北師大版-數(shù)學(xué)-八年級(jí)上冊(cè)-《三元一次方程組》例題與講解

*8三元一次方程組1．三元一次方程及三元一次方程組(1)三元一次方程：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程．(2)三元一次方程組：①定義：含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫三元一次方程組．如：等都是三元一次方程組．②拓展理解：a．構(gòu)成三元一次方程組中的每一個(gè)方程都必須是一次方程；b．三元一次方程組中的每個(gè)方程不一定都含有三個(gè)未知數(shù)，但方程組中一定要有三個(gè)未知數(shù)．【例1】下列方程組中是三元一次方程組的是()．A.C.B.D.解析：A，B選項(xiàng)中有的方程不是三元一次方程，C中含有四個(gè)未知數(shù)，只有D符合三元一次概念內(nèi)涵，故選D.答案：D2．三元一次方程組的解(1)三元一次方程的解：使三元一次方程左右兩邊相等的三個(gè)未知數(shù)的值，叫做三元一次方程的解．和二元一次方程一樣，一個(gè)三元一次方程也有無(wú)數(shù)個(gè)解．(2)三元一次方程組的解：組成三元一次方程組的三個(gè)方程的公共解，叫做三元一次方程組的解．它也是三個(gè)數(shù)．(3)檢驗(yàn)方法：同二元一次方程和二元一次方程組的檢驗(yàn)方法一樣，代入檢驗(yàn)，左、右兩邊相等即是方程的解．釋疑點(diǎn)檢驗(yàn)三元一次方程組的解三元一次方程組的解是三個(gè)數(shù)，將這三個(gè)數(shù)代入每一個(gè)方程檢驗(yàn)，只有這些數(shù)滿(mǎn)足方程組中的每一個(gè)方程，這些數(shù)才是這個(gè)方程組的解．【例2】判斷是不是方程組的解．答：__________(填是或不是)．解析：把解．代入方程組的三個(gè)方程中檢驗(yàn)，能使三個(gè)方程的左右兩邊都相等，所以是方程組的答案：是3．三元一次方程組的解法(1)解法思想：解三元一次方程組的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加減消元法兩種，通過(guò)消元將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程．(2)步驟：①觀察方程組中每個(gè)方程的特點(diǎn)，確定消去的未知數(shù)；②利用加減消元法或代入消元法，消去一個(gè)未知數(shù)，得到二元一次方程組；③解二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；④將所得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原三元一次方程組中的某個(gè)方程，求出第三個(gè)未知數(shù)的值；⑤寫(xiě)出三元一次方程組的解．(3)注意點(diǎn)：①三元一次方程組的解法多種多樣，只要逐步消元，解出每一個(gè)未知數(shù)即可；②解三元一次方程組時(shí)，每一個(gè)方程都至少要用到一次，否則解出的結(jié)果也不正確．【例3】解方程組分析：觀察方程組中每個(gè)方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知數(shù)z的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，故可用加減消元法消去字母z，然后將所得的方程與③組合成二元一次方程組，求這個(gè)方程組的解，即可得到原方程組的解．解：①×2＋②，得5x＋8y＝7，④解③，④組成的方程組解這個(gè)方程組，得把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，所以原方程組的解為4．運(yùn)用三元一次方程組解實(shí)際問(wèn)題(1)方法步驟：①審題：弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；②設(shè)：設(shè)三個(gè)未知數(shù)；③列：找出實(shí)際問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)，分析它們之間的數(shù)量關(guān)系，用式子表示，列出三個(gè)方程，組成三元一次方程組；④解：解這個(gè)方程組，并檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際；⑤答：回答說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的答案．析規(guī)律列三元一次方程組同二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用相類(lèi)似，運(yùn)用三元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題要設(shè)三個(gè)未知數(shù)，尋找三個(gè)等量關(guān)系，列出三個(gè)一次方程，組成三元一次方程組．【例4】某個(gè)三位數(shù)是它各位數(shù)字和的27倍，已知百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和比十位數(shù)字大1，再把這個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的三位數(shù)，新三位數(shù)比原三位數(shù)大99，求原來(lái)的三位數(shù)．解：設(shè)百位數(shù)字為a、十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c，則這個(gè)三位數(shù)為100a＋10b＋c，由題意，得化簡(jiǎn)，得解這個(gè)方程組，得答：原來(lái)的三位數(shù)是243.5．三元一次方程組的解法技巧解三元一次方程組的基本思路是消元，即化三元為二元，從而轉(zhuǎn)化為二元一次方程組求解，在這里關(guān)鍵是消元，若能根據(jù)題目的特點(diǎn)，靈活地進(jìn)行消元，則可把方程組解得又準(zhǔn)確又快捷，下面介紹幾種常見(jiàn)的消元策略供參考．(1)先消系數(shù)最簡(jiǎn)單的未知數(shù)，這樣可以減少運(yùn)算量，簡(jiǎn)化過(guò)程．如：中，y的系數(shù)較簡(jiǎn)單，先消y簡(jiǎn)單．(2)先消某個(gè)方程中缺少的未知數(shù)．