題2]試過點K作水平線AB平行于CDE平面

baaffb[例題3]過點C作平面平行于已知直線AB。dea'baoxcc'e'd'幾何條件

若一個平面內的相交二直線與另一個平面內的相交二直線對應平行，則此兩平面平行。這是兩平面平行的作圖依據(jù)。兩平面平行的作圖問題有：判別兩已知平面是否相互平行；過一點作一平面與已知平面平行；已知兩平面平行，完成其中一平面的所缺投影。二、平面與平面相互平行

若屬于一平面的相交兩直線對應平行于屬于另一平面的相交兩直線，則此兩平面平行EFDACB因為：AB∥A1B1，BC∥B1C1，所以：平面ABC和平面A1B1C1相平行[例題4]試判斷兩平面是否平行mnmnrrss結論：兩平面平行[例題5]過K點作一平面，使其與平面ABC平行解：只要過K點作兩條相交直線分別平行于△ABC的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面abXOk'b'a'c'kce'ef'f[例題6]已知定平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrkk[例題7]試判斷兩平面是否平行。結論：因為PH平行SH，所以兩平面平行1.4.2相交問題一、特殊位置線面相交二、一般位置平面與特殊位置平面相交三、直線與一般位置平面相交四、兩一般位置平面相交直線與平面相交只有一個交點直線與平面相交只有一個交點，它是直線與平面的共有點。BKAM兩平面的交線是直線兩平面的交線是一條直線，這條直線為兩平面所共有FKNL一、特殊位置線面相交直線與特殊位置平面相交判斷直線的可見性特殊位置直線與一般位置平面相交bbaaccmmnn直線與特殊位置平面相交由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交點可直接求出。kk判斷直線的可見性bbaaccmmnkkn特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能直接判別直線的可見性。

[例題8]求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。a'XOabmb'ncc'm'n'k'k121'2'()特殊位置直線與平面相交()求鉛垂線EF與一般位置平面ABC的交點并判別其可見性。k21k'2'1'[例題9]求直線MN與平面ABC的交點K并判別可見性。e'e122'1'()kk'XOc'b'a'nmcbm'≡n'a二、一般位置平面與特殊位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題，由于特殊位置平面的某個投影有積聚性，交線可直接求出。一般位置平面與特殊位置平面相交判斷平面的可見性一般位置平面與特殊位置平面相交nlmmlnbaccabfkfkMmnlPBCacbPHAFKNLkf判斷平面的可見性結果判斷平面的可見性a′b′c′m′n′l′abcmnlfkf′k′求交線并判斷可見性d′e′f′defabca′c′b′k′m′km1

22′1′()a′b′c′d′≡g′e′≡f′abcdefg122′1′()求交線并判斷可見性kll′k′三、直線與一般位置平面相交以正垂面為輔助平面求線面交點

示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點

示意圖判別可見性

示意圖12以正垂面為輔助平面求線面交點QV21kk步驟：1．過EF作正垂平面Q。2．求Q平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。示意圖ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點。PH1步驟：1．過EF作鉛垂平面P。2．求P平面與ΔABC的交線ⅠⅡ。3．求交線ⅠⅡ與EF的交點K。kk2

示意圖CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點示意圖fee直線EF與ABC相交，判別可見性。利用重影點判別可見性1243（

）kk34示意圖(

)21直線EF與平面ABC相交，判別可見性示意圖ⅠⅡⅢ1

(2)(4)3利用重影點。判別可見性Ⅳ四、兩一般位置平面相交

求兩平面交線的問題可以看作是求兩個共有點的問題,因而可利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。兩一般位置平面相交求交線

示意圖判別可見性例題6

兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點的方法，作出兩平面的兩個共有點K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kkee2．連接兩個共有點，畫出交線KE。示意圖兩一般位置平面相交求交線的方法示意圖

利用求一般位置線面交點的方法找出交線上的兩個點，將其連線即為兩平面的交線。MBCAFKNL利用重影點判別可見性兩平面相交，判別可見性3

4

()3

4

21()1

2a′b′c′g′f′e′d′abecdfgPVQVmn121′2′()3′4′34()m′n′求交線并判斷可見性[例題10]試過K點作一直線平行于已知平面ABC，并與直線EF相交。分析

過已知點K作平面P平行于ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH作圖mnhhnmPV11221.過點K作平面KMN//

ABC平面。2.求直線EF與平面KMN的交點H。3.連接KH，KH即為所求。[例題11]試過A點作一直線與兩已知直線BC及EF相交。c′b′a′e′f′fecbakk′l′l1.4.3垂直問題一、直線與平面相互垂直二、直線與直線相互垂直三、平面與平面相互垂直一、直線與平面垂直

直線與平面垂直，則直線垂直于平面上的任意直線（相交或不相交）。反之，直線垂直平面上的任意兩相交直線，則直線垂直該平面。直線與平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一平面，則必垂直于屬于該平面的一切直線。定理1若一直線垂直于一平面，則直線的水平投影必垂直于屬于該平面的水平線的水平投影；直線的正面投影必垂直于屬于該平面的正平線的正面投影。klkl定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于屬于平面的水平線的水平投影；直線的正面投影垂直于屬于平面的正平線的正面投影，則直線必垂直于該平面。[例題12]平面由BDF給定，試過定點K作平面的法線。acacnnkkh[例題13]試過定點K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）[例題14]平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef例：求C點到直線AB的距離。二、直線與直線垂直分析：求C點到直線AB的距離實際上就是過C點作線段垂直相交于AB，然后求出線段的實長。ababcc[例題15]試過定點A作直線與已知直線EF正交。EQ過已知點A作平面垂直于已知直線EF，并交于點K，連接AK，AK即為所求。FAK分析作圖21aefafe1221PV12kk兩平面垂直的幾何條件：若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD三、平面與平面垂直反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個平面的任意一點向第二個平面作的垂線必屬于第一個平面。兩平面垂直兩平面不垂直繪制相互垂直平面的兩種方法：1、使平面Q經(jīng)過垂直于平面P的直線AB；2、使平面Q垂直于平面P上的直線CD；g[例題16]平面由BDF給定，試過定點K作已知平面的垂面。hacachg[例題17]試判斷

ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結論：因為AD直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。[例題18]試過點K作直線，使其同時垂直于兩交叉直線AB、CD。b′a′k′d′c′dckabe′eh′h[例題19]過直線AB上一點A作一直線垂直于AB，并與DE相交。a′b′d′e′edabQV1′12′2kk′1.4.4平面上的最大斜度線1．平面上的投影面最大斜度線—平面上對某個投影面傾角最大的直線。它與投影面的傾角反映該平面與投影面的傾角。2．平面上對某投影面的最大斜度線與該平面上對某投影面的平行線相互垂直。3．平面上的投影面最大斜度線有三組，即分別對正立投影面、水平投影面及側立投影面三組最大斜度線。（1）平面上對水平投影面的最大斜度線（2）平面上對正立投影面的最大斜度線（3）平面上對側立投影面的最大斜度線PCDaE1

SAE(1)平面上對水平投影面的最大斜度線EF

AB平行于

H，EF垂直于

ABPEFBA(