《通信原理》第3章 隨機(jī)過程(3.5-7)

通信原理

第3章隨機(jī)過程（3.5-7）主講：江金龍E-mail：jljiang@126.com九江學(xué)院電子工程學(xué)院2/4/20231概要：3.5窄帶隨機(jī)過程

3.5.1其同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性

3.5.2其隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位的統(tǒng)計(jì)特性3.6正弦波加窄帶高斯噪聲3.7高斯白噪聲和帶限白噪聲

2/4/20232回顧：3.3.1高斯分布的定義如果一個(gè)隨機(jī)過程的任意n維分布服從正態(tài)分布，則稱為正態(tài)分布或高斯分布。2/4/202333.3.2重要性質(zhì)（1）高斯過程的n維分布僅依賴各隨機(jī)變量的均值、方差、和歸一化協(xié)方差矩陣，描述最簡單。（2）高斯平穩(wěn)若是廣義平穩(wěn)的，必是嚴(yán)平穩(wěn)。（3）高斯過程若在不同時(shí)刻的取值不相關(guān)，也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。（4）高斯平穩(wěn)經(jīng)過線性變換后仍是高斯過程。2/4/202343.3.3高斯隨機(jī)變量分布函數(shù)2/4/202353.4平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、輸出均值2、輸出的自相關(guān)函數(shù)輸入平穩(wěn)，輸出平穩(wěn)。前提：？2/4/202363、輸出過程的功率譜密度一般是先求輸出功率譜密度，作傅立葉反變換求輸出自相關(guān)函數(shù)。4、輸出過程的概率分布高斯過程經(jīng)線性變換后仍是高斯過程。2/4/202373.5窄帶隨機(jī)過程

3.5.1同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性

窄帶隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的譜密度集中在中心頻率附近相對(duì)較窄的頻帶范圍內(nèi)，即 大多數(shù)通信系統(tǒng)的調(diào)制信號(hào)都是窄帶帶通型，其過程也為窄帶隨機(jī)過程。

高斯白噪聲通過窄帶濾波器的輸出也是窄帶隨機(jī)過程。2/4/20238窄帶過程的譜密度：窄帶過程的時(shí)域波形？？注意：實(shí)信號(hào)的幅度譜是偶對(duì)稱的2/4/20239正弦信號(hào)（單頻信號(hào)）的波形：窄帶過程的波形：頻率和包絡(luò)都不變頻率或包絡(luò)緩慢變化2/4/202310窄帶隨機(jī)過程類似一個(gè)包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波：其中和稱為窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位。利用公式：2/4/202311令，稱為窄帶的同相分量，稱為窄帶的正交分量。它們都是頻率很低的信號(hào)（基帶信號(hào)）。注：和是正交函數(shù)，它們的乘積在一個(gè)周期內(nèi)積分為0。2/4/202312窄帶調(diào)制歸結(jié)于兩個(gè)問題：（1）調(diào)制信號(hào)如何變?yōu)橥喾至亢驼环至?。?）同相分量和正交分量的特性怎樣？從，可得到一個(gè)通用的調(diào)制框圖如下：2/4/202313

可以看出的統(tǒng)計(jì)特性由其（）分量和（）分量決定可以看出的統(tǒng)計(jì)特性由其（）和（）決定兩者之間是等價(jià)的，反之亦然。從：從：2/4/202314本節(jié)研究同相分量和正交分量的統(tǒng)計(jì)特性。我們重點(diǎn)研究均值為0，方差為窄帶高斯平穩(wěn)過程。

（1）期望對(duì)兩邊取期望：=?????2/4/202315（2）自相關(guān)代入并展開：上式4項(xiàng)相關(guān)分別稱為：？？2/4/202316由于是平穩(wěn)的，有上式對(duì)任意時(shí)刻t都成立。從而有：2/4/202317