若方程組中某個(gè)方程缺少某個(gè)元，把另外兩個(gè)方程結(jié)合，消去這個(gè)元，轉(zhuǎn)化為二元一次方程求解．如：因?yàn)榉匠挞僦腥鄙賧，所以由②，③組合先消去y比較簡(jiǎn)單．(3)先消去系數(shù)的絕對(duì)值相等(或成倍數(shù)關(guān)系)的未知數(shù)，如：三個(gè)方程中y的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，因此先消去y比較簡(jiǎn)單．(4)整體代入消元，如：將方程③左邊變形為(x＋y＋z)＋(x－y)－y＝18，作整體代入便可消元求解．(5)整體加減消元：如：在三個(gè)方程中，根據(jù)未知數(shù)x，z的系數(shù)特點(diǎn)，可用②＋③－①整體加減消元法來(lái)解得y的值．再逐步求解．【例5－1】解方程組分析：因?yàn)榉匠挞僦腥鄙傥粗獢?shù)y項(xiàng)，故而可由②，③組合先消去y，再求解．解：②×3＋③，得11x＋10z＝35，④解由①，④組成的方程組解得⑤把⑤代入②，得y＝，所以原方程組的解為【例5－2】解方程組分析：經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)①中的5x－15y＝5(x－3y)，這就與②有了聯(lián)系，因此，①可化為5(x－3y＋2z)－6z＝38，把②整體代入該方程中，可求出z的值，從而易得x與y的值．解：由①，得5(x－3y＋2z)－6z＝38，④把②整體代入④，得5×10－6z＝38.解這個(gè)方程，得z＝2，把z＝2分別代入①，②中，得⑤解⑤，得所以原方程組的解是【例5－3】解方程組分析：方程組中每個(gè)未知數(shù)均出現(xiàn)了三次，且含各未知數(shù)的項(xiàng)系數(shù)和均為1，故可采用整體相加的方法．解：①＋②＋③，得x＋y＋z＝17，④再由④分別減去①，②，③各式，分別得z＝3，x＝6，y＝8.所以原方程組的解是6.三元一次方程組的應(yīng)用歸類(lèi)三元一次方程組的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用類(lèi)似，也主要包括兩類(lèi)：(1)構(gòu)造方程組，通過(guò)解方程組解決問(wèn)題．主要有以下幾種情況．①根據(jù)某些數(shù)學(xué)概念構(gòu)造方程組，如：2x4my16－5n與x3n＋62my是同類(lèi)項(xiàng)，根據(jù)同類(lèi)項(xiàng)定義列方程求未知數(shù)m，n.②運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組．如：如果(x＋y－2)2＋|y＋z－4|＋|x－y＋2|＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.根據(jù)題意列出三元一次方程組求解．③已知方程的解的情況求未知系數(shù)．如：關(guān)于x，y的二元一次方程組的解，也是方程3x＋2y＝17的解，則m的值是？根據(jù)題意構(gòu)造一個(gè)以x，y，m為未知數(shù)的三元一次方程組求解．點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是變相的解方程組問(wèn)題．(2)列方程解應(yīng)用題，根據(jù)實(shí)際生活中的情景，列方程組解決實(shí)際問(wèn)題．【例6－1】如果方程組中，x與y的和為2，則m的值是()．A．16B．4C．2D．8解析：方法一：因?yàn)閤與y的和為2，即x＋y＝2，所以與解這個(gè)方程組，求出m＝4.組成一個(gè)三元一次方程組方法二：也可以先解求出x，y的值(含m)，再把解得的x，y的值代入x＋y＝2中，求出m.方法三：把x＝2－y代入答案：B解含y，m的二元一次方程組．【例6－2】如果|x－2y＋1|＋|z＋y－5|＋(x－z－3)2＝0，那么x＝__________，y＝__________，z＝__________.解析：根據(jù)非負(fù)數(shù)的和為0，各式都為0，列出三元一次方程組化簡(jiǎn)，得解這個(gè)方程組，得x＝5，y＝3，z＝2.答案：5327．運(yùn)用三元一次方程組求代數(shù)式的值解三元一次方程組是對(duì)消元思想和方法的綜合的、全面的運(yùn)用，另一方面是將來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的必備知識(shí)，在本章中，經(jīng)常出現(xiàn)一類(lèi)求代數(shù)式值的問(wèn)題，如：已知代數(shù)式ax2＋bx＋c，當(dāng)x分別取1,0,2時(shí)，式子的值分別是0，－3，－5，求當(dāng)x＝5時(shí)，代數(shù)式ax2＋bx＋c的值．解法：分別將x＝1,0,2代入代數(shù)式ax2＋bx＋c中，得到一個(gè)三元一次方程組解這個(gè)三元一次方程組，求出系數(shù)a，b，c的值，再將x＝5回代，再求出當(dāng)x＝5時(shí)，式子ax2＋bx＋c的值．【例7－1】已知x＋2y＋3z＝54,3x＋2y＋2z＝47，2x＋y＋z＝31，那么代數(shù)式x＋y＋z的值是()．A．17B．22C．32D．132解析：將三個(gè)三元一次方程組成方程組，整體求法，將三個(gè)式子相加，得6x＋6y＋6z＝132，兩邊都除以6，解，得x＋y＋z＝22.B正確，故選B.答案：B【例7－2】在等式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c中，當(dāng)x分別取1,2,3時(shí)，y的值分別為3，－1,15.則a＝__________，b＝______，c＝______；當(dāng)x取4時(shí)，y的值為_(kāi)_____．解析：把x＝1,2,3分別代入y＝ax2＋bx＋c中，得三元一次方程組解這個(gè)三元一次方程組得所以等式是y＝10x2－34x＋27，把x＝4代入y＝10x2－34x＋27中，得y＝51.答案：10－3427518.含比例方程的方程組的解法三元一次方程組中，有一類(lèi)方程，含有比例式子，如這類(lèi)方程組的解法有兩種方式，一是把方程組根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，化為一般的三元一次方程組，按常規(guī)思路進(jìn)行解決；二是設(shè)參數(shù)法，如在上面的方程組中設(shè)每一份為k，則x＝3k，y＝2k，z＝1.6k，把它們分別代入③中，得3k＋2k＋1.6k＝66.即6.6k＝66，解得k＝10，所以x＝30，y＝