連續(xù)性隨機變量

第二節(jié)連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機變量則稱X為連續(xù)型隨機變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度.1、連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義有,使得對任意實數(shù)

,

對于隨機變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)在上連續(xù)2、概率密度f(x)的性質(zhì)：f(x)0x1面積為1利用概率密度可確定隨機點落在某個范圍內(nèi)的概率對于任意實數(shù)x1,x2,(x1<x2),連續(xù)型r.v取任一指定實數(shù)值a的概率均為0.

即這是因為當(dāng)時得到連續(xù)型隨機變量的一個重要特點：(2)對連續(xù)型r.vX,有(1)由P(A)=0,不能推出因此有

例1:設(shè)隨機變量X具有概率密度(1)試確定常數(shù)k，(2)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于

于是X的概率密度為，解得k=3.4、三種常見的連續(xù)型隨機變量則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)若隨機變量X的概率密度為：（1）均勻分布

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計算中，由于四舍五入，小數(shù)點后某一位小數(shù)引入的誤差；指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計研究中，如元件的壽命.2.指數(shù)分布

若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.其分布函數(shù)為證明：設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，則因此P{X≥s+t|X≥s}=P{X≥t}，即指數(shù)分布具有”無記憶性”.指數(shù)分布的一個重要特性是”無記憶性”.

設(shè)隨機變量X滿足：對于任意的s>o，t>0,有則稱隨機變量X具有無記憶性。某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.應(yīng)用與背景3.正態(tài)分布(或高斯分布)(NormalDistribution)定義正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布.

正態(tài)分布在十九世紀(jì)前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布.第五章將介紹為什么這么多隨機現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.驗證f(x)是一個合理的概率密度函數(shù):①顯然，f(x)≧0；②下面驗證對于積分作代換則德莫佛德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，該公式被認(rèn)為是正態(tài)分布的首次露面.10馬克高爾頓釘板試驗這條曲線就近似我們將要介紹的正態(tài)分布的密度曲線。決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.記為其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì)

:事實上,

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.引理證Z的分布函數(shù)為則有根據(jù)引理,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.于是若若X～N(0,1),~N(0,1)

則例3例4標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點.由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計算可以求得，說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.這也是N(0,1)表只作(0,3)的概率的原因。當(dāng)X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.9974

3準(zhǔn)則（三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）推廣到一般的正態(tài)分布,時

X

在概率為0.9974,稱為“3σ規(guī)則”因為X～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33