令且對(duì)任意時(shí)刻t都成立，上式應(yīng)當(dāng)不含有t2/4/202318類似地：令

所以：若窄帶過程是平穩(wěn)的，則其同相分量和正交分量也必然是（）的。2/4/202319自然，這兩個(gè)公式必須相等：

所以：結(jié)論：同相分量和正交分量具有相同的（）。令：=??，具有相同的（）功率。2/4/202320現(xiàn)在研究：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：去掉：正交分量與同相分量的互相關(guān)函數(shù)是（）函數(shù)。同理：同相分量與正交分量的互相關(guān)函數(shù)是（）函數(shù)。2/4/202321（3）分布類型根據(jù)令令從這兩個(gè)特殊點(diǎn)可以看出：若是高斯分布，則其同相分量和正交分量都是高斯分布，且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。2/4/202322若是均值為0，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程，它的同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過程，均值為0，方差也相同，且在同一時(shí)刻得到的同相分量和正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。統(tǒng)計(jì)規(guī)律相同，能否說明？？？2/4/2023233.5.2其隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，可以推出：這里：，在（0，2*pi）內(nèi)均勻分布。2/4/202324對(duì)積分：而對(duì)積分（）分布（）分布由于兩者在統(tǒng)計(jì)上（），所以2/4/202325一個(gè)瑞利分布示例：2/4/2023263.6正弦波加窄帶高斯噪聲在通信接收端，通常加一帶通濾波器，以過濾帶外噪聲，輸出為正弦波已調(diào)信號(hào)與窄帶高斯噪聲的混合波形。為窄帶高斯噪聲：？？？為正弦波，這里：和為常數(shù)；為隨機(jī)相位，在上均勻分布。2/4/202327現(xiàn)在分析它的統(tǒng)計(jì)特性，方法與3.5節(jié)類似.展開：同相分量？？正交分量？？包絡(luò)？？相位？？2/4/202328在接收判斷中，最關(guān)心包絡(luò)和相位的統(tǒng)計(jì)特性。如果中的已知，則是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量。代入：2/4/202329再代入：化簡得，包絡(luò)概率密度函數(shù)：其中稱為第一類0階修正貝塞爾函數(shù)。稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯分布。2/4/202330functionI0=bessel0(x)％自定義一個(gè)Bessel0階函數(shù)，數(shù)值積分

dfai=2*pi/100;fai=0:dfai:2*pi-dfai;N=length(x);

fori=1:NI0(i)=sum(exp(x(i).*cos(fai)))*dfai/(2*pi);end2/4/202331x=0:0.1:10;y=bessel0(x);plot(x,y)（局部）2/4/202332

當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，信噪比（信號(hào)功率與噪聲功率之比）廣義瑞利分布趨向于（）分布，或者說：信號(hào)淹沒在噪聲中。2/4/202333

當(dāng)信號(hào)很大時(shí)，廣義瑞利分布趨向于（）分布。2/4/202334類似地：當(dāng)信噪比很小時(shí)，相位分布趨向于（）分布；當(dāng)信噪比很大時(shí)，相位分布集中在信號(hào)相位附近，對(duì)信號(hào)相位有一定的擾動(dòng)；正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)和相位分布圖見：p56.2/4/2023353.7高斯白噪聲和帶限白噪聲1.白噪聲噪聲的功率譜密度在所有頻率上均為一常數(shù)，雙邊功率譜密度：單邊功率譜密度：2/4/202336對(duì)上式積分：白噪聲的功率＝？？？作傅立葉反變換，得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)：在噪聲僅在相關(guān)，其他任意兩個(gè)時(shí)刻都不相關(guān)。2/4/202337

熱噪聲的功率均勻分布在0（直流）到1012Hz上，基本可看作白噪聲。如果白噪聲的分布是高斯分布，稱為高斯白噪聲。2/4/2023382.低通白噪聲

白噪聲通過理想低通濾波器輸出的噪聲。功率＝？？2/4/202339自相關(guān)函數(shù)：的圖形如圖：僅當(dāng)為整數(shù)，但值為02/4/202340

僅當(dāng)為整數(shù)，但值為0也就是說：低通白噪聲僅在某些特殊延遲時(shí)刻點(diǎn)上不相關(guān)。按采樣定律：采樣頻率：采用周期：

低通白噪聲按采樣定律采樣得到的抽樣值是不相關(guān)的。2/4/2023413.帶通白噪聲

白噪聲通過理想帶通濾波器輸出的噪聲。為中心頻率，為帶寬功率＝？？2/4/202342自相關(guān)函數(shù)：其基本形狀還是的形式，只是受cos函數(shù)形狀調(diào)制。2/4/202343思考：（1）如果按采樣定理采樣，噪聲的采樣值是否相關(guān)？？？（2）如果將帶通信號(hào)下變頻到低通信號(hào)，然后按采樣定理采樣，噪聲的采樣值是否相關(guān)？？？2/4/202344回顧：3.5窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程：或：頻率或包絡(luò)緩慢變化2/4/202345稱為窄帶的同相分量，稱為窄帶的正交分量。它們都是頻率很低的信號(hào)（基帶信號(hào)）。和稱為窄帶隨機(jī)過程的隨機(jī)包絡(luò)和隨機(jī)相位。2/4/202346若是均值為0，方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過程：（1）同相分量和正交分量也是平穩(wěn)高斯過程，均值為0，方差也相同，且在同一時(shí)刻得到的同相分量和正交分量是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。（2）隨機(jī)包絡(luò)為瑞利分布；（3）隨機(jī)相位為均勻分布。2/4/2023473.6正弦波加窄帶高斯噪聲為窄帶隨機(jī)過程；這里：為窄帶高斯噪聲：隨機(jī)包絡(luò)為廣義瑞利分布；隨機(jī)相位：低信噪比時(shí)，