一元微分學(xué)應(yīng)用(一)

——一元微積分學(xué)高等數(shù)學(xué)（文）一元微積分的應(yīng)用(一)——函數(shù)的單調(diào)性、極值一、函數(shù)的單調(diào)性觀察下面的圖形,你能得出什么結(jié)論？綜上所述,可知:在討論函數(shù)的單調(diào)性時，一般先求出函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)等于零和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),然后按這些點(diǎn)將所討論的區(qū)間分成小區(qū)間,在每個小區(qū)間內(nèi)函數(shù)只有一種單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)是單調(diào)增加還是單調(diào)減少.

提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的方法例1解

列表可使問題明朗化利用函數(shù)處理數(shù)列例2證例3證明:當(dāng)時,證明:設(shè)輔助函數(shù)原不等式變?yōu)樽C明等號僅在離散點(diǎn)處成立,不影響函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性二、函數(shù)的極值函數(shù)的極值是個局部性的概念.我們已經(jīng)知道的與函數(shù)極值有關(guān)的定理和公式:費(fèi)馬定理—可微函數(shù)取極值的必要條件函數(shù)的單調(diào)性判別定理和方法首先考察下列函數(shù)的圖形:定理

費(fèi)馬PierredeFermat(1601－1665)

費(fèi)馬，法國數(shù)學(xué)家.出身于一個商人家庭.他的祖父、父親、叔父都從商.他的父親是當(dāng)?shù)氐牡诙?zhí)政官,經(jīng)辦著一個生意興隆的皮革商店.

費(fèi)馬畢業(yè)于法國奧爾良大學(xué)，以律師為職.曾任圖盧茲議會會員,享有長袍貴族特權(quán).精通6種語言.業(yè)余愛好數(shù)學(xué)并在數(shù)論、幾何、概率論、微積分等領(lǐng)域內(nèi)作出了創(chuàng)造性的工作.費(fèi)馬大定理被稱為“會下金蛋的母雞”.極值可疑點(diǎn)判別函數(shù)的極值點(diǎn),主要是判別極值可疑點(diǎn)左、右對于可微函數(shù)將歸結(jié)于判別函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號.兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.(單調(diào)增加)(單調(diào)減少)(單調(diào)減少)(單調(diào)增加)定理列表討論單調(diào)性,判別極值:例5解極小極小極大自己總結(jié)求極值的步驟此時應(yīng)另找其他方法.什么方法？

第一判別法？定理例6解怎么辦？例7解在工程技術(shù)和生產(chǎn)實踐中,常常需要考慮在一定條件下,怎樣才能使用料最少、費(fèi)用最省,而效率和效益最高等問題.這些問題反映到數(shù)學(xué)上就是最優(yōu)化問題.

優(yōu)化技術(shù)應(yīng)用價值很大三、函數(shù)的最大、最小值

怎樣求函數(shù)在一個區(qū)間上的最大、最小值呢？回憶以前學(xué)過的知識：取到它的最大值和最小值.取得其最大值和最小值,則這些最值一定是函數(shù)的極值.的最大值和最小值可能在區(qū)間的端點(diǎn)也可能在區(qū)間內(nèi)部取得.溫故而知新求一個連續(xù)函數(shù)在上的最大值和最小值,只要先求出函數(shù)一切極值可疑點(diǎn)(駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)),然后比較極值可疑點(diǎn)的函數(shù)值及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值,其中最大者就是函數(shù)最小者就是函數(shù)求最值的幾個特殊情況極大(小)值點(diǎn),則該點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).實際判斷原則計算函數(shù)值:(端點(diǎn)值)例8解

沒有什么新的東西用薄鐵片沖制圓柱形無蓋容器,要求它的容積一定,問應(yīng)如何選擇它的半徑和高度才能使用料最省?設(shè)容積(體積)為V,半徑為r,高為h.

用料最省即指容器的表面積A最小.應(yīng)用題例8解又A

的最小值一定存在,故當(dāng)要求的容器的容積為A時,選擇半徑

如果不放心,可用二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷.某出版社出版一種書,印刷x冊所需成本為每冊售價p與假設(shè)書可全部售出,問應(yīng)將價格p

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